Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке

Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке

Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда

Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, из предыдущей пропорции следовательно, эти треугольники подобны, откуда

Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.

Источник

Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

а) В четырёхугольнике AC₁HB₁ углы C₁ и B₁ — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC₁B₁ и AHB₁ опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB₁ = ∠AC₁B₁.

б) В треугольнике AB₁C₁ диаметр описанной окружности AH = 4, откуда

В прямоугольном треугольнике BB₁A имеем:

В прямоугольном треугольнике CC₁A имеем:

Получаем, что Треугольники ABC и AB₁C₁ имеют общий угол A и следовательно, они подобны. Тогда Значит,

Ответ:

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева.

В четырёхугольнике AC₁HB₁ углы C₁ и B₁ — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Эта окружность описана также вокруг треугольника C₁HB₁, тогда по теореме синусов откуда

Как доказано в основном решении, треугольники C₁HB₁ и ABC подобны с коэффициентом подобия cos ∠A, тогда

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем другое решение.

а) Поскольку AA₁ — перпендикуляр к ВС, а BB₁ — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB₁ и ACB равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: откуда

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 519475 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2018 года.

Источник

Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

б) Найдите BC, если и ∠BAC = 60°.

а) Заметим, что высота AA₁ треугольника ABC проходит через точку H. В четырёхугольнике AC₁HB₁ углы C₁ и B₁ — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC₁B₁ и AHB₁ опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB₁ = ∠AC₁B₁.

Углы BC₁C и BB₁C — прямые, значит, точки B, C, B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,

б) В треугольнике AB₁C₁ диаметр описанной окружности откуда

В прямоугольном треугольнике BB₁A имеем:

В прямоугольном треугольнике CC₁A имеем:

Получаем, что Треугольники ABC и AB₁C₁ имеют общий угол A и следовательно, они подобны. Тогда Значит, BC = 2B₁C₁ = 24.

Аналоги к заданию № 505425: 505419 505452 511406 Все

Источник

Решение №1341 Высоты BB1 и СС1 остроугольного треугольника АBС пересекаются в точке Е.

Высоты BB₁ и СС₁ остроугольного треугольника АBС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы СС₁В₁ и СВВ₁ равны.

Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Рассмотрим ΔВ₁ЕС₁ и ΔСЕВ в них две стороны пропорциональны ЕВ₁∼ЕС, ЕС₁∼ЕВ, углы ∠В₁ЕС₁ = ∠СЕВ как вертикальные. Треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и равным углам между ними.
Из подобия треугольников следует равенство углов:

Что и требовалось доказать.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Источник

Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

а) В четырёхугольнике AC₁HB₁ углы C₁ и B₁ — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC₁B₁ и AHB₁ опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB₁ = ∠AC₁B₁.

б) В треугольнике AB₁C₁ диаметр описанной окружности AH = 4, откуда

В прямоугольном треугольнике BB₁A имеем:

В прямоугольном треугольнике CC₁A имеем:

Получаем, что Треугольники ABC и AB₁C₁ имеют общий угол A и следовательно, они подобны. Тогда Значит,

Ответ:

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева.

В четырёхугольнике AC₁HB₁ углы C₁ и B₁ — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Эта окружность описана также вокруг треугольника C₁HB₁, тогда по теореме синусов откуда

Как доказано в основном решении, треугольники C₁HB₁ и ABC подобны с коэффициентом подобия cos ∠A, тогда

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем другое решение.

а) Поскольку AA₁ — перпендикуляр к ВС, а BB₁ — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB₁ и ACB равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: откуда

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 519475 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2018 года.