Два равных полукруга наложены так что диаметры их параллельны

Подобнай вопрос был уже задан ранее

Правила Портала: необходимо помимо ссылок на ответы в аналогичном вопросе, заданном ранее, также дополнительно копировать текст этого ответа в Приложение к своему ответу, либо цитировать часть ответа с указанием автора.
Ваш ответ дополняется.

———
• Отредактировал: Eviran, Академик
• Дата редактирования: 08.10.2008, 06:45 (время московское)

Приложение:

Площадь сегмента равна разности площадей сектора и треугольника
Sсект=0.5*R^2*(a), где а-угол в радианах, образуемый данным сектором.
В нашем случае а=2пи/3, из треугольника с гипотенузой R и прилежещем катете=R/2
Sсект=R^2*пи/3
Sтр=(R/2)(R*V3/2)=R^2*V3/4
Sсегм=R^2*(пи/3-V3/4), для определения искомой площади умножаем на 2.

Проведем из точки D перпендикуляр DE к стороне BC и перпендикуляр DF к стороне AC. Тогда
CE = CD•cos (60/2)º = a•V3/4•V3/2 = 3•a/8,
DE = CD•sin (60/2)º = a•V3/4•1/2 = a•V3/8.

Плошадь прямоугольника CFDE равна
S_CFDE = CE•DE = 3•a/8•a•V3/8 = 3•a 2 •V3/64 (кв. ед.).

Площадь искомого прямоугольника равна
S = 4•S_CFDE = 4•3•a 2 •V3/64 = 3•a 2 •V3/16 (кв. ед.).
Ответ: S = 3•a 2 •V3/16 кв. ед.

Источник

10 класс Типовой расчет по теме «Планиметрия»

Главная > Документ

10 класс. Типовой расчет по теме «Планиметрия». Вариант № 15

1. В остроугольном треугольнике проекции двух сторон на третью равны 4 и 2 см. Найти проекцию медиан на ту же сторону.

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 5 см, а боковая сторона 20 см. Найти биссектрису угла при основании треугольника.

5. Средняя линия трапеции равна 10 см и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найти длины оснований трапеции.

8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 1 см. Найти стороны трапеции, если её большее основание равно 4 см.

1. Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 24, 28 и 56 см. Найти боковые стороны.

2. В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведённых из острых углов, равны , см. Найти длину гипотенузы треугольника.

3. Найти диагональ прямоугольника, если периметр его равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см.

4. В равнобокой трапеции диагональ делит тупой угол пополам. Большее основание меньше периметра на а метров, а средняя линия равна b метрам. Определить меньшее основание.

7. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. На его боковой стороне, как на диаметре, построена полуокружность, которая основанием треугольника разделилась на две части. Найдите эти части.

8. Около круга радиуса r описана прямоугольная трапеция, меньшая из сторон которой равна . Вычислить площадь этой трапеции.

10. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности, если длины катетов равны 5 и 12 см.

4. Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как 5:4. Определить углы ромба.

5. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7 см, тупой угол равен 135°. Чему равна высота?

8. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобокая трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.

9. На большом катете, как на диаметре, описана полуокружность. Определить её длину, если меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24 см.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна см². Определить его высоту, проведённую к гипотенузе, если она делит прямой угол в отношении 1:2.

3. Периметр параллелограмма равен 24 см, острый угол – 65°. Найти периметр и углы четырёхугольника, вершины которого делят пополам отрезки диагоналей данного параллелограмма от их середины до вершины.

5. В данной равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр содержит 24 м. Определить боковую сторону.

7. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым углом α при основании. Найти периметр этой трапеции.

9. Полуокружность радиуса r разделена на три равные части, и точки деления соединены с одним из концов диаметра. Определить площадь средней части полукруга.

4. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.

5. Основания трапеции равны 2 и 8 см. Найти отрезки средней линии, на которые она делится диагоналями.

10. В треугольник вписан круг. Прямые, соединяющие центр круга с вершинами, делят площадь треугольника на части с площадями 4, 13 и 15 см². Найти стороны треугольника.

