Докажите что сумма всех коэффициентов при четных степенях многочлена f x

Докажите что сумма всех коэффициентов при четных степенях многочлена f x

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика y = P(x) есть центр симметрии.

Решение

Рассмотрим многочлен P_a(x) = P(a + x) + P(a – x). Знак коэффициента этого многочлена при x k совпадает со знаком k-й производной функции P_a при x = 0. При чётном k эта производная равна 2P (k) (a), а при нечётном – нулю. В свою очередь знак P (k) (a) при больших a совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена P. Итак, при достаточно большом по модулю a все коэффициенты многочлена P_a при нечётных степенях равны нулю, а при чётных – одного знака. Следовательно, корней он не имеет.
Если P(m) + P(n) = 0, то число x = ½ (m – n) является корнем многочлена P_a, где a = ½ (m + n). Это значит, что сумма m + n = 2a ограничена по модулю. Поэтому одно из значений 2a этой суммы встречается бесконечно много раз. Таким образом, соответствующий многочлен P_a имеет бесконечно много корней, то есть он тождественно равен нулю.
Но равенство P(– x + a) ≡ – P(x + a) и означает, что график многочлена P симметричен относительно точки (a, 0).

Замечания

2. Обсуждение задачи см. в решениях Задачника «Кванта», задача М2120.

Источники и прецеденты использования

Источник

Метод неопределенных коэффициентов и его универсальность

Разделы: Математика

Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.

Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).

Теорема №2 (следствие теоремы № 1).

Деление многочлена на многочлен.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:

Раскроем скобки в правой части равенства:

Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:

Пример 2. Выполнить деление многочлена х 7 –1 на многочлен х 3 + х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 7 –1 = (х 3 + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 3 + х + 1).

Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q ₄x 4 + q ₃x 3 + q ₂x 2 + q ₁x + q₀,
R(x) = r ₂x 2 + r ₁x + r0.

Раскроем скобки в правой части равенства:

Получаем систему уравнений:

Расположение многочлена по степеням.

Возьмем функцию Поставим перед собой задачу «расположить многочлен по степеням f(x) по степеням (х-х₀).

Пример 3. Расположим многочлен по степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему:

Решая систему, находим:

Ответ: .

Ответ: f(x) =

Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.

Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:

откуда а =7, в = 7.

Разложение многочлена на множители

Пример 6. Дан многочлен

Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел

Пример 7. Дан многочлен .

Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 84. Следовательно, их следует искать среди чисел

Пример 8. Разность является целым числом. Найдем это число.

Решение: Так как,

Тогда

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

Тогда

Значит так как

Аналогично устанавливаем, что

Следовательно

Пример 9. Является ли разность целым числом.

Решение: Т.к.

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

Тогда откуда

из второго уравнения тогда первое уравнение принимает вид

Аналогично,

Окончательно получаем: — иррациональное число.

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Пример 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Решение:

отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем:

Ответ:

Пример 11. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Решение: ,

отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем

Отсюда

Итак

Следовательно

Ответ:

Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений

Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.

Попробуем разложить многочлен на множители в следующем виде:

, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Итак,

D =13
D = 29

Ответ:

О решении одного класса кубических уравнений.

Пусть дано кубическое уравнение: а ₁ х 3 + b ₁х 2 +с ₁х +d₁ = 0, где а ≠ 0.
Приведём его к виду х 3 + ах 2 +bх + с = 0 (1), где а = , в = , с =
Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение:
Раскроем скобки, сгруппируем: y 3 +3у 2 m + 3ym 2 + m 3 + ay 2 + 2aym +am 2 + by +bm + с = 0,
y 3 + y 2 (a +3m) +y(3m 2 +2am +b) + m 3 +am 2 +bm + с = 0.

Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:

Ответ: — 1.

Пример15. Решить уравнение: х 3 + 6х 2 + 12х + 5 = 0.

Ответ: – 2.

Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.

Источник

Найти сумму коэффициентов многочлена

Найти значение симметрического многочлена F от корней многочлена f(x)
Нужны идеи, алгоритм решения. Найти значение симметрического многочлена F от корней многочлена.

Алгем, разложение многочлена в сумму форм
Однородным многочленом, или формой степени d, называется многочлен F, все коэффициенты которого.

Сумма коэффициентов многочлена
Известно, что число является корнем многочлена четвертой степени с целыми коэффициентами, старший.

Это что единственный форум в мире где бесплатно решают задачи? Хоть бы переводить на русский научились бы!

Вычислить сумму биномиальных коэффициентов с чётными k
3) Чему равна следующая сумма чисел сочетания с чётными k:

Нахождение коэффициентов многочлена, являющегося производной заданного многочлена
Написать функцию для нахождения коэффициентов многочлена являющегося производной заданного.

Класс Полином со степенью многочлена и массивом коэффициентов
1.Необходимо создать класс Полином (от одной переменной) в котором задается степень многочлена и.

Разработать класс Polynom для хранения коэффициентов многочлена
Разработать класс Polynom для хранения коэффициентов многочлена. Определить методы нахождения суммы.

Составить процедуру для вычисления коэффициентов а1,а2 апроксимирующего многочлена Р(х)=а1+а2*х
Выполнить задание с использованием процедуры и функции. Исходные данные ввести с тексгового.

Источник

math4school.ru

Алгебра многочленов

Немного теории

Задачи с решениями

1. Разложить на множители:

б) (a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 ;

в) x 3 + y 3 + z 3 – xyz.

