Параллельность прямой плоскости.10 класс Презентация составлена для изучения темы. Будет полезна учителям и учащимся.
Просмотр содержимого документа «Параллельность прямой плоскости»
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки.
В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая и плоскость
Не имеют общих точек
Имеют одну общую точку (пересекаются)
Имеют более одной общей точки (прямая лежит в плоскости)
Параллельности двух прямых
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой.
В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.
В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой
Верно ли утверждение о том, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Верно ли утверждение: «Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости»?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Даны две параллельные прямые. Через каждую из них проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Сторона AF правильного шестиугольника ABCDEF лежит в плоскости α, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены прямые, содержащие остальные стороны этого шестиугольника, относительно плоскости α?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 24.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра октаэдра?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У октаэдра 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 24.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У икосаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 60.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У додекаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 60.
Докажите что плоскости проходящие через точки ad1b1 и c1bd куба abcda1b1c1d1 параллельны
а) Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником.
б) Найдите расстояния от точки A до плоскости KLM, если ребро куба равно 2.
а) Так как плоскость KLM пересекает рёбра AB, B1C1 и DD1, она должна также пересекать рёбра C1D1, AD и BB1. Назовём точки пересечения Q, R, P соответственно. Таким образом, в сечении получаем шестиугольник KPLQMR. Пусть плоскость сечения пересекает ребро AA1 в точке S, тогда через неё проходят прямые KP и MR. Так как грани куба параллельны, то прямые KP и MQ также параллельны, следовательно, так как AK = KB = MD1, треугольники KSA, KPB и MQD1 равны.
Далее, с одной стороны, углы MQD, SKD и PKB равны как углы между парами параллельных прямых, с другой стороны, углы MQD и KPB равны как углы, лежащие напротив равных сторон. Следовательно, углы PKB и KPB равны, и указанные треугольники равнобедренные: BK = BP, D1M = D1Q, P — середина BB1, Q — середина C1D1, R — середина AD. Таким образом, KP = PL = LQ = QM = MR = RK.
Заметим теперь, что KL = PQ = LM = QR = MK = RP, поэтому равнобедренные треугольники KPL, PLQ, LQM, QMR, MRK, RKP и углы шестиугольника равны. Следовательно, KPLQMR — правильный шестиугольник.
б) Рассмотрим пирамиду SAKR и запишем её объём двумя способами:
где hA — искомое расстояние, AS = AK = AR = 1, Далее,
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите что плоскости проходящие через точки ad1b1 и c1bd куба abcda1b1c1d1 параллельны
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 6 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AD = 30, AA1 = 35.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Значит, треугольники D1A1E и TB1F подобны, причём прямые D1A1 и B1C1 параллельны, прямые A1E и B1F тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA1.
Следовательно, EF = D1T, и трапеция EFTD1 равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.
Тогда площадь трапеции равна
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите что плоскости проходящие через точки ad1b1 и c1bd куба abcda1b1c1d1 параллельны
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. На стороне ВВ1 отмечена точка К так, что ВК = 3. Плоскость α проходит через точки С1 и К и параллельна прямой BD1. Плоскость α пересекает ребро А1В1 в точке Р.
б) Найдите угол наклона плоскости α к грани ВВ1С1С.
Уравнение плоскости — ax + by + cz + d
Приведём координаты точек C(0; 4; 4), K(4; 4; 3),
Подставив координаты указанных точек в уравнение, получим систему трёх уравнений
Откуда имеем: a = 1, b = 3, c = 4, d = −28, тогда x + 3y + 4z − 28 = 0 уравнение плоскости PKC1— вектор нормали PB1 ⊥ (BB1); B1(4; 4; 4), тогда
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б.
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, или обоснованно получен верный ответ в пункте б.
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
0
*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода
Урок №9. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярная к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярная к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Теорема о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Для того чтобы проверить перпендикулярность прямой к плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Для доказательства рассмотрим прямую a, перпендикулярная к прямым p и q, лежащим в плоскости α и пересекающимся в точке О (рис. 1).
Сначала рассмотрим случай, когда прямая a проходит через точку О (рис. 2). Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Если m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму m.
Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы точка O была серединой отрезка AB. Затем проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.
Так как отрезок AO равен OB и прямая a перпендикулярна к прямым p и q, то p и q являются серединными перпендикулярами к отрезку AB. Поэтому отрезок AP равен BP и AQ равен BQ. Следовательно, треугольник APQ равен треугольнику BPQ по трем сторонам. Отсюда получаем, что угол APQ равен углу BPQ.
Треугольники APL и BPL равны по двум сторонам и углу между ними, так как отрезок AP равен BP, PL – общая сторона и угол APL равен углу BPL. Значит, отрезок AL равен BL. Значит, треугольник ABL – равнобедренный, а его медиана LO является и высотой, т.е. l перпендикулярна прямой a.
По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой m будет перпендикулярна прямой a. Поэтому a перпендикулярна к любой прямой m плоскости α.
Теперь рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через точку O (рис. 3). Проведем через точку O прямую a1, параллельную a. По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей, получим, что прямая a1 перпендикулярна прямым p и q. Поэтому по доказанному в первом случае a1 перпендикулярна плоскости α.
По теореме о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости a перпендикулярна к плоскости α.
Теорема доказана.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Докажем, что прямые CA1 и BD, проходящие через вершины куба ABCDA1B1C1D1, перпендикулярны (рис. 4).
Рассмотрим плоскость ACC1 и прямую BD. Так как прямая BD перпендикулярна прямым AA1 и AC, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая BD перпендикулярна ACC1.
Следовательно, прямая BD перпендикулярна любой прямой в ACC1. В частности, прямая BD перпендикулярна прямой CA1. Что и требовалось доказать.
Тестовый вопрос №5. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?
Решение. Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. В нем сказано, что прямые в плоскости должны пересекаться. В условии подобного не сказано, поэтому утверждение неверно.
Тестовый вопрос №7. Треугольник АВС – равносторонний, CD – медиана, MD перпендикулярно плоскости ABC. AB = 2√3, MD = 4. Найти MC.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Это означает, что его медиана так же является высотой и биссектрисой. Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный, т.к. DC медиана и высота. Сторона AD равна √3. По теореме Пифагора вычислим длину стороны DC: .
Далее рассмотрим треугольник MDC, он прямоугольный, т.к. MD перпендикулярна плоскости ABC. Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдем MC: .
Далее, 
AD = 30, AA1 = 35.
— вектор нормали PB1 ⊥ (BB1); B1(4; 4; 4), тогда 
.
.