Два луча с одним началом что это

Что такое луч в математике

Не секрет, что знания, которые вы получили в школьные годы не всегда остаются с вами впоследствии Иногда бывает полезно изучить новое или освежить в памяти то, что вы давно забыли. Сегодня вы вспомните такое понятие как луч.

Луч — геометрическое понятие

Луч — это такая прямая линия, один из концов которой ограничен точкой, а другой продолжается до бесконечности. Таким образом, фигура тянется вперёд без ограничений. но только с одной стороны. Вторая сторона не может тянуться дальше точки, которая является началом фигуры.

На картинке вы можете посмотреть, что такое луч и как он выглядит:

Луч отмечается посредством строчной латинской буквы или двух таких точек, которые обозначены заглавными буквами латинского алфавита.

Если вы увидите отрезок с двумя точками и продолжите его в одну из сторон, как показано на рисунке, то получится луч.

Отличия луча от прямой и от отрезка

В геометрии есть три схожих понятия, которые подразумевают под собой черту — это луч, отрезок, прямая. Эти фигуры всегда изображаются без изгибов и имеют ряд особенностей.

В рамках курса математики луч — это полупрямая. Дело в том, что с одного конца он обладает признаком бесконечности, который присущ прямой линии.

В начальной точке луч имеет сходство с отрезком, так как он так же ограничен точкой.

Обратите внимание — быстро отличить фигуры друг от друга вы можете по наличию у них начала и конца:

Взаимное расположение лучей

Если на прямой линии вы поставите точку, то на ней сформируются два таких луча, начало которых находится в одной точке.

На рисунке начало для лучей — общая точка A.

По взаимному расположению лучи делятся на пересекающиеся и непересекающиеся.

Параллельный луч — это фигура, у которой любая точка находится на одинаковом расстоянии от соответствующей точки другого луча. Параллельные лучи не могут пересекаться.

Дополнительные лучи — это фигуры, которые обладают такими признаками, как:

Можно ли сравнить два луча?

Луч — это такая фигура, которую нельзя измерить. Он продолжается без ограничений, поэтому не обладает характеристикой длины.

Так как невозможно измерить несколько лучей, сравнить их вы тоже не сможете.

Луч — альтернативные значения слова

Русский язык достаточно сложен и необычайно многообразен, поэтому многие слова имеют несколько разных значений, а разнообразные сочетания способны радикально менять смысл слов, которые являются их составными частями.

Сможете ли вы сходу ответить на вопрос: «Что такое луч света?». Это словосочетание употребляется нами с детства, но не так легко выразить, что оно означает.

Такая фраза описывает прямую линию, по которой направляется световая энергия. Эта энергия исходит от разных источников:

В быту вы можете услышать словосочетание «луч света в тёмном царстве». Такие слова означают — среди негативных явлений присутствует что-то хорошее. Короткое слово всегда ассоциируется с чем-то светлым, добрым и положительным.

Фраза «луч надежды» указывает, что среди множества нежелательных последствий существует не высокая вероятность благополучного исхода.

Источник

Два луча с одним началом что это

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области.

Содержание:

На рисунке 2.47 изображена прямая , на ней отмечена точка В, которая разделяет прямую на три части:

1) первая состоит из точек, лежащих левее точки В;

2) вторая состоит из самой точки В;

3) третья состоит из точек, лежащих правее точки В.

Объединение первого или третьего множеств с точкой В называется лучом или полупрямой. Таким образом, точка В определила на прямой два луча.

Точка В называется началом каждого из этих лучей или начальной точкой полупрямой.

Луч обозначается латинскими буквами: одной строчной (например, на рис. 2.48) или двумя заглавными, одна из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-либо точку на луче (например, луч ВС на рис. 2.49).

Полупрямые прямой , на которые она разбивается точкой В, называются дополнительными.

В повседневной жизни мы часто употребляем понятие направления: направление движения пешехода или автомобиля, направление удара мяча в

футбольном матче, направление полета самолета или ракеты и т. д.

При задании направления используют понятие луча. В геометрии считают, что направление задается лучом, а определить понятие «направление» можно как множество лучей, сонаправлен-ных (одинаково направленных) с данным (рис. 2.50).

