Докажите что у четырехугольника описанного около окружности суммы противолежащих

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

откуда вытекает равенство:

(1)

Источник

Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так:

Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник?

Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

Вписанный четырехугольник — коротко о главном

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

\( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Вписанный четырехугольник — определения и теоремы

Вот оказывается, что это неправда!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность.

Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \)

Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)?

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180<>^\circ \). Не веришь? Давай убедимся.

Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360<>^\circ \).

То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360<>^\circ \) — всегда! \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Доказательство смотри чуть дальше.

А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Вписанный параллелограмм

Попробуем сперва «методом научного тыка»:

Вот как-то не получается. Теперь применим знание:

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\).

У нас получилось, что

\( \displaystyle \left\< \begin\angle B=\angle D\\\angle B+\angle D=180<>^\circ \end \right.\) → \( \displaystyle \left\< \begin\angle B=90<>^\circ \\\angle D=90<>^\circ \end \right.\)

А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)?

Ну, то же самое конечно.

\( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180<>^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90<>^\circ \)

\( \displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90<>^\circ \)

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →