Докажите что периметр треугольника образованного средними линиями данного треугольника
Закрепление усвоенных умений и навыков
А класс Геометрия
Тема урока:
Средняя линия треугольника и ее свойства.
Записать в тетради число, тему урока
Актуализация опорных знаний
Закрепление усвоенных умений и навыков
Задача 1. Докажите, что периметр одного треугольника, образованного средними линиями второго треугольника, вдвое меньшепериметра второго треугольника.
Пусть ABC (рис. 7) — данный треугольник; DE, EF, DF — его средние линии. По свойству средней линии треугольника DE= 
AC;
DF= BC; EF = AB. PΔDEF = 
AC+BC+AB)= 
PΔ ABC, что и требовалось доказать.
Задача 2. Периметр первого треугольника равен 76 см. Стороны второго треугольника, образованного средними линиями первого треугольника, относятся как 4:7:8. Найдите стороны первого треугольника.
Из доказанной задачи 1 следует, что периметр второго треугольника, образованного средними линиями первого треугольника, равен 76:2 =38 (см). Пусть x — коэффициент пропорциональности, тогда имеем уравнение:
Значит, стороны второго треугольника, образованного средними линиями,—
8 см, 14 см, 16 см, а стороны первого треугольника равны 16 см, 28 см и 32см.
Ответ: 16 см, 28 см, 32 см.
Задача 3. В четырехугольнике ABCD угол между диагоналями AC и BD равен 60º, AC =BD =10 см. Найдите меньшую диагональ четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон четырехугольника ABCD.
Пусть ABCD (рис. 8) — данный четырехугольник; M, N, P, L — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Как известно, четырехугольник MNPL — ромб, так как это параллелограмм с равными сторонами
(MN=NP=PL=LM=5 см= AC).
Пусть точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию ∠BOA =60º. Четырехугольник MKOF — параллелограмм, так как MF ǁ OK и FO =MK. Значит, ∠NML =∠KOF =60º как противолежащие углы параллелограмма. Отсюда стороны ромба MN, ML и его диагональ NL образуют равносторонний треугольник MNL. Значит, NL =MN =ML =5 см. Ответ: 5 см.
Задача 4. Определите вид четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон: а) квадрата; б) четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями.
Задача 5. В четырехугольнике последовательно соединены отрезками середины сторон. В свою очередь, в образовавшемся четырехугольнике
середины его сторон тоже последовательно соединены отрезками. Полученный таким образом четырехугольник — ромб. Докажите, что диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны.
Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.
Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.
Определение и признаки средней линии треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.
Доказательство следует из теоремы Фалеса.
Теорема о средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.
Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.
Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.
По определению, MN – средняя линия ΔABC.
Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.
Доказательства
Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.
Следовательно, MN II AC.
Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.
Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.
Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,
По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.
Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.
Формула MN = ½AC следует из условий
поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.
Рассматривается сумма векторов
Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то
Отсюда следует, что
Из последнего равенства следуют условия теоремы.
Следствия из теоремы с доказательствами
Следствие №1
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.
По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому
Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.
Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как
Следствие №2
Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.
Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.
Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.
Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.
Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.
Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.
По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.
Свойства средней линии треугольника
Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.
Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.
Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.
Средняя линия прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.
Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.
Пример решения задачи
Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.
Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.
Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.