Докажите что параллелограмм диагонали которого взаимно перпендикулярны является ромбом

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

Пусть и — диагонали ромба (рис. 49), — точка их пересечения. Поскольку и то — медиана равнобедренного треугольника проведенная к основанию Поэтому является также высотой и биссектрисой треугольника

Следовательно, и

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол а диагональ делит пополам углы и

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть — диагональ ромба а — его высота (рис. 50), = 28°.

1) В

2) Так как делит угол пополам, то

3) Тогда

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть — параллелограмм (рис. 48). Так как (по условию) и (по свойству параллелограмма), то Следовательно, — ромб.

2) Пусть (рис. 49). Поскольку (по свойству параллелограмма), то (по двум катетам). Следовательно, По п. 1 этой теоремы — ромб.

3) Диагональ делит пополам угол параллелограмма (рис. 49), то есть Так как — секущая, то (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Поэтому по признаку равнобедренного треугольника — равнобедренный и По п. 1 этой теоремы — ромб.

Пример:

Доказательство:

Пусть (рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то — параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма соседние стороны равны. Поэтому — ромб (по признаку ромба).

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 399-423

Упражнения 399 — 423 из учебника «Геометрия 8 класс. УМК Атанасян» с ответами и решениями. Глава 5. Четырёхугольники. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат (46. Прямоугольник. 47. Ромб и квадрат. 48. Осевая и центральная симметрии). Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 399-423 + ОТВЕТЫ.

Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.

Геометрия 8 класс Атанасян
Глава 5. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат
Задачи №№ 399 — 423:

Задача № 399. □ Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Задача № 400. □ Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Задача № 401. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Задача № 402. □ Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.

Задача № 403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если ∠CAD = 30°, АС = 12 см.

Задача № 404. □ Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Задача № 405. □ В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Задача № 406. Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, АС= 10,5 см.

Задача № 407. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.

Задача № 408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Задача № 409. □ Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

Задача № 410. □ Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Задача № 411. □ В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

Задача № 412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС = 12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Задача № 413. □ Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

Задача № 414. □ Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.

Задача № 415. □ Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

Задача № 416. □ Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

Задача № 417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?

Задача № 419. □ Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Задача № 420. □ Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

Задача № 421. □ Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

Задача № 422. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

Задача № 423. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К?

Вы смотрели: Упражнения из учебника «Геометрия 8 класс. УМК Атанасян» с ответами и решениями. Глава 5. Четырёхугольники. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 399-423 + ОТВЕТЫ.

Источник

Ромб, его свойства и признаки.

Ромб, его свойства и признаки.

Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.

ТЕОРЕМА. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.

2. и – смежные, значит, по свойству смежных углов

, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).

3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е. , ч.т.д.

ТЕОРЕМА. У ромба диагонали являются биссектрисами углов.

Доказать: – биссектриса и

Для того, чтобы доказать, что и являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.

Итак, ромб обладает следующими свойствами :

У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.

У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.

У ромба противоположные углы равны.

У ромба высоты равны.

Теперь определим признаки ромба.

ТЕОРЕМА ( I признак ромба). Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.

– ромб (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( II признак ромба). Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.

по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).

ТЕОРЕМА ( III признак ромба). Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

ТЕОРЕМА ( IV признак ромба). Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.

ТЕОРЕМА ( V признак ромба). Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.

Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.

Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.

Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.

Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.

Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.

Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.

Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.

Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.

В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.

В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.

Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.

Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.

Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.

Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.

Докажите, что треугольник равнобедренный.

В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.

Источник

Ромб и квадрат

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Наряду с ними ромб обладает особым свойством. Рассмотрим его.

Рассмотрим ромб ABCD (рис. 169). Требуется доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что ∠ВАС = ∠DAC.

По определению ромба все его стороны равны, в частности АВ = AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезок АО — медиана равнобедренного треугольника BAD, проведённая к основанию, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC ⊥ BD и ∠BAC = ∠DAC, что и требовалось доказать.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Сформулируем основные свойства квадрата.

Источник