Докажите что прямые m и n не совпадают
Дополнительные задачи к главе I. Геометрия
71. Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько получилось прямых?
72. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?
73. Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении трёх прямых, проходящих через одну точку?
74. Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние:
а) между точками N и Р;
б) между точками N и М.
75. Три точки К, L, М лежат на одной прямой, КL = 6 см, LM = 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.
а) точкой А и серединой отрезка QB;
б) серединами отрезков АР и QB.
77. Отрезок длины m разделён:
а) на три равные части;
б) на пять равных частей.
Найдите расстояние между серединами крайних частей.
78. Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.
79*. 
Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков АВ и АС. Докажите, что BC = 2MN.
80. Известно, что ZAOB = 35°, ZBOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.
81. Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.
82. Найдите смежные углы, если:
а) один из них на 45° больше другого;
б) их разность равна 35°.
83. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.
84. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
85.* Докажите, что если биссектрисы углов АВС и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.
86. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m⊥a, n⊥b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.
Ответы к дополнительным задачам к главе I
73. Двенадцать углов. 74. а) 8 см; б) 16 см. 75. 16 см или 4см.
79. Указание. Рассмотреть два возможных случая: точки В и С лежат по разные стороны или по одну сторону от точки А. 80. 85° или 15°.
82. а) 67°30′ и 112°30′; б) 72°30′ и 107°30′.
85. Указание. Доказать, что угол ABD развёрнутый.
86. Указание. Предположить, что прямые тип совпадают, и воспользоваться утверждением п. 12.
Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок
Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.
Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.
Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.
Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс
Решение задачи
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
Как обозначается пересечение прямых
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.
Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Третий случай расположения прямых
Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или три.
Что такое отрезок
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.
Докажите что прямые m и n не совпадают
Точки P и Q лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Прямые AP и AQ пересекают BD в точках M и N соответственно, а прямые PN и QM пересекаются в точке H. Докажите, что AH ⊥ PQ тогда и только тогда, когда точки P, Q, M, N лежат на одной окружности.
Для этой задачи мы приведем нелюбимое геометрами счетное решение, но попробуем хотя бы счет сделать эстетичным. Начнем с обозначений. Пусть длина стороны квадрата l. Продлим AH до пересечения с PQ (естественно, нам же ровно про эти два отрезка надо 2 доказать, что они перпендикулярны), точку пересечения обозначим через R. Длины отрезков BP, PR, RQ и QD обозначим через x, y, z и t соответственно.
Мы ввели переменных слегка с запасом, задумаемся, какие соотношения на них мы знаем. Во-первых, записав теорему Пифагора для треугольника PCQ имеем:
Во-вторых, запишем теорему Чевы для треугольника APQ. Заметим что 
, поскольку BD – биссектриса треугольника ABP, она делит AP в отношении боковых сторон, то есть 
и 
. Аналогично 
и 
. Таким образом, т. Чевы гласит:
Сокращая одинаковые множители (все они не равны нулю, ибо все не меньше l > 0) получаем 
, мы позволим себе вольность записывать это соотношение как 
, поскольку все переменные положительны из картинки.
Теперь поймем, как записывается условие задачи в терминах введенных переменных. С описанностью PQNM все просто: эти четыре точки лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда |AP| · |AM| = |AQ| · |AN|, пользуясь ранее выписанными длинами имеем 
что равносильно 
.
Чуть сложнее с условием, что AR ⊥ PQ. Из него, очевидно, следует что 
(для прямоугольных треугольников APR и AQR с общим катетом разность квадратов других катетов равна разности квадратов гипотенуз). Обратное тоже верно: запишем теорему косинусов для треугольников APR и AQR и вычтем равенства. Имеем:
Значит равенство x 2 − t 2 = y 2 − z 2 влечет 2(y + z)|AR| cos ∠PRA = 0, но это и означает, что скалярное произведение отрезков AR и PQ равно нулю, то есть для алгебраиста они перпендикулярны. Для геометра – что отрезки перпендикулярны или один из них равен нулю, что невозможно в условиях задачи: |PQ| = 0 означает, что обе точки P и Q совпали с C, но они на сторонах квадрата а не в вершине. |AR| = 0 означает, что A лежит на PQ, что тоже противоречит тому, что точки взяты на сторонах а не на их продолжениях.
