Докажите что треугольники abc и abc равны

18.04.202223.04.2022 admin 0 Comments

Докажите что треугольники abc и abc равны

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C₁ и B₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁.

б) Найдите радиус данной окружности, если ∠A = 45°, B₁C₁ = 6 и площадь треугольника AB₁C₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB₁C₁.

Четырёхугольник BCB₁C₁ вписан в окружность, поэтому

Следовательно, треугольники ABC и AB₁C₁ подобны по двум углам.

б) Площадь треугольника AB₁C₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB₁C₁, поэтому площадь треугольника ABC в девять раз больше площади треугольника AB₁C₁ и коэффициент подобия этих треугольников равен 3. Пусть тогда Найдём BB₁ по теореме косинусов:

Теперь по теореме синусов из треугольника ABB₁ получаем:

Но поскольку синусы смежных углов равны. Получаем

Теперь находим радиус окружности, описанной около треугольника BB₁C:

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Докажите что треугольники abc и abc равны

На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Так как по условию то треугольник является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и треугольник —равнобедренный.

Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда

Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, из предыдущей пропорции следовательно, эти треугольники подобны, откуда

Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.

Источник

Докажите что треугольники abc и abc равны

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а) Докажите, что угол ABC равен 120°.

б) Найдите BH, если

а) Рассмотрим треугольник AHC. В нем AA₁ и CC₁ — высоты. Тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°. Поэтому

б) Рассмотрим треугольник AHC, в нем Сторону AC найдём по теореме косинусов:

Тем самым,

Ответ: б)

Докажем утверждение, использованное при решении пункта а).

В четырехугольнике сумма прямых углов и равна 180°, поэтому сумма двух других углов и также равна 180°. Тогда Углы и ABC равны как вертикальные, поэтому Таким образом, тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°.

Сформулируем теорему, которую мы применили для решения пункта б).

Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения его высот равно произведению стороны, противолежащей этой вершине, на котангенс угла при этой вершине. Действительно, пусть высоты AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. Стороны прямоугольных треугольников АСС₁ и ВНС₁ взаимно перпендикулярны, а потому их острые углы АСС₁ и ВНС₁ равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Тогда откуда Для остроугольного треугольника доказательство аналогично. Для прямоугольного треугольника доказательство напрямую следует из определения котангенса.

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 505425 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года.

Приведем другое решение пункта б):

Рассмотрим треугольник C₁CH, заметим, что угол C₁CH равен 30°. Поэтому в прямоугольном треугольнике CBA₁ катет BA₁ вдвое меньше гипотенузы: BA₁ = 4. Значит, АA₁ = 11. Из треугольника AA₁H находим Теперь по теореме Пифагора вычисляем:

Приведем ещё одно решение пункта б):

Заметим, что в треугольнике АНС точка В — ортоцентр. В силу свойства ортоцентра откуда получаем: (это же следует из подобия треугольников и ).

Из прямоугольного треугольника CBA₁ находим катет BA₁, противолежащий углу в 30°: BA₁ = 4. Из треугольника АВС находим высоту:

Тогда

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Докажите что треугольники abc и abc равны

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Прямые B₁C₁ и BC пересекаются в точке P.

а) Докажите, что треугольники PBC₁ и PB₁C подобны.

б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC, если BP = BB₁, ∠ABC = 80°, а точка B лежит между C и P.

а) Точки B, C, B₁, C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому сумма углов BCB₁ и BC₁B₁ равна 180°. Отсюда следует равенство углов PC₁B и PCB₁. А тогда треугольники PC₁B и PCB₁ подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

б) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Заметим, что треугольник PBB₁ равнобедренный, поэтому углы BPB₁ и BB₁P равны. А углы HB₁C₁ и HAC₁ опираются на одну и ту же дугу окружности, построенной на AH как на диаметре, поэтому они тоже равны. Последний же угол, как легко видеть равен Теперь получаем, что угол PBB₁ равен Угол ABB₁ же тогда равен откуда

Заметим теперь, что

поэтому треугольники AB₁C₁ и ABC подобны с коэффициентом Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен Диаметры описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, поэтому Отсюда AH = 6.

Источник

Докажите что треугольники abc и abc равны

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.

А) Докажите, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.

А) Рассмотрим прямоугольные треугольники AMB и CNB, у которых В — общий острый угол.

В ΔAMB: В ΔCNB: Откуда: