Докажите что площадь описанного многоугольника равна

§ 4. Вписанная и описанная окружности

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности. На рисунке 231 четырёхугольник EFMN описан около окружности с центром О, а четырёхугольник DKMN не является описанным около этой окружности, так как сторона DK не касается окружности.

На рисунке 232 треугольник АВС описан около окружности с центром О.

Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 232). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то OK = OL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам OK, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.

В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Обратимся к рисунку 232. Мы видим, что треугольник АВС составлен из трёх треугольников: ABO, ВСО и САО. Если в каждом из этих треугольников принять за основание сторону треугольника АВС, то высотой окажется радиус r окружности, вписанной в треугольник АВС. Поэтому площадь S треугольника АВС выражается формулой

В отличие от треугольника не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трёх его сторон (рис. 233, а), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырёх его сторон, т. е. нельзя вписать окружность. Если же в четырёхугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

Это свойство легко установить, используя рисунок 233, б, на котором одними и теми же буквами обозначены равные отрезки касательных. В самом деле, АВ + CD = а + b + с + d, ВС + AD-a + b + c + d, поэтому АВ + CD = ВС + AD. Оказывается, верно и обратное утверждение:

Описанная окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность. На рисунке 234 четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром О, а четырёхугольник AECD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Треугольник АВС на рисунке 235 является вписанным в окружность с центром О.

Докажем теорему об окружности, описанной около треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС (рис. 235). Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то О А = ОВ = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность.

В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудалён от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

В отличие от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом (объясните почему). Если же около четырёхугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

Это свойство легко установить, если обратиться к рисунку 236 и воспользоваться теоремой о вписанном угле. В самом деле,

Оказывается, верно и обратное:

Задачи

689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

692. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, СВ, RA, если АВ = 10 см, ВС = 12 см, СА = 5 см.

693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна m.

695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхугольника.

696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.

700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.

702. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) BC = 134°; б) АС = 70°.

703. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС= 102°.

704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. а) Докажите, что точка О — середина гипотенузы. б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен α.

705. Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, ∠B = 30°.

706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.

709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность.

Ответы к задачам

689. см.

692. АР =1,5 см, РВ = 8,5 см, BQ = 8,5 см, QC = 3,5 см, CR= 3,5 см, RА = 1,5 см.

693. а) 60 см; б) 40 см.

702. a) ∠A = 67°, ∠B = 23°, ∠C = 90°; б) ∠A = 55°, ∠B = 35°, ∠C = 90°.

703. ∠A = 51°, ∠B = ∠C = 64°30′ или ∠A= 129°, ∠B = ∠C = 25°30′.

704. 6) d, d sin α, d cos α.

705. a) 5 cm; б) 18см. Указание. Воспользоваться задачей 704.

709. Указание. Воспользоваться свойством углов вписанного четырёхугольника.

710. Указание. Воспользоваться задачей 659.

Источник

Площади многоугольников

Иными словами, можно сказать, что площадь фигуры — это величина, численное значение которой показывает, сколько раз единичный квадрат умещается в данной фигуре.

Свойства площади

1. Площадь любого многоугольника — величина положительная.

2. Равные многоугольники имеют равные площади.

3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Теорема: площадь прямоугольника

Доказательство

Определение

Теорема: площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Доказательство

Заметим, что прямоугольные треугольники \(ABB’\) и \(DCC’\) равны. Таким образом,

Определение

Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство

Теорема

Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

Следствие

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Теорема

Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_2B_2C_2\) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона

Замечание

Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Теорема

Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Доказательство

Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:

\(\begin S_=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end\)

Следствие: площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S_<\text<ромб>>=\dfrac12 d_1\cdot d_2\]

Определение

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство

Тогда \(ABCD’\) – параллелограмм.

Проведем также \(BH’\perp AD, CH\perp AD\) ( \(BH’=CH\) – высоты трапеции).

Тогда \(S_=BH’\cdot AD’=BH’\cdot BC, \quad S_=\dfrac12CH\cdot D’D\)

\[S_=S_+S_=BH’\cdot BC+\dfrac12CH\cdot D’D=\dfrac12CH\left(2BC+D’D\right)=\] \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD’+D’D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Источник

Докажите что площадь описанного многоугольника равна

Треугольники

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Треугольник, все три стороны которого равны, называется правильным (равносторонним) треугольником.

Пусть a, h, S, R, r — соответственно длина стороны, высота, площадь, радиус описанной и радиус вписанной окружности правильного треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию, совпадают. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Высоты (медианы, биссектрисы), проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами этого треугольника.

Обозначим через c гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC, через a_c и b_c — проекции катетов a и b на гипотенузу AB, а через h_c — высоту, проведенную из вершины прямого угла C этого треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:

Тригонометрические функции дополнительных углов

Тригонометрические функции дополнительных углов являются сходственными:

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы противоположны:

Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, на прямую, содержащую противоположную сторону, называется высотой треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности).

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, уменьшенной на удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними :

Многоугольники

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Справедливы следующие утверждения.

— Две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

— Противоположные стороны четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

— Противоположные углы четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

— Диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, прямоугольник обладает следующим характеристическим свойством.

Диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник.

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Так как ромб, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, ромб обладает следующими характеристическими свойствами.

Диагонали параллелограмма делят его углы пополам тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.

Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.

Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или даже пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма — параллелограмма Вариньона.

Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

Если исходный параллелограмм — прямоугольник, то параллелограмм Вариньона — ромб. Если исходный параллелограмм — ромб, то параллелограмм Вариньона — прямоугольник. Если исходный параллелограмм — квадрат, то параллелограмм Вариньона — квадрат.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной трапецией. Трапеция, один из углов которой прямой, равен называется прямоугольной трапецией. Трапеция обладает следующими свойствами.

— Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

— Отрезок, соединяющие середины диагоналей трапеции, равен полуразности большего и меньшего оснований.

— Диагонали трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равно-бедренная.

— Углы при каждом основании трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

— Сумма противолежащих углов в равнобедренной трапеции равна 180°.

— В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, равно средней линии.

Правильным шестиугольником называется шестиугольник, у которого все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник обладает следующими свойствами.

— Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

— Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.

— Меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.

— Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.

— Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.

— Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.

Теоремы о площадях многоугольников

Для вычисления площадей многоугольников применяют следующие теоремы.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне или к ее продолжению.

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Площадь многоугольника, вершины которого лежат в узлах решетки, равна где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Окружность,круг и их элементы

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов).

Отрезок, концы которого лежат на окружности, называется ее хордой.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо в сумме дают 180°.

Хорда, равная диаметру, из всех точек окружности видна под углом 90°.

Радиус окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

Угол между двумя хордами равен полусумме высекаемых ими дуг:

Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки пересечения хорд до центра окружности:

Касательная к окружности

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности. Справедливы следующие утверждения.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги.

Угол между двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:

Пусть через данную точку, лежащую вне окружности, проведены секущая и касательная к этой окружности. Тогда произведение расстояний от данной точки до точек пересечения секущей с окружностью равно квадрату отрезка касательной с концами в данной точке и в точке касания:

Угол между секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:

Если через некоторую точку, лежащую вне окружности, проведена секущая этой окружности, то произведение расстояний от данной точки до точек пересечения секущей с окружностью есть величина постоянная, равная разности квадрата расстояния от центра окружности до данной точки и квадрата радиуса этой окружности:

Круг и его элементы

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Центр, радиус и диаметр окружности, ограничивающей круг, называются также центром, радиусом и диаметром круга. Любые два радиуса делят круг на две части, каждая из которых называется круговым сектором или просто сектором. Дуга, ограничивающая сектор, называется дугой сектора. Любая хорда делит круг на две части, каждая из которых называется круговым сегментом или просто сегментом.

Соотношения между элементами окружности и круга

Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга, — длина дуги в n градусов, — длина дуги в радиан, — площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов, — площадь сектора, ограниченного дугой в радиан. Тогда имеют место следующие соотношения:

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка, равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, — точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. В многоугольник можно вписать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В любой треугольник можно вписать окружность.

В правильный многоугольник можно вписать окружность.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Если окружность радиуса r вписана в многоугольник, площадь которого равна S, а полупериметр равен p, то имеет место соотношение площадь описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Если окружность вписана в правильный треугольник, то ее радиус r выражается через его сторону a по формуле

Если окружность радиуса r вписана в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, то

Если окружность вписана в квадрат, то ее радиус равен половине стороны квадрата.

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Центр окружности, описанной вокруг многоугольника, есть точка, равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Около многоугольника можно описать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около любого треугольника можно описать окружность. Радиус описанной окружности равен отношению половины стороны к синусу противолежащего угла:

Около правильного многоугольника можно описать окружность.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

Источник