а) х 5 + х + 1 = х 5 – х 2 + х 2 + х + 1= х 2 (х 3 – 1) + (х 2 + х + 1) =

= х 2 (х – 1)(х 2 + х + 1) + (х 2 + х + 1) = (х 3 – х 2 )(х 2 + х + 1) + (х 2 + х + 1) =

= (х 2 + х + 1)( х 3 – х 2 + 1);

б) Многочлен обращается в нуль при выполнении хотя бы одного из условий

поэтому он делится на каждую из трех разностей

значит, и на их произведение.

Так как исходный многочлен имеет степень 3, то от произведения

(также многочлена степени 3) он отличается лишь числовым множителем k.

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = k(а – b)(b – c)(c – a).

При а = 1, b = 0, с = –1 получим

1 + 1 – 8 = k · 1 · 1 · (–2),

Откуда k = 3, значит,

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = 3(а – b)(b – c)(c – a).

в) x 3 + y 3 + z 3 – xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 ) – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy) =

= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx).

2. Докажите, что сумму квадратов двух различных натуральных чисел, умноженную на сумму квадратов двух других различных натуральных чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Доказательство непосредственно следует из следующих алгебраических преобразований:

(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 =

= (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2 ) + (a 2 d 2 – 2abcd + b 2 c 2 ) =

3. Докажите, что при любых x, y, z, t выражение x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt неотрицательно. Выяснить все случаи, когда оно равно нулю.

Представим данный многочлен в виде суммы неотрицательных слагаемых следующими способами:

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – y 2 ) 2 + (z 2 – t 2 ) 2 + 2(xy – zt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – z 2 ) 2 + (y 2 – t 2 ) 2 + 2(xz – yt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – t 2 ) 2 + (y 2 – z 2 ) 2 + 2(xt – yz) 2 > 0.

Равенство выполняется только если

x 2 – y 2 = z 2 – t 2 = x 2 – z 2 = xy – zt = 0,

|x| = |y| = |z| = |t| и xyzt > 0.

4. Является ли многочлен Р(х) = 2х 4 + 8х 3 + 12х 2 + 8х + 1 квадратом некоторого другого многочлена?

Предположим, что существует многочлен второй степени Q(х) такой, что

Тогда, так как Р(–1) = –1, то Q(–1)·Q(–1) = –1

5. Существует ли такой многочлен Р(х) с действительными коэффициентами, что Р(х) > 2015 · Р'(х) для всех х?

Да, существует. Например,

Р(х) – 2015 · P'(x) = х 2 + 2015 2 – 2 · х · 2015 = (х – 2015) 2 > 0.

Р(х) = (х 7 + х – 1) 2014 и Р(–х) = (–х 7 – х – 1) 2014

отличаются только знаками коэффициентов при нечётных степенях х. Значит, многочлен

будет содержать только нечётные степени х и при этом искомая сумма равна половине значения Q(1). Так как

то сумма коэффициентов при нечетных степенях х многочлена (х 7 + х – 1) 2014 равна

7. Доказать, что многочлен

при всех целых значениях х принимает целые значения.

Заметим, что исходный многочлен можно представить в виде

Р(х) = ( 1 /_2·5·7·9)(х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1)х(х + 1)(х + 2)(х + 1)(х + 4).

Поскольку среди девяти последовательных целых чисел обязательно найдутся числа делящиеся на 2, 5, 7, 9, то при любом целом k произведение

(k – 4)(k – 3)(k – 2)(k – 1)k(k + 1)(k + 2)(k + 1)(k + 4)

делится на произведение взаимно простых чисел 2·5·7·9. Следовательно, число Р(k) является целым, что и требовалось доказать.

8. Известно, что ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c, d – данные целые числа, при любом целом x делится на 5. Докажите, что все числа a, b, c, d делятся на 5.

Подставив x = 0, получим, что d кратно 5.

Учитывая это и подставляя x = ±1, получим, что a + b + c и –a + b – c кратны 5. Следовательно, 2b и 2a + 2c кратны 5, а значит, b и a + c кратны 5.

Подставив x = 2, получим, что 2(4a + c) + 4b + d = 6а + 2(a + c) + 4b + d кратно 5. Значит, a кратно 5 а, следовательно, и c кратно 5.

9. Какими должны быть значения a и b, чтобы многочлен x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b был полным квадратом?

Приведённый многочлен четвёртой степени может быть квадратом лишь приведённого квадратного трёхчлена. Итак,

Возведя в квадрат трёхчлен, стоящий в правой части, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в обеих частях тождества, получим

2p = 1, p 2 + 2q = 2, 2pq = a, q 2 = b.

Решив эту систему уравнений, найдём p = 1 /₂, q = a = 7 /₈, b = 49 /₆₄.

10. Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

(x 2 – 1)(x 2 – 2 2 ). (x 2 – k 2 )

x(x 2 – 1)(x 2 – 2 2 ). (x 2 – k 2 )

степени n = 2k + 1 показывают, что улучшить этот результат нельзя: у первого коэффициенты при всех нечётных степенях, а у второго – при всех чётных степенях равны нулю.

Ответ: n / 2 при чётном n, (n+1) / 2 при нечётном n.

Задачи без решений

1. Разложить на множители:

б) (a – x)·y 3 – (a – y)·x 3 + (x – y)·a 3 ;

2. Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого

3. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x 2 – 3x + 1) 100 после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

4. Многочлены Р(х) и Q(х) такие, что Р(x 3 ) + Q(x 3 ) делится на x 2 + х + 1. Доказать, что Р(х) + Q(х) делится на х – 1.

Источник