Итак, в задаче требуется доказать равносильность двух систем
Этим и займемся, благо из трех уравнений два совпадают, надо что-то сделать с третьим. Левое оставим как есть, преобразуем правое.
Представим себе, что про переменные y и z нам сообщена их сумма и отношение: y + z = a и 
, как выразить y 2 − z 2 через a, b? Очевидно 
, 
, 
, 
. Подставив a 2 и b из первого и второго уравнения системы соответственно,
видим что третье уравнение переписалось в виде 
, после преобразований получаем 
– то есть то же, что и в левой системе, с точностью до домножения на константу. Итак, системы действительно равносильны – задача решена.
Комментарий. То что третье уравнение оказывается приводимым означает, что есть два разных случая, когда точки P, Q, M, N лежат на одной окружности. Один (очевидный) – когда x = t, и картинка симметрична. Другой – когда 
, в более геометрических терминах: когда PQ виден из точки A под углом 45°.
Введение (стр. 4 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 |
lх3 = 
у1 + 
у2 + 
у3.
C = 
– матрица перехода от нового проективного репера к старому. Определитель матрицы С отличен от нуля, так как точки A1¢, A2¢, A3¢ неколлинеарные, то есть не лежат на одной прямой, векторы их порождающие 
¢, 
¢, 
¢ линейно независимы.
2. Система векторов ¢, ¢, ¢, 
¢ не согласована относительно репера R¢, то есть вектор ¢, порождающий точку E¢, не равен сумме векторов, порождающих точки A1¢, A2¢, A3¢: ¢ ¹ ¢ + ¢ + ¢.
Нам нужно получить согласованную систему векторов относительно R¢. Для этого вместо векторов ¢, ¢, ¢ возьмем векторы 
= k1¢, 
= k2¢, 
= k3¢, согласованные относительно репера R¢ и порождающие точки A1¢, A2¢, A3¢ соответственно. Тогда будем иметь:
¢ = k1¢ + k2¢ + k3¢ (7)
Равенство (7) запишем в координатной форме:
k1 + 
k2 + 
k3 = 
,
k1 + 
k2 + 
k3 = 
, (8)
k1 + k2 + k3 = 
.
На (8) смотрим как на систему с неизвестными k1, k2, k3. Система (8) неоднородная, и так как определитель этой системы отличен от нуля, то k1, k2, k3 из этой системы определяются однозначно, причем k1, k2, k3 не равны нулю одновременно. Матрица
C1 = 
является матрицей перехода от репера R к реперу R¢для второго случая.
Замечание. Используя формулы (6) легко записать формулы преобразования проективных координат на проективной прямой. Они имеют следующий вид:
lх1 = у1 + у2,
lх2 = у1 + у2, (9)
Составить формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R = <A1, A2, A3, E> к реперу R¢ = <A1¢, A2¢, A3¢, E¢>, если в репере R: A1¢(1, 0, –1), A2¢(2, 1, 0), А3¢(0, 0, 1); а) E¢(3, 1, 0), б) E¢(1, 1, 2).
а) Пусть , , система векторов, согласованная относительно репера R.
Пусть далее ¢, ¢, ¢ – векторный базис репера R¢.
p(¢) = A1¢, ¢<1, 0, –1>; p(¢) = A2¢, ¢<2, 1, 0>; p(¢) = A3¢, ¢<0, 0, 1>. Найдем сумму векторов:
¢ + ¢ + ¢ = <3, 1, 0>. Видим, что сумма ¢ + ¢ + ¢ есть вектор, порождающий точку Е¢: p(¢ + ¢ + ¢) = Е¢. Значит, в случае а) система векторов <¢, ¢, ¢> согласована относительно репера R¢ и мы воспрользуемся формулами перехода (6).
Подставив в правые части формул (6) координаты точек A1¢, A2¢, A3¢, мы получим искомые формулы преобразования проективных координат:
б) В этом случае сумма векторов ¢ + ¢ + ¢ = <3, 1, 0>не порождает точку Е¢, то есть система векторов <¢, ¢, ¢> не согласована относительно репера R¢. Значит, нужно найти базис, определяющий репер R¢.