1. Длины двух сторон остроугольного треугольника равны и см. Найти длину третьей стороны, зная, что эта сторона равна проведённой к ней высоте.

2. Основание треугольника равно 20 см. Медианы боковых сторон равны 18 и 24 см. Найти площадь треугольника.

3. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.

5. Найти отношение между параллельными сторонами трапеции, в которой средняя линия делится двумя диагоналями на три равные части.

8. В прямоугольный треугольник вписан полукруг так, что диаметр его лежит на гипотенузе и центр его делит гипотенузу на отрезки, равные 15 и 20 см. Определить длину дуги полукруга, заключённой между точками касания его с катетами.

9. Найти диагональ и боковые стороны равнобедренной трапеции с основаниями длиной в 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

2. Длина основания треугольника равна 36 см, прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

3. Найти углы ромба, если биссектриса угла, образованного стороной и большей диагональю, пересекает сторону под углом 40°.

7. Найти диагональ и боковую сторону равнобокой трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

2. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18 см.

3. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его служит диагональю другого квадрата. Найти сторону последнего.

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

2. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника.

3. Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3:1. Найти угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

6. Две окружности радиусов 3 и 1 см касаются внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до их общей внешней касательной.

7. Площадь равнобокой трапеции, описанной около круга, равна см². Найти боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен .

9. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания с окружностью делит один из катетов на отрезки 6 и 10 см, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника.

1. Медианы треугольника равны 5; 6 и 5 м. Найти площадь треугольника.

3. Найти углы ромба, если биссектриса угла, образованного стороной и меньшей диагональю, пересекает сторону под углом в 75°.

4. В равнобокой трапеции большее основание равно 5,2 м, боковая сторона – 1,6 м, тупой угол – 120°. Найти среднюю линию трапеции.

5. Найти острый угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, если дуга, заключённая внутри угла, составляет окружности.

6. В треугольник вписан круг радиусом 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8 см. Найти длины двух других сторон.

7. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 см.

8. Из одной точки окружности круга радиуса R проведены две хорды, равные каждая . Найти площадь части круга, заключённой между этими хордами.

9. В прямоугольный треугольник с катетами a и b вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.

1. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5 см. Определить площадь треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и медианой, проведёнными к большей стороне.

2. Периметр прямоугольного треугольника равен 132 м, а сумма квадратов сторон треугольника равна 6050 м². Найти стороны треугольника.

3. Дан квадрат, сторона которого 1 м; диагональ его служит стороной другого квадрата. Найти диагональ последнего.

6. Расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 17 и 10 см, равно 21 см. Определить расстояние от центров до точки, в которой прямая центров пересекается с общей касательной окружностей.

7. Площадь равнобокой трапеции, описанной около круга, равна 8 см². Определить стороны трапеции, если угол при основании равен 30°.

8. В ромб со стороной а и острым углом 60° вписана окружность. Найти площадь прямоугольника, вершины которого лежат в точках касания окружности со сторонами ромба.

3. В параллелограмме угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла, равен 140°. Определить углы параллелограмма.

4. Периметр равнобокой трапеции равен 28 см, большее основание – 10 см, диагональ делит острый угол трапеции пополам. Найти среднюю линию трапеции.

5. На высоте треугольника, как на диаметре, построена окружность; её дуга, заключённая внутри треугольника, содержит 320°, а внешние дуги относятся, как 1:3. Найти углы треугольника.

8. Найти площадь равнобокой трапеции, зная длину её диагонали l и величину угла α между этой диагональю и большим основанием.

1. Найти третью сторону остроугольного треугольника, если две его стороны равны а и b и известно, что медианы этих сторон пересекаются под прямым углом.

2. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая сторона равна 2,7 см. Найти диагонали прямоугольника.

5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, основание – 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины сторон этих треугольников.

6. Около круга радиуса 2 см описана равнобокая трапеция с площадью 20 см². Найти стороны трапеции.

7. В прямоугольной трапеции отношение длин оснований равно 4, а отношение длин диагоналей равно 2. Найти величину острого угла трапеции.

