Докажите что отрезки соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра

18.04.202223.04.2022 admin 0 Comments

Докажите что отрезки соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

а) Пусть задан тетраэдр ABCD (рисунок 1)

1. Рассмотрим грани ABC и ABD. Пусть M — точка пересечения медиан Δ ABC, N — треугольника ABD. И пусть K — середина AB. Точки C, D, M, N, K лежат в одной плоскости, коли они принадлежат двум пересекающимся прямым KC и KD. Поскольку KC : KM = KD : KN = 3 : 1, треугольники MKN и CKD гомотетичны с коэффициентом гомотетии (подобия) k = 3. По основному свойству гомотетии будем иметь: CD || MN, CD = 3MN.

Соединим отрезками точки: M и D, N и С. Точку пересечения MD с NC обозначим О.

Аналогично можно доказать, что через точку О пройдут все остальные медианы заданного тетраэдра.

2. Теперь докажем, что через точку О пройдут и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра (рисунок 2).

Пусть L — середина ребра BC. В плоскости DKC через точку D проведем прямую, параллельную KC. Проведем также прямую KL, которая пересечет только что проведенную прямую в точке, которую обозначим P.

Пусть O₁ точка пересечения DM и KL.

Рассмотрим Δ KLC и Δ PLD. У них: ∠KLC = ∠PLD как вертикальные, ∠KCL = ∠ PDL как внутренние накрест лежащие при KC || PD и секущей DC, CL = DL. Тогда Δ KLC = Δ PLD — по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: KC = PD, KL = PL, ∠CKL = ∠BPL.

В Δ KO₁M и Δ PO₁D ∠KO₁M = ∠ PO₁D как вертикальные, ∠MKO₁ = ∠DPO₁ по ранее доказанному. Значит, откуда DO₁ : O₁M = PD : KM. Но как доказано выше, KC = PD. Следовательно, O₁D : O₁M = KC : KM = 3 : 1.

Итак, O₁D : O₁M = 3 : 1. Выше было доказано, что OD : OM = 3 : 1. Так как отрезок DM можно разделить в отношении 3 : 1, считая от точки D, единственным образом, то точки О и O₁ совпадут, то есть KL проходит через точку О. Совершенно аналогично можно доказать то, что отрезки, соединяющие середины ребер BC и AD, BD и AC, пройдут через точку О. И это — все то, что требовалось доказать.

б) Введем обозначения длин ребер тетраэдра: пусть BD = a, CD = c, AD = b.

Источник

Используя векторы, докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположный ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся

В 12:17 поступил вопрос в раздел ЕГЭ (школьный), который вызвал затруднения у обучающегося.

Вопрос вызвавший трудности

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru

Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал следующим образом: Используя векторы, докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположный ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

решение задания по геометрии

НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:

Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.

ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!

Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.

Деятельность компании в цифрах:

Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.

Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.

Источник

Докажите что отрезки соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMNCQ состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до BCD вдвое меньше расстояния от A до BCD, а площади треугольников QCN и BCD, по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом, относятся как 1 : 6. Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому

Таким образом, то есть

Смею напомнить, что название пирамиды начинается с вершины, не лежащей на плоскости основания, а не как вздумается, из-за этого возникают серьезные проблемы при попытке решения.

Основанием данной треугольной пирамиды можно считать любую грань. И решение от этого не зависит.

Дана треугольная пирамида DABC, точки M, N, P и Q лежат на рёбрах AB, BC, AD, CD, причём AM : MB = CN : NB = 3 : 1. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите отношение многоугольников на которые делит плоскость PQM пирамиду.

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. Далее, PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 3 : 8. Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому

Таким образом, то есть

В правильной треугольной пирамиде SABC точки M, N и K — середины ребер основания, а P, Q и R делят боковые ребра SA, SB и SC в отношении 1 : 2, считая от вершины.

а) Доказать, что точки M, N, K, P, Q, R — лежат на одной сфере.