Обозначим 
– вектор, порождающий точку Е¢, p() = Е¢ и найдем векторы
= k1¢, = k2¢, = k3¢, такие, что
k1¢ + k2¢ + k3¢ = ¢ (10)
Подставим в равенство (10) разложения векторов ¢, ¢, ¢, ¢ по векторам базиса <, , >, где <, , > – векторный базис проективного репера R:
¢ = – , ¢ = 2 + , ¢ = , ¢ = + + 2.
Подставляем ¢, ¢, ¢, ¢ в (10), получим:
+ + 2 = k1( – ) + k2(2 + ) + k3.
(k1 + 2k2) + k2 + (k3 – k1) = + + 2.
То есть, = –¢, = ¢, = ¢. Матрица перехода в формулах (5) имеет вид:
.
Значит, искомые формулы преобразования координат будут следущими:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы R = <A1, A2, A3, E> к системе R¢ = <A1¢, A2¢, A3¢, E¢>, если:
2. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы координат R = <A1, A2, A3, E> к системе R¢ = <A1, A2, A3, E¢>, если E¢ в исходной системе координат имеет координаты
(–1, 2, 3).
3. Написать формулы преобразования координат, если точки A1¢, A2¢, A3¢, E¢, определяющие репер R¢, имеют относительно старой системы координат R = <A1, A2, A3, E> следующие координаты: A1¢(1, 1, 0), A2¢(0, –1, 2), A3¢(1, 1, 1), E¢(2, 3, –5).
4. На плоскости даны 2 системы координат: R = <A1, A2, A3, E> и R¢ = <A1¢, A2¢, A3¢, E¢>, точки A1¢, A2¢, A3¢, E¢ имеют в координатной системе R следующие координаты:
а) Найти координаты точки М в системе R¢, если известны ее координаты в системе R: М(1, 1, 1).
б) Найти уравнение прямой в репере R¢, если известно ее уравнение с репере R: х1 + 2х2 = 0.
в) Найти уравнение прямой в системе R, если известно ее уравнение с системе R¢: у1 + 2у2 = 0.
5. Вершины координатного треугольника и единичная точка проективного репера R¢ имеют на расширенной плоскости следующие аффинные координаты: А1¢(0, 3), А2¢(4, 0), А3¢(4, 3), E¢(3, 2)
а) проективные координаты точки М, если ее аффинные кординаты М(1, 1);
б) аффинные координаты точки Р, если ее проективные координаты Р(4, 3, –6).
в) проективные координаты несобственной точки оси абсцисс;
г) проективные координаты несобственной точки оси ординат;
д) проективные координаты несобственной точки прямой х – 2у + 1 = 0;
е) однородные координаты точки К, если ее проективные координаты K(5, 5, –7).
6. Единичная точка Е проективного репера R = <A1, A2, A3, E> на расширенной плоскости является точкой пересечения медиан координатного треугольника A1A2A3. Найти координаты несобственных точек сторон координатного треугольника и координаты несобственных точек его медиан относительно репера R.
7. В прямоугольных декартовых координатах дано уравнение кривой х2 – 2ху + у2 + 4х + 4у – 8 = 0.
а) уравнение данной кривой в однородных координатах;
б) несобственные точки кривой, доказав при этом, что данная кривая является параболой;
в) направляющий вектор оси параболы;
г) координаты вершины и уравнение оси параболы в неоднородных координатах.
§5. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
На проективной плоскости и в пространстве справедлив принцип двойственности. Сформулируем принцип двойственности для проективной плоскости.
Если на проективной плоскости справедливо некоторое предложение А, в котором идет речь о точках прямых и их взаимной принадлежности, то будет справедливо предложение А¢, которое получается из утверждения А путем замены слова «точка» на слово «прямая»: «прямая» – «точка»; «лежит на» – «проходит через», «проходит через» – «лежит на».
Предложение А: Через любые две точки проективной плоскости проходит единственная прямая.
Двойственное ему предложение А¢: Любые две прямые пересекаются в одной точке.
Рассмотрим далее теорему Дезарга и проиллюстрируем на ней применение принципа двойственности. Возьмём на проективной плоскости три различные точки A, B, C, не лежащие на одной прямой (рис. 27).
Фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх прямых, соединяющих попарно эти точки, называется трёхвершинником.
Точки A, B, C называются вершинами, а прямые AB, BC, AC – сторонами трёхвершинника.
Трёхвершинник с вершинами A, B, C обозначается так: ABC.
