Докажите что прямая bd1 перпендикулярна плоскости acb1
Задание 14 Стереометрия Дан куб ABCDA1B1C1D1 а) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1 б) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C Решение. Показать полностью.
1) Докажем, что прямая B1D перпендикулярна прямой A1B Заметим, что прямая B1D является наклонной к плоскости A1B1B. Проекцией точки D на эту плоскость будет точка A => проекцией всей наклонной на плоскость A1B1B будет прямая AB1.
По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и сама наклонная перпендикулярна этой же прямой => B1D ┴ A1B
2) По аналогии B1D ┴ BC1 Таким образом, прямая B1D перпендикулярна двум пересекающимся прямым A1B и BC1, лежащим в плоскости A1BC1 => прямая B1D перпендикулярна и всей плоскости A1BC1. Пункт а) доказан
3) Для решения пункта б) будем использовать доказанный результат пункта а) Плоскости AB1C1 и A1B1C пересекаются по прямой B1D А любая прямая, лежащая в плоскости A1BC1, будет ┴ B1D
Значит нам достаточно построить линии пересечения плоскостей AB1C1 и A1B1C с плоскостью A1BC1, и эти линии будут гарантированно перпендикулярны B1D.
Построим прямую C1M = A1BC1 ∩ AB1C1. Точка M будет лежать на пересечении прямых AB1 и A1B, которые соответственно лежат в каждой из плоскостей. И так, точка M лежит на середине отрезка A1B.
Точно также прямая A1N = A1BC1 ∩ A1B1C и точка N лежит на середине BC1
4) Теперь нам осталось найти угол между отрезками C1M и A1N. Это и будет угол между плоскостями в пункте б) Из равностороннего треугольника A1BC1 моментально находим, что угол между его медианами равен 60°
Докажите что прямая bd1 перпендикулярна плоскости acb1
Плоскость α перпендикулярна диагонали BD1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и проходит через вершину A. При этом
а) Докажите, что плоскость α делит отрезок DC пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и основанием ABCD, если она проходит через вершину C1.
а) Пусть M — точка пересечения плоскости α с ребром CD, а точка O — с прямой BD1. Обозначим H — точку пересечения прямых AM и BD. Заметим, что прямая AM перпендикулярна прямой BD1, кроме того, прямая AM перпендикулярна прямой DD1 как прямая, лежащая в основании. Следовательно, прямая AM перпендикулярна плоскости BDD1, а значит, прямая AM перпендикулярна прямой OH. Тогда, так как OH — проекция BH на плоскость α, по теореме о трёх перпендикулярах прямая BH перпендикулярна прямой AM. Значит,
следовательно, откуда
Значит, точка M — середина отрезка CD.
б) В п. а) было показано, что прямая OH перпендикулярна прямой AM, прямая BH перпендикулярна прямой AM, следовательно, угол OHB — линейный угол угла между плоскостью основания и плоскостью α. Найдём его. Пусть точка N — точка пересечения плоскости α с ребром B1D1. Тогда по свойствам сечений прямые AM и NC1 параллельны, следовательно, точка N — середина B1D1. Очевидно, что отрезок MN проходит через центр параллелепипеда, через него же проходит и диагональ BD1, следовательно, это точка O — точка пересечения диагонали BD1 и плоскости α.
Обозначим a = AD = BC, h = BB1. Тогда: Из прямоугольных треугольников NBB1 и BON вычислим квадрат длины отрезка BN двумя способами, получим равенство:
Прямоугольные треугольники BHO и BDD1 подобны, следовательно, угол OHB равен углу BD1D, при этом
поэтому,
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите что прямая bd1 перпендикулярна плоскости acb1
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.
Плоскость проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда пересекает плоскость боковых граней по прямым D1E и D1F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD1N — сечение параллелепипеда плоскостью
Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC1A1 и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.
По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому и По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.
Приведем другое рассуждение. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому MN проходит через середину D1B. Кроме того, прямая MN параллельна прямой AC, а значит, и прямой EF. Из этого следует, что MN — средняя линия треугольника ED1F, а тогда точки M и N — середины рёбер параллелепипеда. Прямоугольные треугольники ABM и равны по гипотенузе и катету: Значит, а ABCD является квадратом.
б) Пусть K — середина ребра BB1 а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла. (Или: проведём перпендикуляры MK и KH, по теореме о трёх перпендикулярах MH — также перпендикуляр к BN, поэтому MHK — линейный угол искомого двугранного угла).
В прямоугольном треугольнике BKN имеем:
Иначе. Сечение является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС1В1 является параллелограмм ВKС1N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС1В1 то есть 12. Поскольку для искомого угла между плоскостями получаем:
Ответ: или
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AЕ:ЕA1 = 2:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
1) Прямая D1E пересекает прямую АD в точке К. Плоскости АВС и ВЕD1пересекаются по прямой КВ.
Из точки Е опустим перпендикуляр ЕН на прямую КВ, тогда отрезок АН (проекция ЕН) перпендикулярен прямой КВ по теореме о трех перпендикулярах. Угол АНЕ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВЕD1.
