Докажите что угол между прямыми bm и c1m1 равен 60

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Решение №1958 Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Источники: Демо 2022, Демо 2021, Демо 2020, Демо 2019, Демо 2018, Демо 2017, Демо 2016, Демо 2015.

Найдём стороны данного треугольника. C₁N = NA₁ = A₁M = MA = 3, т.к. точки N и M середины рёбер длинной 6.
Сторону MN найдём из прямоугольного ΔMA₁N по теореме Пифагора:

Сторону MB найдём из прямоугольного ΔMAB по теореме Пифагора:

В₁N делит противоположную сторону на равные отрезки в равностороннем треугольнике, она является медианой, высотой, биссектрисой. Найдём В₁N по теореме Пифагора из прямоугольного ΔNA₁B₁:

Сторону BN найдём из прямоугольного ΔBB₁N по теореме Пифагора:

По обратной теореме Пифагора проверим, является ли ΔBNM прямоугольным:

63 = 45 + 27
63 = 63 – верно

Значит треугольник прямоугольный, ∠NMB = 90° (лежащий на против большей стороны, гипотенузы) ⇒ BM⊥MN.
Что и требовалось доказать.

б) Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Линия пересечения этих плоскостей – это прямая BM. Перпендикуляр из плоскости BMN – это прямая MN, MN⊥BM – по доказанному в пункте а).
Докажем, что перпендикуляр из плоскости АВВ₁ к ВM – это прямая КМ:

Проведём перпендикуляр NK⊥B₁A₁ и отрезок КM. Так же NK⊥A₁A, т.к. у нас правильная треугольная призма. Значит NK перпендикулярна всей плоскости АВВ₁, т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости ⇒ ∠NKM = 90°.
Поэтому MK – проекция MN на плоскость ABB₁. Прямая BM⊥MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM⊥MK.
Следовательно, искомый угол – это угол ∠NMK между перпендикулярами к прямой BM.
∠NMK находится в прямоугольном ΔNMK:

Найдём его катет из равностороннего ΔА₁В₁С₁:

Тогда в прямоугольном ΔNMK, найдём искомый угол, через синус угла:

Ответ: б) arcsin.

Источник

Докажите что угол между прямыми bm и c1m1 равен 60

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 12. Точки M и N— середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

а) Пусть точка H — середина AC.

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM ⊥ MP, следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A₁B₁C₁, то есть

Следовательно,

Ответ: б)

Источник

Докажите что угол между прямыми bm и c1m1 равен 60

Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна а угол ACB равен 120°.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки A до прямой B₁C₁, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

а) Треугольник тупоугольный, с тупым углом поэтому Значит

б) Опустим из точки перпендикуляр на прямую и проведем в плоскости грани прямую параллельную прямой Так как то и а, значит, прямая является проекцией прямой на плоскость Поскольку то а, следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах.

1) из

2) из

Аналоги к заданию № 500001: 500007 Все

«Поскольку В1С1 паралл. ВС, то АЕ пер­пен­ди­ку­ляр­на ВC»? АЕ является по построению перпендикуляром к С1В1

Не следует забывать, что такое угол между скрещивающимися прямыми.

Основанием прямой призмы MNKM₁N₁K₁ является прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90°, угол M равен 60°, NK = 18. Диагональ боковой грани M₁N составляют угол 30° с плоскостью MM₁K₁.

а) − высота треугольника Докажите, что

б) Найдите высоту призмы.

а) Вспомним, что по определению угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. — проекция прямой на плоскость следовательно, угол — угол между наклонной и плоскостью значит, этот угол равен 30°.

б) Из прямоугольного треугольника

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника находим:

Обозначим искомое расстояние Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Рассмотрим треугольник он прямоугольный и

По смыслу задачи подходит только корень

Ответ:

Аналоги к заданию № 507794: 507800 511494 Все

В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, Диагональ боковой грани B₁C составляет угол 30° с плоскостью AA₁B₁. Найдите высоту призмы.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Вспомним, что по определению угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Поэтому опустим перпендикуляр на плоскость тогда — проекция прямой на плоскость следовательно, угол — угол между наклонной и плоскостью значит, этот угол равен 30°. Из прямоугольного треугольника

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника находим:

Обозначим искомое расстояние Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Рассмотрим треугольник по теореме косинусов:

По смыслу задачи подходит только корень

Ответ:

Аналоги к заданию № 507794: 507800 511494 Все

Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁ является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 4, BC = 7.

а) Заметим, что B_{1 C1 ⊥ C1 A1 как катеты прямоугольного треугольника, и B1 C1 ⊥ C1 C, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Кроме того, как диагонали квадрата. AB1 − наклонная, AC1 − ее проекция на плоскость ACA1, − прямая в плоскости перпендикулярная проекции. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах что и требовалось доказать.}

б) Пусть M − середина AC₁. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB₁, поскольку прямая A₁C перпендикулярна плоскости AB₁C₁. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB₁C₁, проведённой к гипотенузе, то есть

Ответ: б)

Здравствуйте. В решении нельзя применить теорему о трех перпендикулярах, так как прямая А1С не проходит через основание наклонной АВ1 точку А.

Разные формулировки есть.

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB = 6, AC = 8 и AA₁ = 3.

а) Пусть N — середина ребра AB, L — середина ребра AC. Угол AMN прямой, поскольку отрезок MN параллелен отрезку BL. Таким образом, прямая NM перпендикулярна прямой AC и плоскость KNM перпендикулярна прямой AC, следовательно, прямая KM перпендикулярна прямой AC.

б) Пусть MH — высота в треугольнике AMB, CE — высота в треугольнике ABC, тогда Прямая MH перпендикулярна прямым AB и BB₁, следовательно, она перпендикулярна плоскости ABB₁ и угол HKM искомый. Вычисляя двумя способами площадь треугольника ABC, получим откуда

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 530402: 530434 Все

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, Точка Q — середина ребра A₁B₁, а точка P делит ребро B₁C₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины C₁. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC₁.

б) Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости APQ.

а) Пусть R — точка пересечения прямых PQ и A₁C₁, а K — середина B₁C₁ (см. рисунок). Тогда M — точка пересечения прямых AR и CC₁.

Треугольники PKQ и PC₁R подобны, откуда

б) Расстояние от точки A₁ до плоскости APQ равно высоте h пирамиды A₁AQR, опущенной из вершины A₁.

Объём пирамиды A₁AQR:

C другой стороны, объём пирамиды A₁AQR:

В треугольнике AQR находим стороны:

Площадь равнобедренного треугольника AQR равна

Ответ:

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точки K и M — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.

а) Докажите, что KM = KB.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB = 8, AC = 6 и AA₁ = 3.

а) Пусть L — середина ребра AB. Треугольник AMB прямоугольный, поэтому его медиана LM равна половине гипотенузы и равна LB. Из равенства треугольников KLM и KLB следует, что KM = KB.

б) Пусть MH — высота в треугольнике AMB. Прямая MH перпендикулярна прямым AB и BB₁, следовательно, она перпендикулярна плоскости ABB₁ и угол HKM искомый.

Вычисляя двумя способами площадь треугольника AMB, получим откуда

тогда

Ответ: б)

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Высота этой призмы равна 6.

а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AB₁ и параллельная прямой CA₁ проходит через середину ребра BC.

Достроим треугольную прямую призму до четырехугольной прямой призмы, в основании которой ромб ABDC, составленный из двух равносторонних треугольников.

Полученная призма является прямым параллелепипедом. Поэтому

а) Плоскость параллельна прямой по признаку параллельности. Диагонали ромба ABDС пересекают друг друга посередине, поэтому плоскость проходит через середину ребра BC.

б) значит, искомый угол Рассмотрим ромб ABDC: площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба С другой стороны, площадь ромба можно найти как полупроизведение длин его диагоналей: следовательно,

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим: Аналогично, Значит, из равнобедренного треугольника

получаем

Диагональ ромба можно было найти по теореме косинусов для треугольника ABD.

Для нахождения угла можно применить в треугольнике теорему косинусов:

откуда

Ответ: или

Почему мы не можем найти AD по теореме Пифагора? треугольник же прямоугольный получается

Нет. Треугольник ABD равнобедренный с углом 120°

Откуда вы взяли что угол ABD равен 120 градусов

В основании ромб, составленный из двух равносторонних треугольников.

Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL₁M₁N₁ равно её высоте и равно

а) Докажите, что сечение призмы, проходящее через и точку — середину ребра является прямоугольным треугольником.

б) Найдите расстояние от точки L₁ до плоскости LM₁T.

а) Призма — прямая, поэтому прямая перпендикулярна плоскости и, значит, Значит, треугольник − прямоугольный.

б) Пусть — высота треугольника Призма — прямая, поэтому прямая перпендикулярна плоскости и, значит, Следовательно, Отсюда следует, что расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка По теореме Пифагора Найдём

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна а высота СС₁ равна 7,5. На ребре B₁C₁ отмечена точка Р так, что B₁P:PC₁ = 1 : 3. Точки Q и М являются серединами сторон АВ и A₁C₁ соответственно. Плоскость α параллельна прямой АС и проходит через точки Р и Q.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости α.

б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

а) Проведем через и прямые и параллельные Пусть — середина ребра Тогда — проекция на плоскость основани. Она перпендикулярна средней линии основания, поэтому и

Пусть далее — точка на ребре такая, что Тогда и Значит, — проекция на плоскость Если мы докажем, что то и и тогда

Очевидно поэтому — параллелограмм и Осталось проверить, что треугольник — прямоугольный.

Проверим теорему Пифагора.

Доказано.

б) Пусть — середина — середина Опустим перпендикуляр из на прямую Поскольку он лежит в плоскости он будет заодно перпендикулрен и прямой Значит, он-то и есть искомое расстояние. Вычислим теперь его длину через площадь треугольника

Ответ:

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →