Если неправильная дробь что нужно делать

Изучение основных правил умножения: как из неправильной дроби сделать правильную

Огромный блок математики посвящен работе с дробями или нецелыми числами. С ними очень часто встречаются и в жизни, поэтому знать, как работать с такими цифрами важно для любого человека. Математика – это наука, в которой ученик начинает с познания простых вещей и действий, а затем переходит к более сложным….

Знание и умение работать с подобными цифрами облегчит ему в дальнейшем работу с логарифмами, рациональными показателями и интегралами. С такими числами можно делать все то же самое, что и с обыкновенными: складывать дроби, делить, вычитать и умножать. Кроме этого, их можно сокращать. Работать с дробями просто, главное – это знать основные правила и методы их вычисления.

Основные понятия

Для того, чтобы понять, что это за значение такое, необходимо представить некий целый предмет. Допустим, что есть торт, который порезали на несколько одинаковых или равных кусков. Каждый кусочек будет называться долей.

Важно! В случае с дробями, есть некое целое число, которое состоит из равных долей – отдельных меньших чисел.

Например, 10 состоит из 5 двоек, каждая двойка – это часть от десяти.

Доли имеют свои названия, в зависимости от их общего количества в целом числе: 10 может состоять из двух пятёрок или пяти двоек, в первом случае она будет называться (одна вторая) , а во втором (одна пятая). Следует помнить, что равняется половине числа, (одна третья) трети, а (одна четвертая) – четвертью. Их могут также изображать через черточку: ½, 1/3 или 1/5.

Цифру, написанную сверху горизонтальной линии или слева от наклонной, называют числителем – он показывает сколько долей взяли у целого числа, а цифра под линии или справа от нее – знаменатель, он показывает на сколько всего долей разделили. Например, торт разделили на 10 кусков и сразу отложили два из них для опоздавших гостей. Это будет 2/10 (две десятых), т.е. взяли 2 (числитель) куска от общих 10 (знаменатель).

Дроби

Какие бывают доли, что такое неправильная дробь, что такое обыкновенная дробь? На эти вопросы легко ответить:

Смешанная цифра всегда может трансформироваться в неправильную дробь и наоборот.

Главное свойство гласит: при умножении, а также деления делимого и делителя на одинаковый множитель, в целом величина дроби не изменится. Это свойство делает возможным все операции с дробями.

Как из неправильной дроби сделать правильную

Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения

Как сократить?

Главное правило гласит, что долевую цифру можно сократить поделить ее числитель и знаменатель на одинаковый делитель (отличный от 0) так, чтобы получилась новая цифра с меньшими параметрами, но равная исходной по величине. Исходя из этого правила можно понять, что дроби бывают сократимые и несократимые.

Сокращать можно при умножении дробных выражений друг на друга: * . Сами по себе эти числа несократимые, но выполняя операцию умножения, можно сократить их по диагонали: * = = . Сокращать при умножении можно только крест-накрест: числитель первой со знаменателем второй, и наоборот.

Сокращать можно и смешанную цифру, т.е. целую часть и правильную дробь представить в виде неправильной. Для этого следует выполнить некоторые действия:

Справедливо и обратное действие: из неправильной дроби сделать смешанную. Для этого рассмотрим обратное действие с :

Таким способом сокращать дроби при любых операциях возможно. Можно сокращать значения ее делимого и делителя при умножении их на одинаковый множитель, и превращая из смешанного числа в долю, и наоборот.

Сокращение дробей

Возможные действия

Все основные виды вычислений доступны при счете долей, как и с целыми цифрами: сложение, вычитание и прочие. Рассмотрим каждое действие по отдельности с примерами:

Сложение и вычитание

Складывать доли можно двумя путями, в зависимости от их делителя. Они бывают одинаковыми и разными. Рассмотрим пример складывания долей с одинаковыми делителями.

Для решения + необходимо по отдельности сложить делимое долей, а делитель не трогать: 1+1. Результатом станет цифра , но поскольку она неправильная, то ее можно преобразовать в смешанную, разделив делимое на делитель: 2:2= 1. Неправильную долю всегда (!) следует приводить к правильной и несокращаемой, т. е. если ее делимое и делитель можно поделить на одинаковый множитель – это следует сделать в обязательно порядке.