б) При каких углах наклона бокового ребра к основанию центр сферы лежит вне пирамиды SABC.

а) Поскольку прямая PQ параллельна прямой AB, прямая QR параллельна прямой BC, плоскости и параллельны. Пирамида тоже правильная, поэтому ее высота проходит через центр описанной окружности треугольника Она же является высотой пирамиды и проходит через центр вписанной окружности то есть центр описанной окружности

Таким образом, осталось найти на этой высоте точку так, чтобы такая точка и будет центром сферы. Заметим, что треугольники и подобны треугольнику с коэффициентами и соответственно, поэтому их радиусы описанных окружностей отличаются во столько же раз. Пусть тогда Пусть, далее, высота пирамиды равна Изобразим сечение пирамиды плоскостью Пусть, наконец, причем если лежит ниже мы считаем, что Тогда осталось приравнять расстояния. Имеем:

(это верно при любом положении точки );

Итак, мы доказали существование центра сферы.

б) Требуется, чтобы то есть

Ответ:

Источник

Докажите что отрезки соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра

а) Пусть задан тетраэдр ABCD (рисунок 1)

Соединим отрезками точки: M и D, N и С. Точку пересечения MD с NC обозначим О.

Аналогично можно доказать, что через точку О пройдут все остальные медианы заданного тетраэдра.

Пусть O₁ точка пересечения DM и KL.

б) Введем обозначения длин ребер тетраэдра: пусть BD = a, CD = c, AD = b.

В соответствии с условием задачи:

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

а) Обозначим середины ребер SA и SE за M и N соответственно. Прямая MN || AE, как средняя линия, и, следовательно, параллельна плоскости основания пирамиды. Это означает, что плоскость сечения пересекается с плоскостью основания по прямой a параллельной MN и проходящей через точку C. Пусть прямая AB пересекается с прямойa в точке P. Тогда точка P является одновременно точкой сечения и плоскости SAB. Пусть прямая MP пересекает ребро SB в точке K. Требуется доказать, что SK : KB = 3 : 1. Рассмотрим плоскость SAB, в соответствующем треугольнике проведем среднюю линию MM’ || AB. Заметим теперь, что из свойств правильного шестиугольника отрезок Таким образом, треугольники MM’K и PBK равны, следовательно, Значит, SK : KB = 3 : 1.

б) Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SCF. Так как боковое ребро пирамиды вдвое больше ребра основания треугольник SCF — равносторонний. Пусть RT — его средняя линия параллельна плоскости основания пирамиды, как и MN, значит, они пересекаются. Назовем точку их пересечения W. Точка W — точка пересечения RT и плоскости сечения пирамиды. Значит, сечение пирамиды и плоскостьSCF пересекаются по прямой CW. Точку пересечения этой прямой с ребром SF назовем G. Таким образом требуется найти SG : GF. Точка R — середина SF, значит, R’, ее проекция на FC, — середина FO, где O — центр основания. Эта же точка является точкой пересечения AE и FC. Так как MN — средняя линия треугольника SAE, то W’ — проекция точки W на FC является серединой R’O. Таким образом, Треугольники GRW и GFC — подобны с коэффициентом Значит

Следовательно, учитывая, что R — середина SF,

а) Обозначим середины ребер SA и SE за и соответственно. Тогда MN || AE || BD. Проведем через точку C прямую, параллельную AE (она будет лежать в плоскости сечения), тогда она пересечет AB в точке Р, причем по свойствам шестиугольника AB = 2BP. Пусть теперь K точка пересечения прямой MР с SB.

По теореме Менелая для треугольника ASB и прямой MKР имеем откуда

то есть SK : KB = 3 : 1.

б) Опустим из S перпендикуляр на AE. Он упадет в середину AE — точку R’. По свойствам шестиугольника CR’ : R’F = 3 : 1. При этом отрезок MN пересекает SR’ в его середине W.

Пусть CW пересекает SF в точке G, это и есть точка пересечения плоскости сечения с ребром CF.

По теореме Менелая для треугольника FSR’ и прямой GWC имеем откуда

то есть SG : GF = 3 : 4.

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

а) Обозначим за M, N середины ребер SA и SD. Поскольку MN — средняя линия треугольника SAD, то поэтому точка B также лежит в данной плоскости. Поэтому с гранью ABS данная плоскость пересекается по прямой BM — медиане треугольника SAB. Она делит его медиану SQ (Q — середина AB) в отношении 2 : 1 считая от вершины.

б) Пусть Поскольку MN — средняя линия треугольника SAD, она делит отрезок SK пополам, то есть T — середина SK. Ясно, что T лежит в данной плоскости.

Рассмотрим теперь треугольник SBF. В нем проведена медиана SK и отмечена ее середина T. В данной плоскости лежит прямая BT, пересекающая SF в точке W. Осталось выяснить местоположение точки W.

Напишем теорему Менелая для треугольника FSK и прямой откуда

Можно поподробнее, откуда вы взяли, что точка В лежит в плоскости сечения?

из параллельности

На мой взгляд, условие, состоящее в том, что боковое ребро вдвое больше ребра основания, не используется при решении задачи и является лишним.

Согласны, убрали из условия это уточнение.

Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1×1×3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.

а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?

б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 400 невозможно разместить 133 контейнера?

в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?

а) Длина одного из рёбер параллелепипеда объёмом 150 делится на 3. Значит, если расположить все контейнеры так, чтобы их длинное ребро было параллельно этому ребру параллелепипеда, то склад будет полностью заполнен.

б) Рассмотрим склад размером 2×2×100. Контейнеры в нём могут располагаться только так, что их длинное ребро параллельно длинному ребру склада. Таким образом, любой из контейнеров целиком располагается в одном из четырёх параллелепипедов размером 1×1×100, на которые можно разбить параллелепипед размером 2×2×100. Но в каждый из этих четырёх параллелепипедов можно поместить нс более 33 контейнеров. Значит, на складе невозможно разместить более 132 контейнеров.

в) Пусть склад имеет размеры a×b×c. Покажем, что его можно заполнить контейнерами так, что останется свободное пространство объёмом a₀b₀c₀, где a₀, b₀, c₀ остатки от деления на 3 чисел a, b и c соответственно. Параллелепипед размером a×b×c можно разбить на параллелепипеды размером и Каждый из этих параллелепипедов, кроме последнего, можно полностью заполнить контейнерами, поскольку длина одного из рёбер каждого из этих параллелепипедов делится на 3. Таким образом, останется незаполненным только параллелепипед размером объём которого равен a₀b₀c₀.

Заметим, что для любых чисел а, b и с значение выражения a₀b₀c₀ не превосходит 8. Значит, склад объёмом не менее 200 всегда можно заполнить контейнерами так, чтобы объём свободного пространства был не более 8. Таким образом, можно гарантировать, что не менее 96% склада будет заполнено.

Аналогично пункту б, в склад размером 2×2×50 нельзя поместить больше 64 контейнеров. То есть в этом случае можно заполнить не более 96% склада.

Ответ: а) нет; б) да; в) 96.

Аналоги к заданию № 525383: 527255 Все

Шар проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба.

а) Докажите, что сфера касается ребер в их серединах.

б) Найдите объем шара, если ребро куба равно 1.

Нетрудно решить задачу чисто геометрически (сделайте это). Мы укажем аналитический путь.

Заметим, что сфера касается ребер в их серединах. Введем обозначения так, как показано на рисунке, введем прямоугольную систему координат с центром в вершине куба А, оси направим вдоль ребер (см. рис.), и пусть центр сферы имеет координаты (x₀, y₀, z₀), а радиус сферы равен R. Тогда уравнение сферы будет

а лежащие на сфере точки A, B, D и точка касания сферы с серединой ребра удовлетворяют соответственно уравнениям:

откуда то есть

Тогда объем шара равен

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра

а) Докажите, что

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

а) Спроецируем вершину S на плоскость ABC. Получится точка O — центр правильного треугольника ABC. Значит, а тогда, по теореме о трех перпендикулярах

б) Пусть и — середины ребер и соответственно. — медиана правильного треугольника следовательно, находится по формуле Прямая проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки — точка — лежит на отрезке Значит, прямая является проекцией прямой следовательно, угол — искомый.

где — центр основания, значит, — средняя линия треугольника поэтому Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра SC = 17.

а) Докажите, что

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра

а) Докажите, что

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра

а) Докажите, что

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

нельзя ли этот угол найти через косинус

ведь в основании пирамиды равносторонний треугольник, если провести окружность, то АО=ОN=30:2=15 как радиусы, а так как АМ1=1/2 АО, то АМ1=АО:2=15:2=7,5

Вы, собственно какую окружность имеете в виду? И какое отношение эта окружность имеет к точке И уж точно ни при каких обстоятельствах

Зачтут ли ответ arctg 0.55?

Возможно, вы имели ввиду Да, зачтут.

Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной D, грани которой ABD и ACD — прямоугольные треугольники, ребро AD перпендикулярно медиане основания АК и AD = AK. Сечение пирамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер AD и ВС, является равнобочная трапеция EFGH с основаниями EF и GH, причем точка Е делит ребро BD пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3GC. Найти отношение площади трапеции EFGH к площади грани BCD.

Докажем, что ребро AD перпендикулярно основанию пирамиды. Пусть это не так, тогда заметим, что лучи АВ и АС лежат по разные стороны от АК, и поэтому один из углов DAB или DAC — тупой. Но тогда один из треугольников ABD или ACD не может быть прямоугольным, что противоречит условию. Следовательно, AD перпендикулярно ABC.

Теперь докажем, что плоскость сечения параллельна ребру BC. Рассмотрим параллельные стороны сечения, они должны быть параллельны какому-то из ребер AD, BC, CD, AB (это следует из того, что две плоскости, проходящие через параллельные прямые пересекаются по прямой, параллельной данным прямым). Если прямая EF параллельна прямой CD, то F является серединой ребра BC, а это невозможно по условию. Пусть теперь прямая EF параллельна прямой AB, тогда F является серединой ребра AD, что также невозможно. Если прямая EF параллельна прямой AD, то трапеция прямоугольная, то есть не может быть равнобедренной. Значит, основания трапеции EFGH параллельны ребру BC.

Пусть далее

1. Точка E — середина BD, прямая EF параллельна прямой BC, следовательно, F — середина DC. Пусть — проекции точек E и F на плоскость основания пирамиды. Тогда: т. к. трапеция равнобедренная, тогда и — равнобедренная трапеция. Тогда

и BAC — равнобедренный. Прямая AK — медиана равнобедренного треугольника, следовательно, прямая AK перпендикулярна прямой BC, и тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая DK перпендикулярна прямой BC.

2. Из треугольника DAK найдем тогда площадь треугольника BDC равна

3. Имеем: EN — высота трапеции EFGH, тогда прямая перпендикулярна прямой HG и прямая параллельна прямой AK. Далее,

Найдем площадь трапеции EFGH:

4. В итоге получаем:

Ответ:

В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся рёбер равны 12 и 4, а остальные рёбра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.

Пусть — середины этих ребер соответственно. Тогда центр вписанной сферы лежит в бисектральной плоскости, проходящей через ребро то есть в (она перпендикудярна поэтому тетраэдр симметричен относительно нее). Аналогично центр лежит и в то есть лежит на отрезке Очевидно (поскольку лежит в плоскостях, перпендикулярных этим отрезкам). Тогда

Найдем радиус вписанной сферы. Он равен

Итак, на отрезке располагается точка на расстоянии от плоскости при этом расстояния от точек и равны и Значит, она делит этот отрезок в отношении и располагается на расстоянии от точки Это и есть ответ.