Из подобия по двум углам треугольников A1D1E и AKE находим:
В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A:
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:
Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.
Поэтому искомый угол равен углу между ребром DD1 и прямой BD1.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АСВ1 и ВА1С1.
Пусть DE — линия пересечения данных плоскостей, F — середина отрезка DE, G — середина отрезка A1С1. Угол GFB1 является линейным утлом между данными плоскостями. В треугольнике GFB1 имеем:
Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 3.
а) Постройте двугранный угол между плоскостями ABC и BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
1) Дополнительное построение.
Плоскости ABC и BED1 пересекаются по прямой KB.
Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB.
Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1.
2) Поскольку AE : EA1 = 2 : 3, получаем:
В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A:
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:
В правильной треугольной призме ABCA1В1С1 боковое ребро равно стороне основания. Точка К — середина ребра ВВ1. Найдите угол между плоскостями А1КС и ABC. Ответ дайте в градусах.
Треугольники А1В1К и KBL равны по катету и острому углу. Следовательно, равны и другие катеты: А1В1=BL.
Итак, LC$\,\perp\,$AC. Но прямая АС служит проекцией прямой А1С на плоскость АВС. Пo теореме о трёх перпендикулярах заключаем тогда, что LC$\,\perp\,$A1C.
Таким образом, угол А1СА — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями А1КС и АВС. Это и есть искомый угол. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AlAC мы видим, что он равен 45°.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М – середина ребра АВ, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью АВС.
$\rightarrow$ FM лежит в плоскости SCM.
Продлим прямую MF до пересечения с прямой SC.
SM и – медианы равных равносторонних треугольников со стороной
Найдем по теореме Пифагора из треугольника SMO:
3) По условию, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды. Таким образом,
4) Треугольник FMO – прямоугольный. Найдем FM по теореме Пифагора:
Докажите что прямая bd1 перпендикулярна плоскости acb1
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 13. Стереометрия с доказательством.
49. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения. а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой. б) Найдите объём пирамиды CABNM. Ответ: б) 64+32√3
а) Докажите, что угол между прямыми АС и BD1 равен 60°. б) Найдите расстояние между прямыми АС и BD1. Ответ: б) 2√3
51. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA1. а) Докажите, что прямые MB и B1C перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми MB и B1C. Ответ: б) √30/5
52. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ―12√2. Через вершину A проведена плоскость a, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K. а) Докажите, что плоскость a делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2:1, считая от вершины P. б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.
53. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK: KA1= 1 : 2. Плоскость a проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке M. а) Докажите, что MD:MD1 =2:1. б) Найдите площадь сечения, если AB=4, AA1 =6. Ответ: б) 8√6
54. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:OB=1:2. Точка P — середина ребра AS. а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды. б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6. Ответ: б) √5
55. В правильном тетраэдре АВС точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD. а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны. б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.
56. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=√2, CC1 =2. а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 45°. б) Найдите объём цилиндра. Ответ: б) 4π
61. В треугольной пирамиде SABC основанием является правильный треугольник ABC, а ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки D, E и F середины ребер AB, BC и BS соответственно. а) Докажите, что плоскость DEF делит пополам высоту пирамиды, проведенную из вершины B. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEF, если AB=6, AS=10.
62. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=√33, все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS отмечена точка F так, что SF=BE=3. а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.
б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.
63. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2:1, считая от вершины M. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией. б) Найдите площадь этого сечения. Ответ: б) 7√51
65. В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру. а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°. б) Найдите площадь сечения пирамиды. Ответ: б) 12√3
66. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B —точка Q, причём AP= BQ = SA. а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу. б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 48√3, AB = 2√3 и AD = 6. Ответ: б) 60°
а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
а) Докажите, что расстояние от вершины A1 до прямой BK равно ребру куба.
б) Найдите угол между плоскостями KBA1 и BCC1.
72. На ребре AB правильной треугольной пирамиды SABC с основанием ABC отмечена точка K, причём AK=15, BK=3. Через точку K проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC.
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды.
б) Найдите расстояние между плоскостями α и SBC, если высота пирамиды равна 13.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью a является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости a если известно, что SC=5, AC=6.
74. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=9, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK : KB=SM : MC =2:7. Плоскость a содержит прямую KM и параллельна прямой SA.
а) Докажите, что плоскость a делит ребро SB в отношении 2:7 считая от вершины S.
б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
75. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=3, абоковое ребро SA=6. Точка K делит ребро SC, причем SK:KC=1:2. Плоскость a проходит через точку K и параллельна SAD.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскость a является равнобедренной трапецией.
б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка S, а основание – сечение пирамиды SABC плоскость a.
откуда
Из прямоугольных треугольников NBB1 и BON вычислим квадрат длины отрезка BN двумя способами, получим равенство:
проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость 
и 
По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.
равны по гипотенузе и катету: 
Значит, 
а ABCD является квадратом.
Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС1В1 является параллелограмм ВKС1N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС1В1 то есть 12. Поскольку 
для искомого угла между плоскостями получаем:
или 
