Докажите что плоскость проведенная через середины ребер д1с1 в1с1 сс1 куба авсда1в1с1д1

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

14. Стереометрия

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Объемы, площади, сечения

Найдите площадь сечения, вершинами которого являются вершина А и середины рёбер ВВ₁ и DD₁единичного куба АВСDA₁B₁C₁D₁.

Дополнительное построение К – середина ребра ВВ₁ и М – середина ребра DD₁.

Строим сечение методом следов:

Сечением является ромб. Найдем его сторону по теореме Пифагора:

Большая диагональ куба является диагональю куба – АС₁.

Найдем угол АКС₁ по теореме косинусов:

$AC_1^2=AK^2+KC_1^2-2\cdot AK\cdot KC_1\cdot\cos AKC_1 \\[5pt] 3=\displaystyle\frac<5><4>+\frac<5><4>-2\cdot\frac<5><4>\cdot\cos AKC_1 \\[2pt] \cos AKC_1=-\displaystyle\frac<1><5>$

Найдем площадь искомого сечения:

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Сечение шара плоскостью – круг.

Дополнительное построение – плоскость α имеет радиус АВ, плоскость β – FD и FC.

Применим теорему Пифагора:

$OC^2=OF^2+FC^2 \\[2pt] OD^2=OF^2+FD^2$

Вычтем из одного уравнения другое.

Применим еще раз теорему Пифагора:

$OA^2+AB^2=OB^2 \\[2pt] OB^2=OC^2$

$OA^2+AB^2-OD^2=FC^2-FD^2 \\[3pt] OD=OA\rightarrow AB^2=FC^2-FD^2 \\ FC^2=AB^2+FD^2=\displaystyle\frac<5><\pi>+\frac<7><\pi>=\frac<12><\pi>$

Также возможен случай, когда плоскости будут по одну сторону от центра. Решение будет аналогичным.

В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = CD = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60.

1) Дополнительное построение:

2) Треугольники АВС и АBD равнобедренные по условию, значит, АК и BP будут являться медианами по свойству равнобедренного треугольника. Тогда DK, СР также являются одновременно медианой и высотой.

3) РК медиана, биссектриса и высота в треугольниках ВРС и AKD. Тогда PK ⊥ BC и PK ⊥ AD.

Тогда, треугольник BPK равен треугольнику АКР по углу

$\angle BPK=\displaystyle\frac<1><2>\angle BPC=\frac<1><2>\angle AKD=\angle AKP$ и катету РК.

Из равенства треугольников следует, что BK = AP.

$BK=\displaystyle\frac<1><2>BC \\[3pt] AP=\displaystyle\frac<1><2>AD$

1) По данным пункта б: ∠BPC = ∠AKD = 60°, тогда треугольники АКD и ВРС равносторонние. Пусть сторона каждого такого треугольника будет равна х.

2) Дополнительное построение. Пусть DO⊥ AK.

$\left\<\beginBC\perp KD\ (&по\ доказанному\ в\ пункте\ а) \\ BC\perp AK\ (&по\ доказанному\ в\ пункте\ а) \\ &KD\cap AK=K\end\right.\!\!\!\Rightarrow BC\perp AKD\ <(по\ признаку\ перпендикулярности\atop прямой\ и\ плоскости)>$

Из доказанного следует, что BC ⊥ OD. Значит:

То есть, OD – высота пирамиды.

Треугольник АВК прямоугольный, значит:

4) Высота пирамиды и равностороннего треугольника равна:

5) Площадь основания равна:

$S_=\displaystyle\frac<1><2>AK\cdot BC=\frac<1><2>\cdot x\cdot x=\frac<1><2>\cdot 2\sqrt<5>\cdot 2\sqrt<5>=10 \\ V=\displaystyle\frac<1><3>\cdot h\cdot S_=\frac<1><3>\cdot\sqrt<15>\cdot 10=\frac<10\sqrt<15>><3>$

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

а) 1. Дополнительное построение.

Пусть B₁D₁ пересекается с построенной прямой в точке О.

Прямая BD₁параллельная плоскости С₁ОК, так как параллельна как минимум одной прямой ОК (по построению), лежащей в этой плоскости.

2) Через точку С₁ и О проведем прямую. Пусть прямая С₁О пересекается с A₁B₁в точке Р. Точка Р – точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

3) В треугольнике BB₁D отрезок ОК параллелен BD₁. Значит отрезок ОК делит треугольник BB₁D на 2 подобных (признак подобия по 2 углам).

Что и требовалось доказать.

б) Объем куба равен 125.

Найдем объем другой части куба.

Из объема всего куба вычтем объем пирамиды.

Источник

Докажите что плоскость проведенная через середины ребер д1с1 в1с1 сс1 куба авсда1в1с1д1

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 6 : 1, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 3 : 4, а точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 30, AA₁ = 35.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Значит, треугольники D₁A₁E и TB₁F подобны, причём прямые D₁A₁ и B₁C₁ параллельны, прямые A₁E и B₁F тоже параллельны. Поэтому прямые ED₁ и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D₁, то получается, что в плоскости AA₁D₁D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.

б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA₁.

Следовательно, EF = D₁T, и трапеция EFTD₁ равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.

Тогда площадь трапеции равна