Единичная сфера что значит
Единичная сфера
Сфе́ра (др.-греч. σφαῖρα «мяч, шар [1] ») — геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).
Расстояние от точки сферы до её центра называется радиусом сферы. Сфера радиуса 1 называется единичной сферой.
Содержание
Свойства [ | ]
Сфера является поверхностью вращения, образованной при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252,96 кв. градусов.
Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара. Сфера имеет наименьшую площадь из всех поверхностей, ограничивающих данный объём, также из всех поверхностей с данной площадью сфера ограничивает наибольший объём. Поэтому тела сферической формы встречаются в природе, например, маленькие капли воды при свободном падении приобретают сферическую форму именно из-за минимизации площади поверхности силой поверхностного натяжения.
Значение в естествознании [ | ]
Сфера в трёхмерном пространстве [ | ]
Координаты сферы, проходящей через заданные точки [ | ]
x 0 = 1 2 ⋅ A x − B x + C x − D x U + V + W <\displaystyle x_<0>=<\frac <1><2>>\cdot <\frac 
y 0 = 1 2 ⋅ A y − B y + C y − D y U + V + W <\displaystyle y_<0>=<\frac <1><2>>\cdot <\frac z 0 = 1 2 ⋅ A z − B z + C z − D z U + V + W <\displaystyle z_<0>=<\frac <1><2>>\cdot <\frac
U = ( z 1 − z 2 ) ( x 3 y 4 − x 4 y 3 ) − ( z 2 − z 3 ) ( x 4 y 1 − x 1 y 4 ) <\displaystyle U=(z_<1>-z_<2>)(x_<3>y_<4>-x_<4>y_<3>)-(z_<2>-z_<3>)(x_<4>y_<1>-x_<1>y_<4>)> V = ( z 3 − z 4 ) ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) − ( z 4 − z 1 ) ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) <\displaystyle V=(z_<3>-z_<4>)(x_<1>y_<2>-x_<2>y_<1>)-(z_<4>-z_<1>)(x_<2>y_<3>-x_<3>y_<2>)> W = ( z 1 − z 3 ) ( x 4 y 2 − x 2 y 4 ) − ( z 2 − z 4 ) ( x 1 y 3 − x 3 y 1 ) <\displaystyle W=(z_<1>-z_<3>)(x_<4>y_<2>-x_<2>y_<4>)-(z_<2>-z_<4>)(x_<1>y_<3>-x_<3>y_<1>)> A x = ( x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ) [ y 2 ( z 3 − z 4 ) + y 3 ( z 4 − z 2 ) + y 4 ( z 2 − z 3 ) ] <\displaystyle A_B x = ( x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 ) [ y 3 ( z 4 − z 1 ) + y 4 ( z 1 − z 3 ) + y 1 ( z 3 − z 4 ) ] <\displaystyle B_C x = ( x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 ) [ y 4 ( z 1 − z 2 ) + y 1 ( z 2 − z 4 ) + y 2 ( z 4 − z 1 ) ] <\displaystyle C_D x = ( x 4 2 + y 4 2 + z 4 2 ) [ y 1 ( z 2 − z 3 ) + y 2 ( z 3 − z 1 ) + y 3 ( z 1 − z 2 ) ] <\displaystyle D_A y = ( x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ) [ z 2 ( x 3 − x 4 ) + z 3 ( x 4 − x 2 ) + z 4 ( x 2 − x 3 ) ] <\displaystyle A_B y = ( x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 ) [ z 3 ( x 4 − x 1 ) + z 4 ( x 1 − x 3 ) + z 1 ( x 3 − x 4 ) ] <\displaystyle B_C y = ( x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 ) [ z 4 ( x 1 − x 2 ) + z 1 ( x 2 − x 4 ) + z 2 ( x 4 − x 1 ) ] <\displaystyle C_D y = ( x 4 2 + y 4 2 + z 4 2 ) [ z 1 ( x 2 − x 3 ) + z 2 ( x 3 − x 1 ) + z 3 ( x 1 − x 2 ) ] <\displaystyle D_A z = ( x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ) [ x 2 ( y 3 − y 4 ) + x 3 ( y 4 − y 2 ) + x 4 ( y 2 − y 3 ) ] <\displaystyle A_B z = ( x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 ) [ x 3 ( y 4 − y 1 ) + x 4 ( y 1 − y 3 ) + x 1 ( y 3 − y 4 ) ] <\displaystyle B_C z = ( x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 ) [ x 4 ( y 1 − y 2 ) + x 1 ( y 2 − y 4 ) + x 2 ( y 4 − y 1 ) ] <\displaystyle C_D z = ( x 4 2 + y 4 2 + z 4 2 ) [ x 1 ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y 1 ) + x 3 ( y 1 − y 2 ) ] <\displaystyle D_
Радиус данной сферы:
R = ( x 1 − x 0 ) 2 + ( y 1 − y 0 ) 2 + ( z 1 − z 0 ) 2 <\displaystyle R=<\sqrt <(x_<1>-x_<0>)^<2>+(y_<1>-y_<0>)^<2>+(z_<1>-z_<0>)^<2>>>>
Основные геометрические формулы [ | ]
Геометрия на сфере [ | ]
Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.
