Докажите что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6 а 10п
Олимпиадные задачи по математике «Теория чисел» ( с решением)
Олимпиадные задачи «Теория чисел»
Задача 1. Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
Задача 2. Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел m+2000n и n+2000m?
Задача 3. Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
Задача 4. Найдите все натуральные n > 1, для которых n 3 – 3 делится на n – 1.
Задача 5. Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3 -х одинаковых цифр, делится на 37.
Задача 7 * . Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.
( n + 1)( n + 2)( n + 3)( n + 4) делится на 1000.
Задача 15 * . Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.
Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300. В результате у него будет 498 долларов.
Решение задачи 3: Среди этих трёх чисел есть хотя бы одно чётное число. Значит, в разложении произведения на простые множители есть множитель 2.
Среди этих трёх чисел одно число делится на 3. Значит, в разложении произведения на простые множители есть множитель 3.
В разложении произведения на простые множители есть простые числа 2 и 3. Значит, оно делится на их произведение, то есть на 6.
Решение задачи 5: Такое число делится на 111 = 3·37.
Решение задачи 6 *: Число 8 можно представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел двумя способами: 8 = 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4. Числа 1, 3 и 4 не могут быть тремя наименьшими делителями числа A : если A делится на 4, то оно делится и на 2. Значит, три наименьших делителя A – это 1, 2 и 5. Таким образом, A делится на 10, но не делится на 4. Следовательно, число A оканчивается ровно на один нуль.
Ответ : На один нуль.
Решение задачи 9 * : Всего дано 11 чисел, а нужно вычеркнуть 10 чисел. Поэтому в конце должно остаться одно число, кратное 11, то есть число 44. С другой стороны, число 44 мы должны вычеркнуть самым первым. Действительно, сумма всех данных чисел равна 11·108 : 2, поэтому она делится на 11. Следовательно, если после вычёркивания одного числа сумма оставшихся чисел делится на 11, то вычеркнутое число тоже делится на 11.
Решение задачи10 *: Умножив такое число на 9, получим число 9010. 053, которое делится на 53, так как 901 = 53·17. Значит, и исходное число делится на 53.
Ответ : 
, где k – любое целое число.
Решение задачи 13 * : Предположим, что нашлись 18 хороших чисел подряд.
6( n + 2). Поскольку эти числа – хорошие, и в разложение каждого из них на
простые множители входят двойка и тройка, других простых делителей у них
быть не может. Лишь одно из трёх подряд идущих натуральных чисел n, n + 1,
n + 2 может делиться на 3. Значит, остальные два являются степенями двойки.
Но пары степеней двойки, отличающихся не более чем на два, – это только (1, 2)
и (2, 4); поэтому n ≤ 2. Однако тогда среди наших 18 чисел есть простое
число 13 (так как 6 n ≤ 13 ≤ 6( n + 2)), не являющееся хорошим. Противоречие.