8. Определить площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, равные 25,6 и 14,4 см.

9. В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены три параллельные между собой хорды, соответственно равные сторонам правильных вписанных в круг шестиугольника, четырёхугольника и треугольника. Найти отношение площади той части круга, которая заключена между второй и третьей хордами, к площади той части круга, которая заключена между первой и второй хордами.

1. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведённых к данным сторонам, равна третьей высоте.

2. Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна 44°. Определить углы ромба.

3. В трапеции ABCD (BC||AD ) AC  CD, АВ=ВС и . Найти остальные углы трапеции.

5. Окружность касается большего катета треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе. Найти её радиус, если длины катетов треугольника равны 3 и 4 см.

8. Найти площадь треугольника, если даны a и b – длины его сторон и l – длина биссектрисы угла между этими сторонами.

9. В круге радиуса R проведены две параллельные хорды, стягивающие дуги в 60° и 120°. Найти площадь части круга, заключённой между ними.

Источник

Два равных полукруга наложены так что диаметры их параллельны

Длина окружности и дуги.

1. Вычислить длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м; 3) 35 см.

2. Вычислить радиус, если длина окружности равна: 1) 1 м; 2) 25 см; 3) 4,75 дм.

3. Расстояние между серединами двух зубцов зубчатого колеса, имеющего 0,66 м в диаметре, равно 34,5 мм, считая по дуге. Сколько зубцов имеет колесо?

4. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Определить скорость точки, лежащей на окружности шкива.

5. По данному радиусу R определить длину дуги, содержащей:
1) 45°; 2) 24°30′; 3) 5°14’15».

6. Определить радиус дуги, если её длина равна l, а градусная мера: 1) 135°; 2) 1040′.

7. Окружность шкива (черт. 28) имеет длину 540 мм, ремень касается шкива по дуге длиной 200 мм. Определить угол обхвата шкива ремнём (α).

8. Радиус железнодорожного закругления равен 1200 м; длина дуги равна 450 м. Сколько градусов содержит дуга?

9. 1) Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 см. Найти получившийся центральный угол.

2) Дуга радиуса 4 см, измеряющая центральный угол в 120°, равна длине некоторой окружности. Найти радиус этой окружности.

3) Окружность радиуса 6 см разогнута в дугу, измеряющую центральный угол в 300°. Найти радиус дуги.

10. Определить число градусов дуги, если дан её ра диус R и длина l:
1) R = 10, l = 45; 2) R=15, l = 6.

11. Сколько градусов и минут в дуге, длина которой равна радиусу( 1 /_π = 0,31831)?

12. По данной хорде а определить длину её дуги, если она содержит:
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

13. По данной длине дуги l определить её хорду, если дуга содержит:
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

14. Определить радиус окружности, если она длиннее своего диаметра на 107 см.

2) Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и футбольный мяч по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и останется некоторый прозор (промежуток). В каком случае этот прозор был бы больше: у земного шара или мяча?

16. 1) Железная труба со стенками толщиной в 6 мм имеет внешнюю окружность в 22 см. Найти длину внутренней окружности.

2) Из двух концентрических окружностей одна равна 167 см, а другая 117 см. Определить ширину кольца.

17. Определить длину окружности, если она более периметра правильного вписанного шестиугольника на 7 см.

18. Дуга сегмента содержит 120° и имеет длину l. Определить длину окружности, вписанной в этот сегмент.

19. Из концов дуги ABC, содержащей 120°, проведены касательные до взаимного пересечения в точке D, и в полученную фигуру ABCD вписана окружность. Доказать, что длина этой окружности равна длине дуги ABC.

20. На чертеже 29 даны вид и размеры в сантиметрах коленчатой трубы паровой машины. Найти её длину. (Её длина измеряется по средней пунктирной линии.)

Черт. 29

21. Найти радиус такой окружности, длина и площадь круга которой выражаются одним и тем же числом.

22. Определить относительную погрешность при замена длины полуокружности 1 /₂ С через a₃ + a₄ (для приближённого спрямления окружности).

23. Одно из приближённых спрямлений окружности состоит в том, что её заменяют периметром прямоугольного треугольника, у которого один катет равен 6 /₅ диаметра, другой катет составляет 3 /₅ диаметра. Определить абсолютную погрешность.

24. Определить площадь круга при следующей длине радиуса:
1) 10 м; 2) 4 дм; 3) 2,6 см (взять π =3,14).

26. Лошадь привязана к колу верёвкой, длина которой равна 10,5 м. Найти площадь участка, на котором она может пастись. (С точностью до 0,01 кв. м.)

27. Найти площадь круга поршня воздушного насоса, диаметр которого равен 10 см.

29. Дерево имеет 1,884 м в обхвате. Чему равна площадь его поперечного сечения, имеющего (приблизительно) форму круга?

30. Какой груз выдерживает пеньковый канат, имеющий 18 см в окружности, если допускаемая нагрузка равна 100 кг\см 2

31. 1) Определить площадь круга, если длина окружности равна 8 см.

32. 1) Пропускная способность трубы III (черт. 30) та же, что и у труб I и II вместе. Определить построением величину x по данным на чертеже размерам.

Черт. 30.

2) Две трубы с диаметром в 6 см и в 8 см требуется заменить одной трубой той же пропускной способности. Найти диаметр этой трубы.

33. Определить площадь круга, если площадь вписанного квадрата равна F.

35. Найти отношение между площадями вписанного и описанного кругов: 1) для правильного треугольника; 2) для квадрата; 3) для правильного шестиугольника.

36. Вертикальный цилиндрический котёл 78 см в диаметре и весящий 752 кг имеет в днище круглое отверстие, наружный диаметр которого равен 36 см. Всей площадью своего днища котёл опирается на фундамент. Определить давление, оказываемое котлом вследствие его тяжести на 1 см 2 поверхности фундамента.

37. В кольце, образованном двумя концентрическими окружностями, хорда большей окружности, касающаяся меньшей, равна а. Определить площадь кольца.

38. Круга касаются шесть равных ему кругов, касающихся также между собой, и полученное соединение семи равных кругов охвачено таким концентрическим кольцом, которое равновелико их сумме. Доказать, что ширина кольца равна радиусу кругов.

39. Определить площадь сектора, если радиус равен r, а дуга содержит:
1) 67°30′; 2) 15°45′.

40. Определить радиус сектора, если его площадь равна q, а центральный угол равен: 1) 72°; 2) 36′.

41. Радиус сектора равен r, а площадь равна q. Определить величину центрального угла (или дуги).

42. Определить площадь сегмента, если радиус равен R, а дуга содержит: 1) 90°; 2) 60°; 3) 45°; 4) 30°.

43. Определить площадь сегмента, если хорда равна а, а дуга содержит: 1) 120°; 2) 90°; 3) 60°.

Площадь фигур, ограниченных прямыми и дугами окружностей.

44. Определить площадь окна (черт. 31), имеющего форму прямоугольника, законченного вверху дугой круга в 60°; высота окна, считая от середины дуги до основания, равна 2,4 м, ширина его 1,6 м.

Черт. 31

45. 1) Полуокружность радиуса r разделена на три равные части, и точки деления соединены с концом диаметра. Определить площадь средней части полукруга.

2) Концы дуги CD одинаково удалены соответственно от концов диаметра АВ. Определить площадь, заключённую между дугой CD и хордами АС и AD, если площадь круга равна Q и дуга CD содержит п°.

46. В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°. Определить часть площади круга, заключённую между хордами.

47. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и стягивает в одном круге дугу в 60°, а в другом— дугу в 90°. Определить площадь общей части кругов (два случая).

48. Площадь круга Q. Определить площадь вписанного в него прямоугольника, стороны которого относятся, как т : п.

49. В круг радиуса R вписан прямоугольник, площадь которого составляет половину площади круга. Определить стороны этого прямоугольника.

50. Около круга, площадь которого равна Q, описан ромб с углом в 30°. Определить площадь этого ромба.