1. Если два луча лежат на одной прямой, то будем считать их одинаково направленными, если один из них содержится в другом, и противоположно направленными, если один из них не содержится в другом.

2. Если два луча параллельны, но не лежат на одной прямой, то проведем через их начала плоскость, которая разделит пространство на два полупространства. Если лучи лежат в одном из этих полупространств, то они сонаправлены (рис. 2.51). Если же лучи лежат в разных полупространствах, то они противоположно направлены (рис. 2.52).

Понятие угла

На рисунке 2.53 два луча OA и ОВ имеют общее начало. Эти два луча с общим началом всегда лежат в одной плоскости.

При таком расположении лучи разбивают плоскость, которую они образуют, на две части (рис. 2.54). Эти части плоскости вместе с образовавшими их лучами в геометрии называются углами.

Определение. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости.

На рисунке 2.54 лучи OA и ОВ имеют общее начало — точку О и разбивают плоскость на две части. Исходя из определения угла, получили два различных угла.

Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла (рис. 2.55). Лучи OA и ОС на этом рисунке определяют два угла.

Весь угол изобразить на рисунке нельзя, как нельзя на рисунке изобразить весь луч. Каждый угол в действительности продолжается бесконечно. На рисунке 2.56 выделены только части изображенных углов.

Слово «угол» иногда заменяют знаком . Часто при изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные участки его сторон, а ту часть, которую хотят указать, обозначают дужкой (рис. 2.57)

Угол обозначается или одной заглавной буквой, поставленной у вершины угла, например: (рис. 2.57), или тремя буквами, из которых одна ставится при вершине угла, а две другие — у каких-нибудь точек сторон, например: (рис. 2.57). Буква, стоящая при вершине угла, всегда записывается между двумя другими буквами. Иногда угол обозначают цифрой, поставленной внутри угла (рис. 2.58).

Для изучения свойств углов используется понятие луча, проходящего между сторонами угла.

Определение. Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

На рисунке 2.59 луч ОВ проходит между сторонами угла АОС, так как он исходит из вершины угла АОС и пересекает отрезок MP. Концы отрезка MP лежат на сторонах угла АОС.

Возьмем луч АС (рис. 2.60) и будем поворачивать его вокруг точки А против часовой стрелки, например, до положения АВ, тогда его последовательные положения «заметут» угол со сторонами АС и АВ.

Продолжая вращать луч в том же направлении, мы будем получать все новые и новые углы. В определенный момент оба луча составят прямую линию (рис. 2.61). Такой угол называется развернутым углом.

Развернутый угол есть часть плоскости, ограниченная прямой, т. е. полуплоскость (рис. 2.62). Сторонами развернутого угла являются две дополнительные полупрямые.

Определение. Развернутым углом называют угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми одной прямой.

Если продолжить вращение луча дальше, чем показано на рисунке 2.62, то будут получаться новые углы (рис. 2.63), пока луч не вернется в свое первоначальное положение (рис. 2.64).

Самый большой возможный угол, полученный в ходе вращения луча, называется полным углом. Полный угол, в сущности, есть вся плоскость (рис. 2.65), а не ее часть, ограниченная двумя лучами.

Измерение углов

Каждый угол характеризуется его величиной, которая называется градусной мерой угла. Измерение углов осуществляется аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный части развернутого угла. Градус обозначают знаком .

Градусную меру часто называют просто величиной угла. Величина угла, равного части градуса, называется минутой и обозначается знаком , часть минуты называется секундой и обозначается знаком . Например, угол в 60 градусов 32 минуты 17 секунд записывается так: 60°32’17».

Так как градус составляет часть развернутого угла, развернутый угол равен 180°.

Определение. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называют градусной мерой угла.

В зависимости от градусной меры углы бывают трех видов: острые, прямые и тупые.

Определение. Угол, равный 90°, называют прямым углом. Прямой угол обозначается буквой d. Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90°, называют тупым углом.

