Докажите что при движении прямая отображается на прямую плоскость отображается на плоскость

При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α – на плоскость α1?

При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α – на плоскость α1.

Докажите, что если а║α, то а1║ α1.

По условию а || α, тогда все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости α.

Предположим, что при движении а1не параллельна α1, т.

Е. а1пересекает α1, тогда точки прямой а1находятся на различных расстояниях от плоскости α1, что противоречит тому, что при движении расстояние между точками сохраняется.

Предположение неверно, т.

Прямые А и В параллельны?

Прямые А и В параллельны.

Причем прямая А пересекает плоскость альфа.

Докажите, что и прямая В пересекает плоскость альфа.

Прямая a лежит в плоскости альфа?

Прямая a лежит в плоскости альфа.

Докажите что через прямую а можно провести плоскость бетта отличную от альфа.

Докажите что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость то и другая прямая пересекает эту плоскость?

Докажите что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость то и другая прямая пересекает эту плоскость!

Прямые а и в параллельны причем прямая а пересекает некоторую плоскость альфа?

Прямые а и в параллельны причем прямая а пересекает некоторую плоскость альфа.

Докажите что и прямая в пересекает плоскость альфа.

. Плоскости альфа и бета параллельны, причем плоскость альфа пересекает некоторую прямую а?

. Плоскости альфа и бета параллельны, причем плоскость альфа пересекает некоторую прямую а.

Докажите, что и плоскость бета пересекает прямую а.

Плоскости альфа и бетта пересекаются по прямой С?

Плоскости альфа и бетта пересекаются по прямой С.

Плоскость у, параллельна прямой С, пересекает плоскости альфа и бетта по прямым а и в соотвественно.

Докажите, что а параллельно плоскости бетта и прямая в параллельна плоскости альфа.

Плоскости а в пересекаются по прямой ав?

Плоскости а в пересекаются по прямой ав.

Плоскость в у по прямой вс.

А плоскость а у по прямой а с.

Докажите что точки авс лежат на одной прямой.

Помогите пожалуйста?

Прямая a лежит в плоскости альфа?

Прямая a лежит в плоскости альфа.

Докажите, что через прямую а можно провести плоскость гамма, отличную от альфа.

Решите задачу?

Плоскости альфа и бета пересекаются по прямой с.

Прямая а лежит в плоскости бета и параллельна плоскости альфа.

Докажите что прямые а и с параллельны.

Источник

Понятие движения

Урок 40. Геометрия 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Понятие движения»

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте вспомним, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры.

Повторим, что примерами отображения плоскости на себя является осевая и центральная симметрии.

У осевой симметрии есть одно очень важное свойство: осевая симметрия – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки M₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой a. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой a, прямая a перпендикулярна прямым MM₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NON₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведенными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

,

Таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками M₁ и N₁. Мы с вами рассмотрели один случай расположения точек. Остальные случаи вы можете рассмотреть самостоятельно и убедитесь, что и в остальных случаях эти расстояния будут равны.

Обобщая, можно сказать, что осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояние между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением или по-другому – перемещением.

Давайте сформулируем определение: движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему такое отображение называется движением? Если рассмотреть осевую симметрию, то она представляет собой поворот плоскости в пространстве на 180º вокруг оси А.

Нетрудно убедится в том, что центральная симметрия плоскости также является движением.

Рассмотрим точки М и N и точки M₁, N₁ симметричные точкам М и N относительно точки О.

Рассмотрим треугольники MNO и M₁ON₁.

вертикальные

То есть и при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением.

Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.

Пусть при некотором движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки M₁ и N₁. Тогда нам надо доказать, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Возьмем на отрезке МN произвольную точку P. И построим соответствующую ей точку P₁.

Поскольку точка P – принадлежит отрезку МN, то можно записать, что

.

Поскольку при движении расстояние между точками сохраняется, то

Складывая покомпонентно два последних равенства, получим,

Поскольку точку P на отрезке MN мы выбирали произвольно, то, значит, все точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁. Теперь докажем, что в каждую точку P₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка P отрезка MN. Пусть точка P₁ – произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка P при заданном движении отображается в точку P₁.

Тогда из этих соотношений и этого равенства получим,

Таким образом, теорема доказана.

Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Доказать это следствие не сложно. Мы доказали, что при движении отрезок отображается в равный ему отрезок. То есть при отображении треугольника мы получим треугольник с равными сторонами, значит, полученный треугольник будет равен исходному по трем сторонам.

Задача. Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

, ,

по следствию

Что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Итак, пусть при некотором движении две параллельные прямые a и b отображаются в прямые a₁ и b₁. Определим расстояние между параллельными прямыми. Для этого на прямой a возьмем произвольную точку a и проведем перпендикуляр из точки А на прямую b. Длина этого перпендикуляра и будет расстоянием между параллельными прямыми a и b. Мы знаем, что расстояние между параллельными прямыми одинаково, в каком бы месте мы его не измеряли. То есть, если мы измеряем расстояние между прямыми в точке C, то оно будет равно отрезку AB. Отметим на прямых, в которые отобразились прямые a и b точки, соответствующие точкам А, B, C, D. Поскольку расстояния между точками сохраняется при движении, то расстояние между точками А₁, B₁, C₁, D₁ будет равно расстоянию между точками А, B, C, D соответственно. То есть расстояния между прямыми, которые получились в результате движения тоже одинаковое, где бы мы это расстояние не мерили, то есть эти прямые параллельны.

Задача. Доказать, что при движении: параллелограмм отображается на параллелограмм, трапеция отображается на трапецию, ромб отображается на ромб, прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат – на квадрат.

Решать эту задачу мы будем, используя предыдущие задачи, теорему и следствие. Мы с вами уже доказали, что равные отрезки отображаются в равные отрезки, параллельные прямые – в параллельные прямые, углы в равные им углы.

Зная все это, решение этой задачи становится очевидным. Поскольку стороны параллелограмма параллельны и равны, то они отобразятся в параллельные и равные отрезки.

Тогда получим, что параллелограмм отобразится в четырехугольник, стороны которого параллельны и равны. А такой четырехугольник является параллелограммом.

Аналогично, поскольку основания трапеции – параллельны, то они отобразятся в параллельные отрезки. Углы трапеции отобразятся в равные им углы, значит, трапеция отобразится в трапецию.

Стороны ромба попарно параллельны и равны, значит, у фигуры, в которую отобразится ромб стороны будут попарно параллельны и равны, то есть ромб отобразится в ромб.

Стороны прямоугольника попарно параллельны и равны, углы между сторонами равны 90º. Значит, при движении прямоугольник отобразится в четырех угольник, стороны которого попарно параллельны, равны, и углы между сторонами равны 90º. То есть прямоугольник отобразится в прямоугольник.

Стороны квадрата попарно параллельны и равны, значит у фигуры, в которую отобразиться квадрат стороны будут попарно параллельны и равны. Углы квадрата равны 90º, значит, и у фигуры, в которую отобразится квадрат углы будут по 90º. То есть фигура в которую отобразится квадрат – это квадрат.

Подведем итоги урока. Итак, на сегодняшнем уроке мы ввели понятие движения. Мы сказали, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Показали, что осевая и центральная симметрии являются движением. Доказали, что отрезок отображается на отрезок, параллельные прямые отображаются в параллельные прямые. Треугольник отображается в треугольник. Угол отображается на равный ему угол.

Источник

518. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α — на плоскость α1. Докажите, что: а) если a||α, то a1||α1; б) если a⊥α, то a1⊥α1

Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 518 518. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α — на плоскость α1. Докажите, что: а) если a||α, то a1||α1; б) если a⊥α, то a1⊥α1.

а) по условию а || α, тогда все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости α. Предположим, что при движении а1 не параллельна α1, т. е. а1 пересекает α1, тогда точки прямой а1 находятся на различных расстояниях от плоскости α1, что противоречит тому, что при движении расстояние между точками сохраняется. Предположение неверно, т. е. а1 || α1.

В результате движения:

Пусть М — точка плоскости α, в которой a пересечет α. Возьмем произвольные точки

ΔAMB и ΔAMC — прямоугольные треугольники;

(по доказанному в преды

Таким образом, А1М1 перпендикулярна плоскости α1 по признаку перпендикулярности прямой к плоскости.

Источник

488. Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

М и N — произвольные точки, лежащие по разные стороны от секущей АВ.

При движении ∠МAB перейдет в равный ∠М₁A₁B₁, a ∠ABN — в равный угол ∠A₁B₁N₁. Т.к. при движении плоскость α переводится в плоскость β, то прямые A₁M₁ и B₁N₁ лежат в одной плоскости β.

Отмеченные углы — ∠1 и ∠2, являются внутренними накрест лежащими, а если ∠1=∠2, то по признаку параллельности прямых М₁A₁ || B₁N₁, или а₁ || b₁. тогда, а → а₁, а || а₁ и b → b₁, b || b₁.

б) α || β. Пересечем α и β плоскостью С, получим две параллельные прямые A₁B₁ || АВ.

На линии пересечения плоскости С с плоскостью β через некоторую точку А₁ проведем плоскость Q, пересекающую α и β по параллельным прямым А₁С₁ и АС.

Построим отрезки B₁С₁ и ВС. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны, тогда АА₁=ВВ₁=СС₁.

АВСА₁B₁С₁ — призма. При движении угол отображается на равный ему угол, расстояния между точками сохраняются. При этом, очевидно, основания призмы — ΔA₁B₁C₁ и ΔАВС остаются параллельными друг другу, и плоскости, которые можно провести через вершины A, В, С и A₁, B₁, C₁, будут также параллельны друг другу.

Источник

Докажите что при движении прямая отображается на прямую плоскость отображается на плоскость

1 Докажите, что при центральной симметрии плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
РЕШЕНИЕ

2 При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если β параллельна α, то β1||α; β ⊥ α, то β1 совпадает с β.
РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что при движении прямая отображается на прямую; плоскость отображается на плоскость.
РЕШЕНИЕ

4 Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок; угол отображается на равный ему угол
РЕШЕНИЕ

1 Докажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью угол
РЕШЕНИЕ

2 При зеркальной симметрии прямая а отображается на прямую a1. Докажите, что a и a1 лежат в одной плоскости.
РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что при параллельном переносе на вектор p, где p не равно 0: прямая, не параллельная вектору p и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; прямая, параллельная вектору p или содержащая этот вектор, отображается на себя.
РЕШЕНИЕ

4 Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости
РЕШЕНИЕ

1 Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
РЕШЕНИЕ

2 Треугольник A1B1C1 получен параллельным переносом треугольника ABC на вектор P. Точки M1 и M соответственно точки пересечения медиан треугольников A1B1C1 и ABC. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р точка M переходит в M1
РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса; прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями
РЕШЕНИЕ

Источник