Докажите что прямая bd1 перпендикулярна плоскости acb1

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

14. Стереометрия

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AЕ:ЕA₁ = 2:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

1) Прямая D₁E пересекает прямую АD в точке К. Плоскости АВС и ВЕD₁ пересекаются по прямой КВ.

Из точки Е опустим перпендикуляр ЕН на прямую КВ, тогда отрезок АН (проекция ЕН) перпендикулярен прямой КВ по теореме о трех перпендикулярах. Угол АНЕ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВЕD₁.

Из подобия по двум углам треугольников A₁D₁E и AKE находим:

В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A:

Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

Поэтому искомый угол равен углу между ребром DD₁ и прямой BD₁.

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АСВ₁ и ВА₁С₁.

Пусть DE — линия пересечения данных плоскостей, F — середина отрезка DE, G — середина отрезка A₁С₁. Угол GFB₁ является линейным утлом между данными плоскостями. В треугольнике GFB₁ имеем:

Тогда FB₁ найдем по теореме Пифагора:

Аналогично найдем FG.

По теореме косинусов находим

$GB_1^<\,2>=FG^<\,2>+FB_1^<\,2>-2\cdot FG\cdot EB_1\cdot\cos GFB_1 \\ \displaystyle\frac<3><4>=\frac<7><16>+\frac<7><16>-2\cdot\frac<\sqrt<7>><4>\cdot\frac<\sqrt<7>><4>\cdot\cos GFB_1 \\ \cos\angle GFB_1=\displaystyle\frac<1><7>.$

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁ = 2 : 3.

а) Постройте двугранный угол между плоскостями ABC и BED₁.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

1) Дополнительное построение.

Плоскости ABC и BED₁ пересекаются по прямой KB.

Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB.

Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED₁.

2) Поскольку AE : EA₁ = 2 : 3, получаем:

В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A:

$\displaystyle AB=1;\ AK=\frac<2><3>; \\ BK=\displaystyle\sqrt=\frac<\sqrt<13>><3>,\ откуда\ высота\colon \\ AH=\displaystyle\frac=\frac<2\sqrt<13>><13>.$

Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:

В правильной треугольной призме ABCA₁В₁С₁ боковое ребро равно стороне основания. Точка К — середина ребра ВВ₁. Найдите угол между плоскостями А₁КС и ABC. Ответ дайте в градусах.

Треугольники А₁В₁К и KBL равны по катету и острому углу. Следовательно, равны и другие катеты: А₁В₁=BL.

Итак, LC$\,\perp\,$AC. Но прямая АС служит проекцией прямой А₁С на плоскость АВС. Пo теореме о трёх перпендикулярах заключаем тогда, что LC$\,\perp\,$A₁C.

Таким образом, угол А₁СА — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями А₁КС и АВС. Это и есть искомый угол. Из равнобедренного прямоугольного треугольника A_lAC мы видим, что он равен 45°.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М – середина ребра АВ, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.

б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью АВС.

$\rightarrow$ FM лежит в плоскости SCM.

Продлим прямую MF до пересечения с прямой SC.

SM и – медианы равных равносторонних треугольников со стороной

Найдем по теореме Пифагора из треугольника SMO:

3) По условию, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды. Таким образом,

4) Треугольник FMO – прямоугольный. Найдем FM по теореме Пифагора:

Что и требовалось доказать.

1) По условию и доказанному в пункте а) мы имеем:

2) По доказанному в пункте а) мы имеем:

$\cos\angle OMF=\displaystyle\frac<\sqrt<6>><3>,\ тогда\ \angle OMF=\arccos\frac<\sqrt<6>><3>$.

Источник

Докажите что прямая bd1 перпендикулярна плоскости acb1

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 13. Стереометрия с доказательством.

49. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Ответ: б) 64+32√3

а) Докажите, что угол между прямыми АС и BD ₁ равен 60°.
б) Найдите расстояние между прямыми АС и BD ₁ .
Ответ: б) 2√3

51. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA ₁ .
а) Докажите, что прямые MB и B ₁ C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и B ₁ C.
Ответ: б) √30/5

52. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ―12√2. Через вершину A проведена плоскость a, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а) Докажите, что плоскость a делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2:1, считая от вершины P.
б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

53. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK: KA ₁ = 1 : 2. Плоскость a проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD ₁ в точке M.
а) Докажите, что MD:MD ₁ =2:1.
б) Найдите площадь сечения, если AB=4, AA ₁ =6.
Ответ: б) 8√6

54. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:OB=1:2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
Ответ: б) √5

55. В правильном тетраэдре АВС точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

56. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=√2, CC ₁ =2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC ₁ и BC равен 45°.
б) Найдите объём цилиндра.
Ответ: б) 4π

61. В треугольной пирамиде SABC основанием является правильный треугольник ABC, а ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки D, E и F середины ребер AB, BC и BS соответственно.
а) Докажите, что плоскость DEF делит пополам высоту пирамиды, проведенную из вершины B.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEF, если AB=6, AS=10.

62. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=√33, все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS отмечена точка F так, что SF=BE=3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.

б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.

63. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2:1, считая от вершины M.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Ответ: б) 7√51

65. В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
Ответ: б) 12√3

66. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B —точка Q, причём AP= BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 48√3, AB = 2√3 и AD = 6.
Ответ: б) 60°

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

а) Докажите, что расстояние от вершины A ₁ до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдите угол между плоскостями KBA₁ и BCC_1.

72. На ребре AB правильной треугольной пирамиды SABC с основанием ABC отмечена точка K, причём AK=15, BK=3. Через точку K проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды.

б) Найдите расстояние между плоскостями α и SBC, если высота пирамиды равна 13.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью a является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости a если известно, что SC=5, AC=6.

74. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=9, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK : KB=SM : MC =2:7. Плоскость a содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость a делит ребро SB в отношении 2:7 считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

75. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=3, абоковое ребро SA=6. Точка K делит ребро SC, причем SK:KC=1:2. Плоскость a проходит через точку K и параллельна SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскость a является равнобедренной трапецией.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка S, а основание – сечение пирамиды SABC плоскость a.

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →