Докажите что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые

488. Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

М и N — произвольные точки, лежащие по разные стороны от секущей АВ.

При движении ∠МAB перейдет в равный ∠М₁A₁B₁, a ∠ABN — в равный угол ∠A₁B₁N₁. Т.к. при движении плоскость α переводится в плоскость β, то прямые A₁M₁ и B₁N₁ лежат в одной плоскости β.

Отмеченные углы — ∠1 и ∠2, являются внутренними накрест лежащими, а если ∠1=∠2, то по признаку параллельности прямых М₁A₁ || B₁N₁, или а₁ || b₁. тогда, а → а₁, а || а₁ и b → b₁, b || b₁.

б) α || β. Пересечем α и β плоскостью С, получим две параллельные прямые A₁B₁ || АВ.

На линии пересечения плоскости С с плоскостью β через некоторую точку А₁ проведем плоскость Q, пересекающую α и β по параллельным прямым А₁С₁ и АС.

Построим отрезки B₁С₁ и ВС. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны, тогда АА₁=ВВ₁=СС₁.

АВСА₁B₁С₁ — призма. При движении угол отображается на равный ему угол, расстояния между точками сохраняются. При этом, очевидно, основания призмы — ΔA₁B₁C₁ и ΔАВС остаются параллельными друг другу, и плоскости, которые можно провести через вершины A, В, С и A₁, B₁, C₁, будут также параллельны друг другу.

Источник

Выручайте № 1151 ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Так как осевая и центральная симметрия есть движение, то а||b
отображаются на прямые a1|| b1.

Не понимаю, как решить задачу Гл.V №441.
Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.
( Подробнее. )

Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих ( Подробнее. )

Решите систему уравнений: ( Подробнее. )

Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и ( Подробнее. )

Источник

Понятие движения

Урок 40. Геометрия 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Понятие движения»

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте вспомним, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры.

Повторим, что примерами отображения плоскости на себя является осевая и центральная симметрии.

У осевой симметрии есть одно очень важное свойство: осевая симметрия – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки M₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой a. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой a, прямая a перпендикулярна прямым MM₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NON₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведенными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

,

Таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками M₁ и N₁. Мы с вами рассмотрели один случай расположения точек. Остальные случаи вы можете рассмотреть самостоятельно и убедитесь, что и в остальных случаях эти расстояния будут равны.

Обобщая, можно сказать, что осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояние между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением или по-другому – перемещением.

Давайте сформулируем определение: движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему такое отображение называется движением? Если рассмотреть осевую симметрию, то она представляет собой поворот плоскости в пространстве на 180º вокруг оси А.

Нетрудно убедится в том, что центральная симметрия плоскости также является движением.

Рассмотрим точки М и N и точки M₁, N₁ симметричные точкам М и N относительно точки О.

Рассмотрим треугольники MNO и M₁ON₁.

вертикальные

То есть и при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением.

Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.

Пусть при некотором движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки M₁ и N₁. Тогда нам надо доказать, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Возьмем на отрезке МN произвольную точку P. И построим соответствующую ей точку P₁.

Поскольку точка P – принадлежит отрезку МN, то можно записать, что

.

Поскольку при движении расстояние между точками сохраняется, то

Складывая покомпонентно два последних равенства, получим,

Поскольку точку P на отрезке MN мы выбирали произвольно, то, значит, все точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁. Теперь докажем, что в каждую точку P₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка P отрезка MN. Пусть точка P₁ – произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка P при заданном движении отображается в точку P₁.

Тогда из этих соотношений и этого равенства получим,

Таким образом, теорема доказана.

Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Доказать это следствие не сложно. Мы доказали, что при движении отрезок отображается в равный ему отрезок. То есть при отображении треугольника мы получим треугольник с равными сторонами, значит, полученный треугольник будет равен исходному по трем сторонам.

Задача. Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

, ,

по следствию

Что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Итак, пусть при некотором движении две параллельные прямые a и b отображаются в прямые a₁ и b₁. Определим расстояние между параллельными прямыми. Для этого на прямой a возьмем произвольную точку a и проведем перпендикуляр из точки А на прямую b. Длина этого перпендикуляра и будет расстоянием между параллельными прямыми a и b. Мы знаем, что расстояние между параллельными прямыми одинаково, в каком бы месте мы его не измеряли. То есть, если мы измеряем расстояние между прямыми в точке C, то оно будет равно отрезку AB. Отметим на прямых, в которые отобразились прямые a и b точки, соответствующие точкам А, B, C, D. Поскольку расстояния между точками сохраняется при движении, то расстояние между точками А₁, B₁, C₁, D₁ будет равно расстоянию между точками А, B, C, D соответственно. То есть расстояния между прямыми, которые получились в результате движения тоже одинаковое, где бы мы это расстояние не мерили, то есть эти прямые параллельны.

Задача. Доказать, что при движении: параллелограмм отображается на параллелограмм, трапеция отображается на трапецию, ромб отображается на ромб, прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат – на квадрат.

Решать эту задачу мы будем, используя предыдущие задачи, теорему и следствие. Мы с вами уже доказали, что равные отрезки отображаются в равные отрезки, параллельные прямые – в параллельные прямые, углы в равные им углы.

Зная все это, решение этой задачи становится очевидным. Поскольку стороны параллелограмма параллельны и равны, то они отобразятся в параллельные и равные отрезки.

Тогда получим, что параллелограмм отобразится в четырехугольник, стороны которого параллельны и равны. А такой четырехугольник является параллелограммом.

Аналогично, поскольку основания трапеции – параллельны, то они отобразятся в параллельные отрезки. Углы трапеции отобразятся в равные им углы, значит, трапеция отобразится в трапецию.

Стороны ромба попарно параллельны и равны, значит, у фигуры, в которую отобразится ромб стороны будут попарно параллельны и равны, то есть ромб отобразится в ромб.

Стороны прямоугольника попарно параллельны и равны, углы между сторонами равны 90º. Значит, при движении прямоугольник отобразится в четырех угольник, стороны которого попарно параллельны, равны, и углы между сторонами равны 90º. То есть прямоугольник отобразится в прямоугольник.

Стороны квадрата попарно параллельны и равны, значит у фигуры, в которую отобразиться квадрат стороны будут попарно параллельны и равны. Углы квадрата равны 90º, значит, и у фигуры, в которую отобразится квадрат углы будут по 90º. То есть фигура в которую отобразится квадрат – это квадрат.

Подведем итоги урока. Итак, на сегодняшнем уроке мы ввели понятие движения. Мы сказали, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Показали, что осевая и центральная симметрии являются движением. Доказали, что отрезок отображается на отрезок, параллельные прямые отображаются в параллельные прямые. Треугольник отображается в треугольник. Угол отображается на равный ему угол.

Источник

Задачи к § 1. Понятие движения

1148. Докажите, что при осевой симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;
б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

1149. Докажите, что при центральной симметрии плоскости:

а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;
б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

1150. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол A₁O₁B₁, причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки A₁, О₁, В₁. Так как при движении сохраняются расстояния, то ОА = О₁А₁, ОВ = О₁В₁. Если угол АОВ неразвёрнутый, то треугольники АОВ и А₁О₁В₁ равны по трём сторонам, и, следовательно, ∠AOB = ∠A₁O₁B₁. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А₁О₁В₁ развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

1151. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

1152. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

1153. Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

1154. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

1155. АВС и А₁В₁С₁ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁, С₁.

1156. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁ и С₁, и притом только одно.

По условию задачи треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁. Это движение является единственным движением, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и C₁ (задача 1155).

Источник

Задачи к § 1. Понятие движения

1148. Докажите, что при осевой симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;
б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

1149. Докажите, что при центральной симметрии плоскости:

а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;
б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

1150. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол A₁O₁B₁, причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки A₁, О₁, В₁. Так как при движении сохраняются расстояния, то ОА = О₁А₁, ОВ = О₁В₁. Если угол АОВ неразвёрнутый, то треугольники АОВ и А₁О₁В₁ равны по трём сторонам, и, следовательно, ∠AOB = ∠A₁O₁B₁. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А₁О₁В₁ развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

1151. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

1152. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

1153. Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

1154. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

1155. АВС и А₁В₁С₁ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁, С₁.

1156. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁ и С₁, и притом только одно.

По условию задачи треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁. Это движение является единственным движением, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и C₁ (задача 1155).

Источник