Градусные меры угла обозначаются или так же, как сами углы, или буквами греческого алфавита. Например, запись читается: величина (или градусная мера) угла АОВ равна 45 градусам. На рисунке 2.66 величина острого угла записана: , читаем: величина угла меньше 90 градусов. Аналогично записываются и читаются величины прямого и тупого углов (рис. 2.67, 2.68).

Основные свойства измерения углов

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Например, на рисунке 2.69 луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, градусная мера угла АОВ равна сумме градусных мер углов АОС и СОВ, то есть

Для измерения градусных мер углов (величин углов) на уроках геометрии применяется транспортир (рис. 2.70). На рисунке 2.71 показано, как с помощью транспортира можно измерять угол в 30°, 90°, 120°. На рисунке 2.72 показано, как с помощью транспортира можно отложить от полупрямой OA в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.

Пример:

Между сторонами угла COD, равного 120°, проходит луч OA. Найдите углы СОА и AOD, если их градусные меры относятся как 4:2.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1.

2. Луч OA проходит между сторонами угла COD.

3.

Найдите градусные меры углов СОА и AOD.

4. (2, свойства измерения углов).

5. Так как градусные меры углов СОА и AOD относятся как 4:2, то можно считать, что состоит из 6 частей (1, 2, 3, 4).

6.

Равенство углов. Биссектриса угла

Как и при определении равенства отрезков, рассматриваются два определения равенства углов.

Определение. Углы равны, если равны их градусные меры.

На рисунке 2.73 изображены два угла ABC и DEM, величины которых равны, а значит, по определению, эти углы равны. Равенство углов обозначается так:

Определение. Углы называются равными, если их можно совместить наложением друг на друга.

Развернутые углы при наложении всегда могут быть совмещены. Отсюда следует, что все развернутые углы равны между собой. Полные углы равны между собой.

Пусть есть два угла: (рис. 2.74). Если угол 1 наложить на угол 2 так, чтобы их вершины совпали, одна из сторон угла 1 совместится со стороной угла 2, но при этом угол 1 составит только часть угла 2 (рис. 2.75). В этом случае говорят, что величина угла 1 меньше величины угла 2. Можно сформулировать по-другому: угол 1 меньше угла 2.

Используя понятие равенства углов, можно дать определение одному из важных понятий геометрии — биссектрисе угла.

Определение. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

На рисунке 2.76 луч ОМ — биссектриса угла АОВ, при этом

Смежные углы

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке 2.77 являются смежными, так как лучи OA и ОС — дополнительные полупрямые, а луч ОВ — общая сторона этих углов.

Теорема 4.

Сумма смежных углов равна 180°.

Из теоремы 4 вытекают следующие следствия — свойства смежных углов.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым, является тупым, а смежный с тупым — острым.

Вертикальные углы

На рисунке 2.78 изображены две пересекающиеся в точке О прямые АВ и CD. При пересечении этих прямых образовалось четыре угла:

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

На рисунке 2.78 углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные.

Теорема 5.

Вертикальные углы равны.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.

Пример:

На рисунке 2.79 угол COD равен 30°. Чему равны углы АОК и DOK?

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Прямые СК и AD пересекаются в точке О.

2. (рис. 2.79)

3. Найдите углы АОК и DOK.

4. Углы COD и АОК вертикальные (1, определение вертикальных углов).

5. (2, свойство вертикальных углов).

6. Угол DOK смежный с углом COD (1, определение смежных углов).

7. (6, свойство смежных углов).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Шкалы, координаты

Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.

Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.

Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).

Рисунок 1. Измерительная линейка.

Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.

Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).

Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.

Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.

Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.

Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.

Рисунок 2 Цена деления шкалы

Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?

Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:

Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.

Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки

Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.

Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.

Рис. 3. Луч с началом в точке O

Рис. 4. Луч с равными отрезками

Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).

Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.

Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами

Покажу еще раз на примере точки S :

так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),

подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:

Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.

Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.

Рис. 6. Координатный луч

Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.

Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.

Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.

Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.

Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.

Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка

Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).

Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.

Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.

Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.

Рис. 8. Координаты точек

Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).

В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.

Рис. 9. Большие числа на координатном луче.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.1 / 5. Количество оценок: 8

Источник