Доску длиной 2 м распилили на две части найдите вероятность того что
Геометрическая вероятность
Понятие геометрической вероятности было сформулировано в §37 данного справочника. В этом параграфе мы рассмотрим различные задачи, при решении которых используется геометрическая вероятность.
п.1. Геометрическая вероятность на прямой
п.2. Геометрическая вероятность на плоскости
Например:
Два друга договорились встретиться между 14 и 15 часами. Каждый может прийти в любой момент в течение назначенного часа. Тот, кто пришёл первым, ждёт другого в течение 15 минут, а затем уходит. Чему равна вероятность встречи? 
Пусть 0≤x≤60 (мин) и 0≤y≤60 (мин) – моменты прихода первого и второго друга соответственно. Тогда пространство событий – квадрат 60х60.
Область ожидания: |x–y|≤15. Раскроем модуль: –15≤x–y≤15. Получаем систему: \(\left\< \begin
п.3. Геометрическая вероятность в пространстве
п.4. Примеры
Пример 1. Для игры в «Дартс» используется круглая мишень радиусом 40 см. Центральный круг – «десятка» – имеет радиус 4 см. Если игрок всегда попадает в мишень в любую точку с одинаковой вероятностью, какова вероятность попасть в «десятку»?
Пример 2. В правильный треугольник вписан полукруг. В треугольник случайно ставятся точки. Какова вероятность, что точка попадет в полукруг?
Мерой в данной задаче является площадь.
Пусть сторона треугольника a. Тогда пространство всех событий – треугольник площадью \(\mathrm< S_<\Omega>=\frac<\sqrt<3>><4>a^2>\).
Найдем радиус вписанного полукруга.
ΔCOB
Пример 3. На отрезке [0; 1] случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что её координата x удовлетворяет условиям:
1) x 2 > 0,64
2) \(\left\< \begin
Пример 4. В сито, наполненное до краёв зерном, уронили жемчужину. Сито представляет собой цилиндр радиусом 20 см и высотой 12 см.
1) Какова вероятность случайно зачерпнуть горсть зерна вместе с жемчужиной, если объём горсти 0,1 л?
2) Если после неудачной попытки, высыпать зерно из горсти обратно в сито, перемешать, и снова зачерпнуть горсть, изменится ли вероятность?
3) Если после неудачной попытки, высыпать зерно из горсти в сторону и зачерпнуть следующую горсть, изменится ли вероятность?
4) Сколько «неудачных» горстей нужно отсыпать в сторону, чтобы вероятность удачи для следующей попытки превысила 1/3?
1) Мерой для этой задачи является объём.
Пространство всех событий – все возможные точки, где может оказаться жемчужина – это цилиндрическое сито, объемом
VΩ = πR 2 h, R = 20 см = 2 дм, h = 12 см = 1,2 дм
VΩ = π · 2 2 · 1,2 = 4,8 π дм 3 = 4,8 π л
3) Если высыпать зерно в сторону, пространство всех событий уменьшится:
Пример 5. Загадываются два действительных числа от 0 до 4.
1) Какова вероятность, что их сумма больше 3?
2) Какова вероятность, что их разность меньше 1?
По условию 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4
Мерой для этой задачи является площадь.
Пространство всех событий: квадрат 4х4, SΩ = 4 2 = 16.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №37. Геометрическая вероятность.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
Геометрической вероятностью некоторого события называется отношение P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вероятность наступления некоторого события A в испытании равна P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов.
Пусть на плоскости задана некоторая область D, площадь которой равна S(D), и в ней содержится область d, площадь которой равна s(d). В области D наудачу ставится точка. Тогда вероятность события А – «точка попадает в область d» равна числу P(A) = s(d)/S(D).
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l равна P(A) = |l|/|L|.
Пусть пространственная фигура d составляет часть фигуры D. В фигуру D наудачу ставится точка. Вероятность попадания точки в фигуру d равна P(A) = V(d)/V(D).
Пример использования геометрического определения вероятности при решении задачи.
Два друга договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи друзей, если приход каждого из них может произойти
наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
S=60 2 –2·1/2·40 2 =2000
Ответ: вероятность встречи 5/9.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Метровый шнур случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.
Общему числу исходов соответствует длина шнура 1 м. Чтобы длина обрезка составила не менее 0,8 м, можно отрезать не более 0,2 м. Такие отрезы можно выполнить с любой стороны шнура, их суммарная длина равна 0,2+0,2=0,4 м. По геометрическому определению:
Пример 2. В шар брошена случайная точка.
2а) С какой вероятностью она попадёт в центр шара?
Объём одной точки (центра шара) равен нулю, значит и искомая вероятность равна 0
2б) С какой вероятностью она попадёт на какой-нибудь диаметр шара?
Любая точка шара всегда попадает на какой-нибудь диаметр. Поэтому вероятность равна единице.
2в) С какой вероятностью она попадёт в одно, определённое, полушарие?
Пример 3. В круг радиуса 
см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. При необходимости в расчетах используйте значение π с точностью до целых.
Площадь круга равна 
Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна диаметру круга (прямой угол опирается на диаметр), то есть 
.
Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны между собой, и по теореме Пифагора каждый катет равен 
. Площадь такого треугольника будет равна 
(можно найти площадь треугольника, не вычисляя длины катета: рассмотрим квадрат со стороной, равной гипотенузе нашего треугольника, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника 
Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площадей треугольника и круга:
1.5. Геометрическое определение вероятности
Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:
На отрезок 
наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток 
? 
Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу 
(ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности:
Вероятность наступления некоторого события 
в испытании равна отношению 
, где 
– геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а 
– мера, выражающая количество благоприятствующих событию 
исходов.
На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.
Рассмотрим событие: 
– брошенная на отрезок 
точка, попала в промежуток 
. Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: 
, а благоприятствующие событию 
исходы – длиной вложенного отрезка: 
По геометрическому определению вероятности: 
Примечание: 
– метрические единицы: метры, сантиметры или какие-то др.
Слишком просто? Как и в случае с классическим определением, это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:
Задача 28
Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.
Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна 
». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать меньше 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого: 
Рассмотрим событие: 
– длина обрезка составит не менее 0,8 м.
Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: 
Благоприятствующим исходам соответствуют участки, отмеченные красным цветом, и их суммарная длина равна: 
По геометрическому определению: 
Ответ: 0,4
Какой можно сделать вывод?
Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ
При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры: 
, в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Задача 29
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?
Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:
Задача 30
В треугольник со сторонами 
вписан круг. Точка 
произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.
Вспоминаем геометрию: вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в трёх точках. …Представили? Отлично!
Решение: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга.
Осталось вспомнить или отыскать (проще всего в Сети) школьные геометрические формулы. Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона: 
, где 
– длины сторон треугольника, а 
– полупериметр.
Сначала вычислим полупериметр треугольника: 
, а затем его площадь: 
Площадь круга найдём по известной формуле 
. Если круг вписан в треугольник, то его радиус можно рассчитать по формуле 
, этого я не вообще не знал – только что нашёл в Интернете.
Итак, площадь вписанного круга: 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что точка 
попадёт во вписанный круг.
Ответ: 
Более простой пример для самостоятельного решения:
Задача 31
В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.
Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!
А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:
Задача 32
Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?
Решение: сначала выясним длительность временнОго промежутка, на котором могут пересечься автомобили: это 90 минут (коль скоро, от 19.00 до 20.30). Изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц: 
Общему множеству исходов соответствует площадь данного квадрата:
Далее по оси 
от начала координат откладываем время погрузки одного автомобиля (зелёная линия), а по оси 
– время погрузки другого автомобиля (красная линия) (можно наоборот, это не повлияет на решение).
Теперь из правого конца зелёного отрезка и из верхнего конца красного отрезка под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата (малиновые отрезки).
Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во времени) соответствует площадь 
заштрихованной фигуры. В принципе, её можно вычислить «на пальцах», но технически проще использовать окольный путь, а именно, вычислить площади двух прямоугольных треугольников. Используем формулу: 
, где 
– длины катетов.
В нашей задаче: верхний треугольник имеет катеты длиной по 80 единиц, нижний треугольник – по 75 единиц. Обратите внимание, что в общем случае эти треугольники не равны.
Таким образом, суммарная площадь треугольников составляет: 
И бесхитростный заключительный манёвр: из площади квадрата вычитаем площади треугольников, получая тем самым благоприятствующую площадь: 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой.
Ответ: 
Подробное объяснение этого способа решения можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана, я же остановился лишь на техническом алгоритме, дабы не тратить ваше драгоценное время.
И если в разобранной задаче встреча явно нежелательна, то в следующей, скорее, наоборот. Романтичный эпизод для самостоятельного изучения:
Задача 33
Студенты случайным образом приходят в столовую с 14.00 до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится.
Не нужно печалиться по поводу пункта «бэ» – любовь приходит и уходит, а кушать хочется всегда! =)
Решение, чертёж и ответ в конце книги.
Оставшиеся примеры параграфа посвящены не менее распространённому типу задач, где фигурируют неравенства.
Для начала разогревающий пример:
Задача 34
В квадрат с вершинами 
наудачу брошена точка 
. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству
.
Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую 
: 
Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата 
Прямая 
делит квадрат на треугольник и трапецию. Как определить фигуру, которая удовлетворяет условию 
? Вспоминаем линейные неравенства: нужно взять любую точку, не принадлежащую прямой 
, например, точку 
и подставить её координаты в неравенство: 
Получено верное неравенство, значит, множеству благоприятствующих исходов соответствует площадь 
трапеции. Рассчитаем данную площадь как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника (разделены на чертеже пунктиром): 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что координаты брошенной в данный квадрат точки удовлетворяют неравенству
.
Ответ: 
…аналитическую геометрию немного вспомнили, теперь на очереди математический анализ, ибо неравенства бывают не только линейными:
Задача 35
Загадываются два числа 
и 
в промежутке от 0 до 5. Какова вероятность, что 
?
Схема решения уже знакома: коль скоро загадываются 2 произвольных числа от нуля до пяти (они могут быть и иррациональными), то общему количеству исходов соответствует площадь квадрата 
Изобразим ветвь гиперболы 
, которая делит квадрат на две части: 
Теперь выясним, какой из этих двух «кусков» удовлетворяет неравенству 
. Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять 
, и подставим её координаты в наше неравенство: 
Получено неверное неравенство, а значит, условию 
соответствует «верхний кусок», площадь 
которого, деваться тут некуда, придётся вычислить с помощью определённого интеграла. Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы 
и прямой 
): 
На отрезке 
прямая 
расположена не ниже гиперболы 
, по соответствующей формуле: 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что произведение двух загаданных в промежутке от 0 до 5 чисел окажется больше двух.
Ответ: 
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Задача 36
Загадываются два числа 
и 
в промежутке от 0 до 10. Какова вероятность, что 
?
Данная задача (как, собственно, и предыдущая) допускает несколько способов расчёта площади, подумайте, какой путь более рационален.
В заключение следует отметить, что геометрическое определение вероятности тоже обладает своими недостатками. Один из них заключается в своеобразном парадоксе, давайте вспомним самый первый пример с отрезком 
, на который случайным образом падает точка. Возможно ли, что точка попадёт, например, на самый край отрезка? Да, такое событие возможно, но по геометрическому определению, его вероятность равна нулю! И то же самое можно сказать о любой точке отрезка! Дело в том, что с позиций геометрии размеры отдельно взятой точки равны нулю, и поэтому геометрическое определение вероятности здесь не срабатывает.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин