Докажите что в правильной треугольной пирамиде
Докажите что в правильной треугольной пирамиде
В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — середина AB, точка K — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.
а) Пусть L — середина SC, M — середина SA. Тогда 
(средняя линия треугольника параллельна его стороне) и, значит, точки P, K, L, M лежат в одной плоскости. Поскольку также 
это и есть описанная в условии плоскость 
А сечение пирамиды — четырехугольник PKLM. Он параллелограмм, поскольку 
Вычислим его угол.
поскольку проекция SB на плоскость ABC — высота BH треугольника ABC.
б) Проведем плоскость SBH, где H — середина AC. Пусть она пересекает ML и PK в точках T и Q соответственно. Эта плоскость перпендикулярна ML, поскольку 
Поэтому любая прямая в этой плоскости перпендикулярна ML. Значит, если опустить перпендикуляр из B на TQ — это и будет искомое расстояние. Очевидно также, что T и Q — середины SH и BH соответственна, поэтому TQ — средняя линия треугольника SHB и 
Рассмотрим треугольник SHB. В нем 
Если провести в нем высоту из вершины S, она упадет в ценр треугольника ABC, то есть в точку, делящую BH в отношении 
откуда длина этой высоты равна 
Теперь можно найти нужное расстояние.
Ответ: 
Докажите что в правильной треугольной пирамиде
В правильной треугольной пирамиде SABC точка М — середина ребра SC, точка K — середина ребра AB.
а) Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1 : 3.
б) Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC, если известно, что AB = 6, SA = 5.
Проведем апофему SK, соединим точки C и K отрезком, который пройдет через точку H. Точку пересечения KM и SH обозначим L.
а) По теореме Менелая имеем: 
; где 
следовательно, 
что и требовалось доказать.
б) В Δ AKS, где 
В Δ ABC 
В Δ KHS, где 
Так как SH ⊥ (ABC) по условию, L — общая точка MK и SH, то KH — проекция KL на плоскость ABC, следовательно, ∠LKH и есть угол между MK и плоскостью ABC.
Ответ: б) 