Расстояние между двумя точками на сфере [ | ]
Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:
В этом случае θ 1 <\displaystyle \theta _<1>> и θ 2 <\displaystyle \theta _<2>> называются широтами, а ϕ 1 <\displaystyle \phi _<1>> и ϕ 2 <\displaystyle \phi _<2>> долготами.
n-мерная сфера [ | ]
В общем случае уравнение (n−1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:
Пересечением двух n-мерных сфер является (n−1)-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.
В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.
n-мерная инверсия переводит (n−1)-мерную сферу в (n−1)-мерную сферу или гиперплоскость.
С трёхмерной сферой связана одна из задач тысячелетия — гипотеза Пуанкаре, в которой утверждается, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно такой сфере. Эта гипотеза была доказана Г. Я. Перельманом в начале 2000-х годов на основе результатов Ричарда Гамильтона.
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Единичная сфера
Единичная сфера 5 в пространстве / дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. [2]
Единичная сфера 5 в пространстве / 2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. [3]
Если единичная сфера задана в определенном параметрическом представлении, то существует прямолинейная конгруэнция такая, что ее развертывающиеся поверхности имеют параметрические линии на сфере своими сферическими отображениями и пересекают другую подходящую поверхность по сети Чебышева. Как показано в статье [265], эта задача имеет решение. [4]
На единичной сфере в L отображение / ь / ( /) является непрерывной функцией. Так как эта сфера ограничена и замкнута, эта функция ограничена и, более того, верхняя грань ее значений достигается. [6]
На единичной сфере из введем новые сферические координаты такие, что точка М ( 9 у) является полюсом. [7]
Для точек вне единичной сферы мы получим уже другое разложение. [8]
Обозначим эту единичную сферу через SIK. [9]
А отображает единичную сферу пространства Е в слабо компактное множество в Е, то этим же свойством обладает и сопряженный оператор. [10]
Доказать, что единичная сфера в IP ( р1) сильно замкнута. [13]
Шмульян [2], единичная сфера сякого рефлективного пространства слабо компактна. [14]
В каких точках единичной сферы ( х х) 1 форма q достигает максимума или минимума. Более общо: в каких точках единичной сферы форма q принимает стационарное значение, т.е. все ее производные в этих точках по любому направлению равны нулю. [15]
СОДЕРЖАНИЕ
Уравнения в трехмерном пространстве
Сфера любого радиуса с центром в нуле является интегральной поверхностью следующей дифференциальной формы :
Закрытый том
При любом заданном x дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поперечного сечения диска в точке x на его толщину ( δx ):
В пределе, когда δx приближается к нулю, это уравнение принимает вид:
Использование этой замены дает
которые можно оценить, чтобы дать результат
Альтернативная формула находится с использованием сферических координат с элементом объема
Площадь поверхности
Площадь поверхности сферы радиуса r равна:
При любом заданном радиусе r дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поверхности радиуса r ( A ( r ) ) на толщину оболочки ( δr ):
В пределе, когда δr приближается к нулю, это уравнение принимает вид:
Дифференцируя обе части этого уравнения по r, получаем A как функцию от r :
Обычно это сокращается как:
где r теперь считается фиксированным радиусом сферы.
Таким образом, общая площадь может быть получена путем интегрирования :
Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех поверхностей, которые охватывают данный объем, и она включает в себя наибольший объем среди всех закрытых поверхностей с данной площадью поверхности. Таким образом, сфера появляется в природе: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, потому что поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.
Площадь поверхности относительно массы шара называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как
Геометрические свойства
Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этого круга.
Карандаш сфер
Терминология
Плоские секции
Отрасли геометрии
Неевклидово расстояние
Сферическая геометрия имеет много свойств, аналогичных евклидовой, когда-то снабженной этим « расстоянием по дуге большого круга ».
Дифференциальная геометрия
Проективная геометрия
География
Поляки, долгота и широта
Топология
Сферическая геометрия
Кривые на сфере
Круги
Локсодромия
Клелия кривые
Сферические коники
Многие теоремы, касающиеся плоских конических сечений, распространяются и на сферические коники.
Пересечение сферы с более общей поверхностью
Если сфера пересекается другой поверхностью, могут быть более сложные сферические кривые.
Одиннадцать свойств сферы
Локус постоянной суммы
Обобщения
Размерность
Другое выражение для площади поверхности:
Метрические пространства
Галерея
Колода игральных карт с изображением инженерных инструментов, Англия, 1702 год. Пиковый король : Сферы.
А сфера (из Греческий σφαῖρα — Sphaira, «глобус, мяч» [1] ) это геометрический объект в трехмерное пространство это поверхность мяч (то есть аналогично круглым объектам в двух измерениях, где «круг»ограничивает «диск»).
Как круг в двумерном пространстве, сфера математически определяется как набор точек все на одинаковом расстоянии р из заданной точки в трехмерном пространстве. [2] Это расстояние р это радиус мяча, составленного из всех точек с расстоянием меньше (или, для закрытого мяча, меньше чем или равно) р из данной точки, которая является центр математического мяча. Их также называют радиусом и центром сферы соответственно. Самый длинный отрезок прямой через шар, соединяющий две точки сферы, проходит через центр, и его длина, таким образом, в два раза больше радиуса; это диаметр как сферы, так и ее шара.
Вне математики термины «сфера» и «шар» иногда используются как синонимы, в математика указанное выше различие проводится между сфера, который является двумерным закрытая поверхность встроенный в трехмерном Евклидово пространство, а мяч, который представляет собой трехмерную фигуру, которая включает в себя сферу и все внутри сфера (a закрытый мяч), а чаще просто точки внутри, но не на сфера (an открытый мяч). Различие между мяч и сфера не всегда поддерживается, и особенно старые математические ссылки говорят о сфере как о твердом теле. Это аналогично ситуации в самолет, где также можно путать термины «круг» и «диск».
Содержание
Уравнения в трехмерном пространстве
Позволять а, б, в, г, д быть реальными числами с а ≠ 0 и положи
Сфера любого радиуса с центром в нуле является интегральной поверхностью следующих дифференциальная форма:
Закрытый том
В трех измерениях объем внутри сферы (т. е. объем мяч, но классически называемый объемом сферы)
В пределе как δx приближается к нулю, [8] это уравнение становится:
Использование этой замены дает
которые можно оценить, чтобы дать результат
Альтернативная формула находится с использованием сферические координаты, с элемент объема
Площадь поверхности
В площадь поверхности сферы радиуса р является:
В пределе как δr приближается к нулю [8] это уравнение становится:
Дифференцируя обе части этого уравнения по р дает А как функция р :
Обычно это сокращается как:
куда р теперь считается фиксированным радиусом сферы.
Таким образом, общая площадь может быть получена интеграция:
Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех поверхностей, которые охватывают данный объем, и включает в себя наибольший объем среди всех закрытых поверхностей с данной площадью поверхности. [11] Таким образом, сфера появляется в природе: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, потому что поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.
Площадь поверхности относительно массы шара называется удельная поверхность и может быть выражено из приведенных выше уравнений как
куда ρ это плотность (отношение массы к объему).
Кривые на сфере
Круги
В случае круга его можно описать параметрическое уравнение Икс → = ( е → 0 + е → 1 потому что т + е → 2 грех т ) Т : см. плоский разрез эллипсоид.
Но более сложные поверхности могут также пересекать сферу по кругу:
На схеме показан случай, когда точка пересечения цилиндра и сферы состоит из двух окружностей. Если бы радиус цилиндра был равен радиусу сферы, пересечение было бы одним кругом, где обе поверхности касаются друг друга.
В случае сфероида с тем же центром и большой осью, что и сфера, пересечение будет состоять из двух точек (вершин), где поверхности касаются друг друга.
Клелия кривые
Если сфера описывается параметрическим представлением
один получает Клелия кривые, если углы связаны уравнением
Локсодромия
Пересечение сферы с более общей поверхностью
Если сфера пересекается другой поверхностью, могут быть более сложные сферические кривые.
(видеть неявная кривая и диаграмма)
Геометрические свойства
Сфера однозначно определяется четырьмя точками, которые не являются копланарный. В более общем плане сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание к плоскости и т. Д. [12] Это свойство аналогично тому, что три неколлинеарный точки определяют уникальный круг на плоскости.
Следовательно, сфера однозначно определяется окружностью (то есть проходит через нее) и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.
Изучив общие решения уравнений двух сфер, можно видеть, что две сферы пересекаются по кругу, и плоскость, содержащая этот круг, называется радикальный самолет пересекающихся сфер. [13] Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, круг может быть воображаемым (у сфер нет общей реальной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке). [14]
Угол между двумя сферами в реальной точке пересечения равен двугранный угол определяется касательными плоскостями к сферам в этой точке. Две сферы пересекаются под одним и тем же углом во всех точках их круга пересечения. [15] Они пересекаются под прямым углом (являются ортогональный) тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов. [3]
Карандаш из сфер
Если ж(Икс, у, z) = 0 и грамм(Икс, у, z) = 0 являются уравнениями двух различных сфер, то
Терминология
Плоские секции
Любая плоскость, которая включает центр сферы, делит ее на две равные части. полушария. Любые две пересекающиеся плоскости, которые включают центр сферы, делят сферу на четыре части. люны или двуугольников, вершины которых совпадают с противоположные точки лежащий на линии пересечения плоскостей.
Отрасли геометрии
Неевклидово расстояние
Любая пара точек на сфере, лежащих на прямой, проходящей через центр сферы (т.е. диаметр), называется противоположные точки— на сфере расстояние между ними ровно половину длины окружности. [заметка 2] Любая другая (т. Е. Не антиподальная) пара различных точек на сфере
Дифференциальная геометрия
И многое другое абстрактное обобщение геометрии также использует ту же концепцию расстояния в Риманов круг.
Полушарие предполагаемый быть оптимальным (с наименьшей площадью) изометрическим заполнением Риманов круг.
Проективная геометрия
География
Термины, заимствованные непосредственно из географии земной шар, несмотря на сфероидальный форма, имеющая большее или меньшее отклонение от идеальной сферы (см. геоид), широко понятны. В геометрии, не связанной с астрономическими телами, геоцентрическая терминология должна использоваться только для иллюстрации и отметил как таковой, если нет возможности недопонимания.
Поляки, долгота и широта
Если определенная точка на сфере (произвольно) обозначена как ее Северный полюс, его антиподальная точка называется Южный полюс. Большой круг, равноотстоящий друг от друга, будет экватор. Большие круги, проходящие через полюса, называются линиями долгота (или же меридианы). Линия не на сфере но через его центр, соединяющий два полюса май называться ось вращения. Окружности на сфере, параллельные экватору (т. Е. Не большие круги), являются линиями широта.
Обобщения
Размерность
Сферы для п > 2 иногда называют гиперсферы.
Другое выражение для площади поверхности:
Метрические пространства
В отличие от мяч, даже большая сфера может быть пустым множеством. Например, в Z п с Евклидова метрика, сфера радиуса р непусто, только если р 2 можно записать как сумму п квадраты целые числа.
Топология
Примечательно, что обычный шар можно вывернуть наизнанку. трехмерное пространство с возможными самопересечениями, но без образования складок, в процессе, называемом выворот сферы.
Сферическая геометрия
Многие теоремы из классическая геометрия верно и для сферической геометрии, но не для всех, потому что сфера не удовлетворяет некоторым требованиям классической геометрии. постулаты, в том числе параллельный постулат. В сферическая тригонометрия, углы определены между большими кругами. Сферическая тригонометрия отличается от обычной тригонометрия во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферический треугольник всегда превышает 180 градусов. Также любые два похожий сферические треугольники конгруэнтны.
Одиннадцать свойств сферы
В их книге Геометрия и воображение [17] Дэвид Гильберт и Стефан Кон-Фоссен опишите одиннадцать свойств сферы и обсудите, определяют ли эти свойства однозначно сферу. Для самолет, который можно представить как сферу бесконечного радиуса. Эти свойства:
Галерея
Изображение одной из самых точных сфер, созданных руками человека, поскольку оно преломляет образ Эйнштейн на заднем фоне. Эта сфера была плавленый кварц гироскоп для Гравитационный зонд B эксперимента, и отличается по форме от идеальной сферы не более чем на 40 атомов (менее 10 нм) толщины. 1 июля 2008 г. было объявлено, что Австралийский ученые создали еще более почти идеальные сферы с точностью до 0,3 нм, в рамках международной охоты за новым мировым стандартом килограмм. [18]