Ответ:

В пирамиде SLMN даны рёбра LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера радиуса касается плоскости основания LMN и боковых рёбер пирамиды. Точки касания делят эти рёбра в равных отношениях, считая от вершины S. Найти объём пирамиды.

Рассмотрим треугольники с вершинами в центре сферы,вершине и точках касания сферы с боковыми ребрами. Они все равны по гипотенузе (общей) и катету (радиусу), поэтому у них равны и расстояния от точек касания до Из условия о равенстве отношений получаем, что боковые ребра пирамиды равны. Следовательно, ее высота падает в центр H описанной окружности основания.

Пусть это отношение было равно Продолжим луч O (O — центр сферы) и отметим точку так, чтобы Тогда перпендикуляры из на боковые ребра будут падать в то есть точка равноудалена от них. Поэтому ее проекция на плоскость — центр описанной окружности треугольника Следовательно, O лежит на Тогда

Рассмотрим треугольник SHN. Пусть тогда (поскольку O равноудалена от ON и SN, она лежит на биссектрисе угла). Тогда

Ответ:

Приведем другое решение.

Пусть сфера касается боковых ребер SL, SM, SN пирамиды в точках P, Q, T соответственно. O — центр сферы.

Тогда у пирамиды OPQT с основанием PQT боковые ребра равны как радиусы сферы. А значит, вершина O проектируется в центр описанной окружности (назовем K) около основания (действительно, прямоугольные треугольники PKO, QKO, TKO равны по гипотенузе и катету, а значит точка K равноудалена от каждой вершины основания PQT).

Но ведь тогда и, в обратную сторону, в пирамиде SPQT боковые ребра равны, раз ее вершина S спроектировалась в центр описанной окружности около основания.

А поскольку по условию точки касания сферы делят боковые ребра пирамиды в равных отношениях, считая от вершины S, то и LS = MS = NS, а также S проектируется в центр описанной окружности около треугольника LMN.

Ну и поскольку плоскости (PQT), (LMN) параллельны, то и точки S, K, O, H лежат на одной прямой.

Найдем радиус описанной окружности около основания LMN пирамиды SLMN, а так же площадь основания пирамиды.

По формуле Герона где имеем:

Тогда, пользуясь формулой нахождения радиуса описанной окружности около треугольника с площадью S и сторонами a, b, с: имеем:

Обратимся к прямоугольному треугольнику SMH. Как мы знаем, радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости, то есть OQ ꓕ SM. Тогда из равенства треугольников OMH и OMQ (по гипотенузе у катету) следует, что OM — биссектриса угла SMH.

Пусть Из треугольника OMH имеем:

Из треугольника SMH:

Как только мы найдем — мы будем знать высоту пирамиды (площадь основания мы уже знаем), тогда и объем будет найден. Итак,

Наконец, из треугольника SMH:

К диагонали куба провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Пусть ребро куба равно О — центр куба, точки К и N — середины рёбер AD и AВ соответственно.

Заметим, что A₁N = NC = треугольник A₁NC равнобедренный, его медиана NO является высотой, поэтому NО — перпендикуляр к AС. Аналогично KO перпендикуляр к АС.

Найдём угол KON. Введем систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:

Найдём угол между векторами из их скалярного произведения:

Следовательно,

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. Через середины ребер AB и BC параллельно прямой ВD₁ проведена плоскость.

А) Постройте сечение куба этой плоскостью.

Б) Найдите площадь полученного сечения.

а) Пусть — середины ребер соответственно. Продлим прямую до пересечения с и в точках соответственно. Очевидно

поскольку

Отметим теперь середины диагоналей граней и Прямые, соединяющие их с точками параллельны диагонали куба (как средние линии треугольников ), поэтому эти точки лежат в плоскости сечения. Соединим их с точками и Образовавшиеся точки пересечения с ребрами назовем а точку пересечения с ребром — Тогда — искомое сечение.

б) Обозначим середины отрезков за Очевидно треугольники подобны, причем откуда Тогда Значит, высота равнобедренной трапеции равна аналогично высота треугольника равна поэтому