Докажите что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника
Принцип Дирихле
Просмотр содержимого документа
«Принцип Дирихле»
Сегодня на занятии нам предстоит изучение замечательного принципа Дирихле.
МАРШРУТНЫЙ ЛИСТ ЗАНЯТИЯ
К концу занятия ты будешь:
Знать основные способы решения задач на использование принципа Дирихле, доказательство от противного
Уметь применять полученные знания, умения и навыки на практике.
Ты будешь сегодня успешным на занятии, если в конце занятия сможешь справиться с решениями всех задач.
Инструкция для учащихся
Если устали читать, то основные понятия по теме вы узнаете, просмотрев видеоуро https://yadi.sk/i/Mar7SUd2GejxZQ
Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.
Решение: Прямая делит плоскость на две полуплоскости, которые мы назовем «клетками». Три вершины треугольника назовем «кроликами». По принципу Дирихле, «найдется клетка, в которой сидит по крайней мере два кролика», то есть найдутся две вершины, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Сторона, соединяющая эти вершины, не пересекает данную прямую.
Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани.
Решение: Рассмотрим три грани куба, имеющие общую вершину. Назовем их «кроликами», а данные цвета — «клетками». По принципу Дирихле, найдутся две грани, окрашенные в один цвет. Они и будут соседними.
Аналогично доказывается общая формулировка принципа Дирихле: «Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдётся ящик, в котором сидят не меньше чем n / k кроликов».
Немного иначе это утверждение выглядит так: «Если nk + 1 кроликов сидят в k ящиках, то найдётся ящик, в котором сидит, по крайней мере, (n + 1) кроликов».
Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?
Утверждение можно доказать, проводя сразу рассуждения от противного. Пусть конфет каждого сорта не более 9, то есть не превышает восьми. Тогда всего конфет не больше 3 × 8 = 24, а по условию их 25. Противоречие.
В классе 30 человек. Паша сделал 13 ошибок, а остальные меньше. Доказать, что какие-то три ученика сделали одинаковое количество ошибок.
В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.
Решение: Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трех дырок.
Иногда принцип Дирихле не работает «впрямую», что требует дополнительных соображений.
Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Множество задач для самостоятельного решения
Урок закончился, а что осталось, поделитесь своими впечатлениями от занятия!