Докажите что равенство является тождеством

Тождества: определение, обозначение, примеры

Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.

Что представляет собой тождество

Начнем с определения понятия тождества.

Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.

По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.

Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.

Знак тождества

Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Примеры тождеств

Обратимся к примерам.

Равенства 2 + 3 = 5 и 7 − 1 = 2 · 3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2 + 3 ≡ 5 и 7 − 1 ≡ 2 · 3 .

Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.

Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.

В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.

Источник

Лекция №3. Доказательство тождеств

ЛЕКЦИЯ №3 Доказательство тождеств

Цель: 1. Повторить определения тождества и тождественно равных выражений.

2.Ввести понятие тождественного преобразования выражений.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки.

Пусть каждый день и каждый час

Пусть добрым будет ум у нас,

А сердце умным будет!

В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят. Некоторые тождества мы уже знаем.

Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Формулы сокращенного умножения

4. a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2).

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным. Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным. Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным. Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным. Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Пример 1. Докажите тождество x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

x·a + x·b + a·b – a·x = x·b + a·b = b·(a + x).

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

« Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения»

Выяснить какое равенство является тождеством:

«Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений»

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен a + b на многочлен c + d. Составим произведение этих многочленов:
(a+b)(c+d).
Обозначим двучлен a + b буквой x и преобразуем полученное произведение по правилу умножения одночлена на многочлен:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
В выражение xc + xd. подставим вместо x многочлен a+b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Итак: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Произведение многочленов a + b и c + d мы представили в виде многочлена ac + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена a + b на каждый член многочлена c + d.
Вывод: произведение любых двух многочленов можно представить в виде многочлена.
Правило: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Заметим, что при умножении многочлена, содержащего m членов на многочлен, содержащий n членов в произведении до приведения подобных членов должно получиться mn членов. Этим можно воспользоваться для контроля.

Разложение многочлена на множители способом группировки:

1. Способы доказательства тождеств.

2. Что называют тождественным преобразованием выражения.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки

Источник

Конспект урока «Доказательство тождеств».

Конспект урока «Доказательство тождеств».

Тема урока: Доказательство тождеств.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

научить использовать способы преобразования многочленов для доказательства тождеств. Рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств. Проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного

Планируемые результаты обучения:

— смыслообразования (осознание личностного смысла учебной деятельности, формирование внутренней мотивации к учению в связи с интересами и жизненными планами ученика)

— положительное отношение к учению, к познавательной деятельности,

— рефлексия собственной деятельности,

Знать: определение тождества; способы доказательства тождеств;

Понимать: в чем отличие тождества от других равенств;

Уметь: доказывать тождества различными способами: способом преобразования одной части к виду другой, способом одновременного преобразования обеих частей к тождественно равным выражениям, с помощью доказательства равенства нулю разности частей тождества.

-постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно,

-выбор, принятие и сохранение учебной цели и задачи,

— осуществление самоконтроля и самооценки, осознание качества и уровня усвоения,

— умение определить способы действий, алгоритм решения задачи в рамках предложенных условий и требований,

— умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения,

— умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, алгоритмы и схемы для решения учебных и познавательных задач,

— самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; поиск и выделение необходимой информации, применение методов информационного поиска,

— умение структурировать знания; умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной форме; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений,

— проводить анализ объектов с целью выделения признаков.

-умение формулировать собственное мнение и позицию,

— осознанное построение речевых высказываний,

-восприятие выступлений учащихся,

— участие в обсуждении содержания материала,

-планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками,

-умение работать индивидуально и в группе, находить общее решение,

-умение формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Добрый день уважаемые ученики, как ваше настроение? Готовы ли вы сегодня получить новые и интересные знания? Так давайте же приступим…

Прежде чем открыть для себя что то новое на уроке, я предлагаю вам сыграть в игру которая называется лото. (На столе карточки-лото). Я произношу пример, а вы должны вычеркнуть правильный ответ. (В конце разминки должно остаться два числа 81 и 74). Начнем.

9+12=21; 8+14=22; 13-7=6; 19-4=15; 7х9=63; 3х8=24; 21:7=3; 50:2=25; 59+17=76; 31-18=13;

15х3=45; 4х12=48; 99:11=9; 42:7=6

1 этап: Актуализация знаний.

Рассмотрите математическую запись: (фронтальная работа) выход к доске.

На решение примера дается 3 минуты, учащиеся решают после чего им задается вопрос. Можно ли назвать данное выражение уравнением? (да). А можно ли применить к этому выражению другое определение? (тождество)

Одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение.

Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это — уравнение.

Любое тождество должно быть………. (доказано).

Поэтому тема сегодняшнего урока ….(док-во тождеств), а целью будет научиться использовать способы доказательства тождеств.

2 этап. Изучение нового материала.

Скажите какие действия вы совершили при выполнении задания? А что такое тождественное преобразование выражений? (вопрос для дальнейшего изучения темы)

Задание по группам: Докажите тождество

На ваших столах карточки с примером, вы должны решить их самостоятельно и сформулировать способы решения данных выражений. На карточках есть подсказки чтобы правильно сформулировать эти способы. 5 минут на выполнение.

Карточки с заданием

Выпишите выражение в левой части указанного равенства, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением правой части, сделайте вывод.

5х – 7 = 28х – 3 – х – 4 – 22х

Выпишите выражение правой части указанного равенства, приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением левой части и сделайте вывод.

(х – 5)(х + 2) = (х + 4)(х – 7) + 18

Выпишите сначала выражение левой части, раскрой те скобки и приведите подобные слагаемые, затем выпишите выражение правой части, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Сравните полученные выражения, сделайте вывод.

Группы высказывают свое мнение.

Хорошо, а сейчас проверим себя. На экране появляются равенства. Найдите равенство которое не будет являться тождеством, и встаньте если равенство является тождеством, если же нет то оставайтесь на месте.

— Что же нам необходимо сделать, чтобы доказать, что равенство является тождеством? Предполагаемые ответы учащихся:

Выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой.
или

Выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой.
или

Преобразовать и левую и правую часть равенства и убедиться в том, что они равны одному и тому же выражению.

— А если не будет выполняться то, о чем мы только что сказали? Предполагаемый ответ учащихся: Равенство не будет являться тождеством.

Оцените свою деятельность:

На ваших столах лежат листочки с графиком.

Вам нужно построить график того как вы поняли тему урока. На оси ординат расположены баллы от 1 до 9, а на оси абсцисс этапы нашего урока. Соотнесите каждый этап урока с баллами.

Источник