51. Около правильного треугольника с площадью Q описана окружность, и в тот же треугольник вписана окружность. Определить площадь кольца, заключённого между этими окружностями.

52. АМВ—дуга, содержащая 120°; OA и ОВ—радиусы; АС и ВС—касательные; DME—дуга, описанная из центра С между СА и СВ и касающаяся дуги АМВ. Найти отношение между площадями секторов CDME и ОАМВ.

53. Из концов дуги АСВ проведены касательные до пересечения в точке D. Определить площадь DACB, заключённую между двумя касательными и дугой, если радиус равен R, а дуга содержит: 1) 90°; 2) 120°; 3) 60°.

54. Из центра равностороннего треугольника описана окружность, пересекающая его стороны так, что внешние дуги содержат по 90°. Обозначая сторону этого треугольника через а, определить площадь, ограниченную внутренними дугами и средними отрезками сторон.

55. 1) Во сколько раз увеличится площадь круга, если диаметр его увеличить в 3 раза? Во сколько раз площадь уменьшится, если радиус уменьшить в 5 раз?

2) Во сколько раз надо уменьшить радиус круга, чтобы площадь уменьшилась в 4 раза? Во сколько раз надо увеличить диаметр круга, чтобы площадь увеличилась в 5 раз?

56. Можно ли водопроводную трубу диаметром в 50 мм заменить двумя трубами диаметром в 25 мм каждая? Одинакова ли площадь сечения одной большой трубы и двух малых?

57. Вычислить площадь заштрихованной части прямоугольника, данного
на чертеже 32.

Черт. 32.

58. Определить площадь фигур, заштрихованных на чертежах 33 — 36, по данным размерам.

Черт. 33 Черт.34

Черт.35 Черт.36

59. Два равных полукруга наложены так, что диаметры их параллельны, а полуокружность одного проходит через центр другого. Определить площадь общей части полукругов по данному их радиусу R.

60. На каждой стороне квадрата, принятой за диаметр, описана полуокружность, лежащая внутри квадрата. Определить площадь полученной розетки, если стороны квадрата равны а.

61. На сторонах ромба описаны, как на диаметрах, полуокружности, обращенные внутрь. Диагонали ромба равны а и b. Определить площадь полученной розетки.

62. Диаметр разделён на равные части, из обоих его концов проведены полуокружности во все точки деления, причём из одного конца все полуокружности сверху, а из другого все снизу. Доказать, что полученными изогнутыми линиями круг разделился на части равной величины, а периметр каждой части равен длине окружности.

63. В равностороннем треугольнике проведены дуги между каждыми двумя вершинами через центр треугольника (черт. 37). Сторона треугольника равна а. Определить площадь полученной розетки.

Черт. 37 Черт. 38

64. Между точками А и В проведены две дуги, обращенные выпуклостью в одну сторону: дуга АМВ содержит 240° и дуга ANB 120°. Расстояние между серединами этих, дуг равно а. Определить площадь луночки (черт. 38).

65. АВ и CD— два взаимно перпендикулярных диаметра. Из точки D, как из центра, радиусом DA описанa дуга АМВ. Доказать, что луночка АМВС равновелика треугольнику ABD.

66. Из точки С данной полуокружности опущен перпендикуляр CD на диаметр АВ, и на отрезках AD и DB построены новые полуокружности по одну сторону с данной. Доказать, что площадь, заключённая между тремя полуокружностями, pавна площади круга с диаметром CD.

67. Вычислить площадь фигуры, заштрихованной на чертеже 39. Размеры даны в миллиметрах.

Черт. 39

68. Вычислить площадь сечения, изображённого на чертеже 40. Размеры даны в миллиметрах.

Черт. 40 Черт. 41

69. Определить площадь поперечного сечения фасонного железа, изображённого на чертеже 41.

70. Две параллельные хорды равны 15 м и 40 м, а расстояние между ними 39 м. Определить площадь круга.

71. Определить радиус круга, вписанного в данный сектор, если радиус сектора равен R, а дуга содержит α градусов [α равно: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°].

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →