Докажите что в правильном пятиугольнике все диагонали равны

Правильный пятиугольник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

Подставив значение котангенса 36°, получаем:

Итак, формула радиуса вписанной в правильный пятиугольник окружности

можно найти площадь правильного пятиугольника. Здесь

Все диагонали правильного пятиугольника равны.

Источник

Пятиугольник, виды, свойства и формулы

Пятиугольник, виды, свойства и формулы.

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).

Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый пятиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.

Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник

Звёздчатый пятиугольник (пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.

Правильный многоугольник:

Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.

Рис. 3. Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.

Свойства правильного пятиугольника:

1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.

2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.

Рис. 4. Правильный пятиугольник

3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.

Рис. 5. Правильный пятиугольник

5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.

Рис. 6. Правильный пятиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр пятиугольника O.

Рис. 7. Правильный пятиугольник

7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.

Рис. 8. Правильный пятиугольник

8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

Рис. 9. Правильный пятиугольник

Построение правильного пятиугольника:

Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.

2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.

3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.

4. Постройте точку C посередине между O и B.

5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.

7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Формулы правильного пятиугольника:

Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.

Формулы площади правильного пятиугольника:

Формулы высоты правильного пятиугольника:

Формулы стороны правильного пятиугольника:

Формулы диагонали правильного пятиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:

Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:

Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100-140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.

Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.

Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.

Источник

Доказательство равенства четырех диагоналей пятиугольника единице

1. Доказательство равенства четырех диагоналей пятиугольника единице

Определение 2.1.1. Диаметром d многоугольника М называется точная верхняя граница расстояний между его точками. [6, 68]

d=sup(X,Y)

ХM, УM

Теорема 2.1.1. Диаметр многоугольника равен расстоянию между некоторыми его вершинами.

Многоугольник М является ограниченной замкнутой областью. По теореме Вейерштрасса непрерывная функция (X,Y) достигает своего максимума в этой области. Иными словами существуют такие две точки А и В многоугольника, что:

(А, В) = sup (X, Y) = d.

ХM, УM

Отрезок АВ также будем называть диаметром многоугольника.

Ясно, что концы диаметра многоугольника должны находиться на его границе, при этом если хотя бы один из концов диаметра АВ не является вершиной многоугольника, то как видно из рисунка 2.1.1, один из отрезков K₁B, K₂B будет больше АВ (т.к. один из углов K₁АB, K₂АB не является острым), что невозможно.

Итак, диаметр многоугольника совпадает либо с одной из сторон, либо с одной из диагоналей многоугольника.

Определение 2.1.2. Выпуклый многоугольник диаметра 1 будем называть оптимальным, если его периметр больше периметра любого другого выпуклого многоугольника диаметра 1.

Теорема 2.1.2. Все стороны оптимального пятиугольника меньше 1.

Для доказательства теоремы потребуется следующая лемма.

Лемма 2.1.1. Сумма расстояний от точки дуги окружности до ее концов принимает наибольшее значение, когда эта точка делит дугу пополам.

Пусть Р – точка дуги окружности, точки F и M ее концы (рис. 2.1.2).

Из FPО и PОM получаем:

FP+PM=2 r sin + 2 r sin =2 r (sin+sin ) =

=2 r (2sincos),

и по симметрии можно считать, что

, т.е. .

Сумма FP+PMпринимает наибольшее значение, когда cos=1.

1 шестиугольника FСZМ₁N₁T, где C середина дуги (по лемме 2.1.1).

Таким образом, получаем: p 1 0 +1+ 3,0819428.

Рассмотрим второй случай, когда прямые PM, MN пересекают дугу окружности (рис. 2.1.4).

Из рисунка 2.1.4 видно, что периметр p рассматриваемого пятиугольника FPMNT меньше периметра P 2 пятиугольника FP₁М₁N₁T т.е.:

p 2 3 правильного пятиугольника равен:

P 3 = .

Таким образом, получаем, что периметр рассматриваемого пятиугольника FPMNT меньше периметра правильного пятиугольника диаметра 1.

Теорема 2.1.3. В оптимальном пятиугольнике, по крайней мере, три диагонали равны 1.

Пусть диагональ PT=1 (по теореме 2.1.2).

Проведем две окружности: (T, PT=1) и (P, PT=1) (рис. 2.1.5). Ясно, что все остальные вершины пятиугольника будут являться внутренними или граничными точками области ограниченной окружностями , и прямой РТ. Причем все три вершины не могут лежать по одну сторону от PT, т.к. PT это диагональ выпуклого пятиугольника (рис. 2.1.5).

Рассмотрим первый случай, когда прямая MN пересекает дуги обеих окружностей и (рис. 2.1.5).

Источник