Докажите что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 120
Областной конкурс «Юные дарования», 2010/2011, юный знаток математики
ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА
Областной конкурс «Юные дарования» 2010/2011
Юный знаток математики
№1. Докажите, что произведение любых пяти последовательных целых чисел делится на 120.
Доказательство: Среди пяти последовательных чисел одно делится на 5, по крайней мере, одно делится на 3. Также среди пяти последовательных чисел найдется два числа, одно из которых делится на 2, и одно, которое делится на 4. Значит, произведение пяти последовательных чисел будет делиться на произведение 
, то есть на 120. Ч. т.д.
№2. На доске написаны числа 1, 3, …, 101. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Так продолжается до тех пор, пока на доске не останется одно число. Может ли этим числом оказаться 0?
Решение: Будем следить за суммой всех чисел на доске, которая уменьшается с каждым шагом. Вначале она нечётна. При наших операциях вместо слагаемых 
и 
появляется слагаемое 
, то есть сумма изменяется на четное число 
. Значит, эта сумма всегда будет нечетна и не может обратиться в четное число нуль.
№3. Игроки по очереди закрашивают клетки квадрата 8
8, причем за один ход можно закрасить одну из трех фигур, изображенных на рисунке, при этом закрашивать уже заштрихованную клетку нельзя. Выигрывает тот, кто закрашивает последнюю клетку. Кто выигрывает при правильной игре? Опишите выигрышную стратегию.
Ответ: выигрывает второй игрок.
Решение: При правильной игре выигрывает второй игрок. Его выигрышная стратегия заключается в том, что он определяет точку симметрии данного квадрата (точка пересечения диагоналей квадрата) и каждым своим ходом отвечает симметрично ходу первого игрока относительно точки симметрии. Последний ход остается за вторым игроком, и он выигрывает.
№4. Имеется таблица размером 
. В каждой клетке записано целое число. Произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите, что найдется столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.
Доказательство: Так как произведение чисел в каждой строке отрицательно, то в каждой строке находится нечетное количество отрицательных чисел, а нулей в таблице нет. Поскольку количество строк нечетно, всего в таблице нечетное число отрицательных чисел. Значит, по крайней мере, в одном из столбцов их тоже будет нечетное количество. И, следовательно, произведение чисел этого столбца будет числом отрицательным.
№5. Точки E и F – середины сторон BC и CD квадрата АВСD. Отрезки AE и BF пересекаются в точке K. Что больше: площадь треугольника AKF или площадь четырехугольника KECF? Ответ обоснуйте.
Пусть 4S – площадь квадрата ABCD. Тогда площадь каждого из треугольников ABE, ADF, BCF равна S, поэтому площадь треугольника ABF равна 2S. Но треугольник AKB – часть треугольника ABE, поэтому его площадь меньше S, а это значит, что площадь треугольника AKF больше S. С другой стороны, площадь четырехугольника KECF меньше S, так как он составляет часть треугольника BCF. Таким образом, площадь треугольника AKF больше площади четырехугольника KECF.