Докажите что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше суммы диагоналей

Докажите что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше суммы диагоналей

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

Решение

Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность.

Первый способ. Рассмотрим на диагонали AC такую точку P, что ∠ABP = ∠CBD (рис. слева).
Треугольники ABP и DBC подобны по двум углам. Поэтому ∠AB : AP = BD : CD, то есть AB·CD = AP·BD.
Поскольку ∠ABD = ∠ABP + ∠PBD = ∠CBD + ∠PBD = ∠PBC, треугольники PBC и ABD также подобны по двум углам. Поэтому BC·AD = PC·BD.
Сложив почленно эти равенства, получим, что AB·CD + BC·AD = AP·BD + BD·PC = BD·(AP + PC) = BD·AC.

Второй способ. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O и ∠AOB = γ (рис. справа). Тогда S_ABCD = AC·BD sin γ, а γ = ½ (⌣AB + ⌣CD).
Пусть C₁ – точка, симметричная вершине C относительно серединного перпендикуляра к отрезку BD. Тогда точка C₁ также лежит на окружности, четырёхугольники ABCD и ABC₁D равновелики, BC₁ = DC, DC₁ = BC, а ∠ADC₁ = ½ (⌣AB + ⌣CD) = γ.
Значит, S_ABCD = S_ABC1D = S_ADC1 + S_ABC1 = AD·DC₁ sin γ + AB·BC₁ sin(180° − γ) = (AD·BC + AB·CD) sin γ. Таким образом, AC·BD sin γ = (AD·BC + AB·CD) sin γ, то есть AC·BD = AD·BC + AB·CD.

Источники и прецеденты использования

Источник