Пусть даны два трёхвершинника ABC и A¢B¢C¢, такие, что ни одна из вершин или сторон одного трёхвершинника не совпадает с соответствующим элементом другого (рис 28). Тогда имеет место теорема Дезарга:
 |
Теорема. Если три прямые (AA¢), (BB¢), (CC¢), проходят через одну точку, то точки пересечения прямых а Ç a¢, b Ç b¢, c Ç c¢ лежат на одной прямой.
Доказательство теоремы Дезарга мы не приводим. Сформулируем теорему обратную теореме Дезарга:
Даны два трехвершинника и никакие их вершины и стороны не совпадают. Тогда, если точки пересечения соответственных сторон а Ç a¢, b Ç b¢, c Ç c¢ этих трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые (AA¢), (BB¢), (CC¢), проходящие через соответственные вершины трёхвершинников, пересекаются в одной точке.
Дополняя евклидову плоскость несобственными точками, мы получим расширенную плоскость, которая является моделью проективной плоскости. Значит, для решения задач евклидовой геометрии можем использовать факты проективной геометрии, в частности, теорему Дезарга.
На чертеже ограниченных размеров заданы две пары прямых: р и q, пересекающиеся в недоступной точке А, и u и v, пересекающиеся в недоступной точке В. Построить доступную часть прямой АВ.
 |
Точку пересечения двух прямых будем называть недоступной, если прямые пересекаются за пределами чертежа.
На евклидовой плоскости даны параллелограмм NKLМ, прямая n и точка А, не принадлежащая ни прямой n, ни сторонам параллелограмма. Пользуясь одной линейкой, проведите прямую через данную точку параллельно прямой n. Построим сначала произвольную прямую, параллельную прямой n. Для этого строим два трёхвершинника XYN и X¢Y¢L, где Х = n Ç NK, Y = n Ç NМ. Возьмем на отрезке RА произвольную точку Р и построим точку Р¢ = S¢Р Ç АR¢. Два трёхвершинника RQР и R¢Q¢Р¢ удовлетворяют теореме Дезарга, прямые RQ и R¢Q¢, RP и R¢P¢, QR и Q¢R¢ пересекаются на одной прямой, т. е. A, B, D¥ = n Ç l принадлежат одной прямой. D¥ Î (AB), следовательно прямая AB || n. На евклидовой плоскости трапеция вписана в четырёхугольник так, что её параллельные стороны параллельны одной из его диагоналей. Докажите, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали. |
Трапеция EFQM вписана в четырёхугольник ABCD так, что FQ || EМ, FQ || AC. Следовательно, трёхвершинники AFE и СQМ удовлетворяют теореме Дезарга.
Следовательно, точки B = AF Ç CQ, D = AE Ç CM и точка О пересечения непараллельных сторон трапеции и FE и QM лежат на одной прямой, то есть точка О лежит на прямой BD.
Два треугольника АВС и DВС пересечены тремя параллельными прямыми p, q, r, r = (АD), p Ç (АВ) = М, p Ç (DВ) = Р, q Ç (АС) = N, q Ç (DC) = Q. Доказать, что прямые (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку.
Рассмотрим два трехвершинника МАN и РDQ (см. рис. 29). По теореме Дезарга, (МN) Ç (РQ) = О, О
ВС, следовательно, (МN) Ç (РQ) Ç (ВС) = О. То есть (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку.
Задачи для самостоятельного решения
1. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и пара прямых p и q, пересекающихся за пределами чертежа (в недоступной точке В). Построить доступную часть прямой (АВ).
2. С помощью одной линейки через данную точку А провести прямую параллельную двум заданным параллельным прямым p и q.
3. На евклидовой плоскости даны параллелограмм ABCD, точка М, принадлежащая одной из сторон параллелограмма и прямая n. Пользуясь одной линейкой, провести прямую через точку М параллельно прямой n.
4. Даны прямая n и не лежащие на ней точки M и N. Пользуясь одной линейкой, построить точку пересечения прямой n с MN, не строя прямой MN.
6. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию AB, p Ç (AD) = M, p Ç (AC) = P, q Ç (BD) = N, q Ç (BC) = Q. Доказать, что точка (MN) Ç (PQ) лежит на (AB).
7. Используя теорему Дезарга, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.