В случае сложения долей с различными делителями, их необходимо изначально привести к одинаковому. Например, для решения : необходимо:

Вычитание осуществляется точно так же: в случае с одинаковыми делителями их не трогаем, а числители последовательно вычитаем: = = . Если же знаменатели различные, то следует поступить, как и при сложении: найти НОК, множители, умножить доли, а затем вычесть уже доли с одинаковыми делителями.

Сложение дробей

Умножение и деление

При умножении необходимо последовательно перемножить их верх и низ между собой: = поскольку есть возможность сокращения на 6. В случае деления все несколько сложнее.

Для деления следует:

Важно! Деление всегда можно заменить умножением, но только при соблюдении условия замены делителя на обратное ему число.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Выделение целой части из неправильной дроби

Чтобы правильно решать подобные примеры, следует запомнить главное свойство и правила сокращения. Что касается операций, то важно знать, как правильно складывать и умножать при одинаковых и разных знаменателях, поскольку делятся и вычитаются они по одинаковому принципу.

Источник

Неправильные дроби: как научиться решать с ними примеры?

Какие виды дробей существуют?

Для начала о том, что это такое. Дробь — число, которое имеет некоторую часть от единицы. Ее можно записать в двух видах. Первый носит название обыкновенной. То есть такая, у которой есть горизонтальная или наклонная черта. Она приравнивается к знаку деления.

В такой записи число, стоящее над черточкой, называется числителем, а под ней — знаменателем.

Среди обыкновенных выделяют правильные и неправильные дроби. У первых числитель по модулю всегда меньше знаменателя. Неправильные потому так и называются, что у них все наоборот. Значение правильной дроби всегда меньше единицы. В то время как неправильная всегда больше этого числа.

Есть еще смешанные числа, то есть такие у которых имеются целая и дробная части.

Второй вид записи — десятичная дробь. О ней отдельный разговор.

Чем отличаются неправильные дроби от смешанных чисел?

По своей сути, ничем. Это просто разная запись одного и того же числа. Неправильные дроби после несложных действий легко становятся смешанными числами. И наоборот.

Смешанное число еще сравнивают с суммой целой части и дробной. Причем вторая всегда меньше единицы.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?

Если требуется выполнить какое-либо действие с несколькими числами, которые записаны в разных видах, то нужно сделать их одинаковыми. Один из методов — представить числа в виде неправильных дробей.

Для этой цели потребуется выполнить действия по такому алгоритму:

Вот примеры того, как записать неправильные дроби из смешанных чисел:

Как записать неправильную дробь в виде смешанного числа?

Следующий прием противоположен рассмотренному выше. То есть когда все смешанные числа заменяются на неправильные дроби. Алгоритм действий будет таким:

Примеры такого преобразования:

76/14; 76:14 = 5 с остатком 6; ответом будет 5 целых и 6/14; дробную часть в этом примере нужно сократить на 2, получится 3/7; итоговый ответ — 5 целых 3/7.

108/54; после деления получается частное 2 без остатка; это значит, что не все неправильные дроби удается представить в виде смешанного числа; ответом будет целое — 2.

Как целое число превратить в неправильную дробь?

Бывают ситуации, когда необходимо и такое действие. Чтобы получить неправильные дроби с заранее известным знаменателем, потребуется выполнить такой алгоритм:

Самый простой вариант, когда знаменатель равен единице. Тогда ничего умножать не нужно. Достаточно просто написать целое число, которое дано в примере, а под чертой расположить единицу.

Пример: 5 сделать неправильной дробью со знаменателем 3. После умножения 5 на 3 получается 15. Это число будет знаменателем. Ответ задания дробь: 15/3.

Два подхода к решению заданий с разными числами

В примере требуется вычислить сумму и разность, а также произведение и частное двух чисел: 2 целых 3/5 и 14/11.

В первом подходе смешанное число будет представлено в виде неправильной дроби.

После выполнения действий, описанных выше, получится такое значение: 13/5.

Для того чтобы узнать сумму, нужно привести дроби к одинаковому знаменателю. 13/5 после умножения на 11 станет 143/55. А 14/11 после умножения на 5 примет вид: 70/55. Для вычисления суммы нужно только сложить числители: 143 и 70, а потом записать ответ с одним знаменателем. 213/55 — эта неправильная дробь ответ задачи.

При умножении 13/5 и 14/11 не нужно приводить к общему знаменателю. Достаточно перемножить попарно числители и знаменатели. Получится ответ: 182/55.

Так же и при делении. Для правильного решения нужно заменить деление на умножение и перевернуть делитель: 13/5 : 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.

Во втором подходе неправильная дробь обращается в смешанное число.

После выполнения действий алгоритма 14/11 обратится в смешанное число с целой частью 1 и дробной 3/11.

Во время вычисления суммы нужно сложить целые и дробные части по отдельности. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Итоговый ответ получается 3 целых 48/55. В первом подходе была дробь 213/55. Проверить правильность можно, переведя его в смешанное число. После деления 213 на 55 получается частное 3 и остаток 48. Нетрудно заметить, что ответ правильный.

Для нахождения произведения и частного пользоваться смешанными числами неудобно. Здесь всегда рекомендуется переходить к неправильным дробям.

Источник

Общие сведения

Знакомить с дробями начинают в начальной школе. Чтобы ребёнок смог непросто заучить, а понять, что обозначает этот термин, применяют наглядный пример. В качестве его лучше использовать какое-либо круглое тело.

Пусть есть торт. Он один, поэтому представляет собой некое целое. Его можно разрезать на несколько равных частей. Например, 8. Получается, что из чего-то общего возможно выделить части. Количественно каждый кусок будет занимать 1/8 от пирога. Аналогично можно рассмотреть отрезок длиной 10 см. Каждый его 1 см будет составлять от целой длины 1/10.

Из 8 отрезанных кусочков 3 съели. На блюде осталось 5 одинаковых частей. По-другому их называют долями. Это изменение количества в математике произносят, как пять восьмых, то есть из целого после какого-то действия осталась определённая часть.

Записывать такое отношение принято в виде двух чисел, разделённых чертой. Называется она дробной и обозначает деление. Для примера с тортом выражение будет выглядеть как 1/8 и 5/8. Верхняя часть называется числитель и обозначает делимое, а нижняя — знаменатель, то есть делитель. Другими словами, первое число показывает, сколько частей взято, а нижнее, на какое число долей было разделено целое.

Такая дробь считается обыкновенной. Она может быть двух видов:

Кроме обыкновенной дроби, выделяют ещё 2 типа выражений — десятичные и смешанные. Если первое есть не что иное, как запись рациональной дроби со знаменателем кратным десяти, то второе — число, состоящее из целой части и правильного выражения. Например, 3 8/9.

Понимается эта запись как сумма целого числа и дробного. То есть 3 + 8/9. Если выполнить операцию сложения, в ответе получится дробь, у которой числитель больше знаменателя. Любое смешанное выражение можно преобразовать в неправильное. Это утверждение справедливо и для обратного превращения. Например, запись 47/8 будет тождественной выражению 5 7/8.

Необходимость преобразования

С дробными числами можно выполнять различного вида математические действия: складывать, вычитать, перемножать и делить, возводить в степень и логарифмировать. Но при этом существует негласное правило, согласно которому все операции нужно выполнять только после приведения выражений к одному типу. Конечно, сложить или разделить смешанную дробь на неправильную возможно, но алгоритм действий будет нерациональным, что приведёт к появлению ошибок при вычислении.

Преобразовывать можно любую дробь. Из десятичной легко сделать правильную: 0,5 = 5/10. Из смешанной неправильную — 1 2/5 = 7 / 5. Эти операции выполняются и в обратную сторону. Единственным исключением является задача сделать из неправильной дроби правильную.

Запись, у которой делимое меньше делителя, нельзя представить как число с числителем меньше знаменателя. Но здесь на помощь и приходит смешанное выражение, то есть чтобы из неправильной дроби сделать правильную, нужно из первого числа выделить целую часть. В итоге получится выражение, состоящее из суммы двух чисел: неделимого и правильного.

Следует отметить ещё один важный момент. Перед тем как переводить дробь в неправильную или любую другую, нужно попробовать выполнить ряд упрощений. Это позволит в дальнейшем сложные вычисления заменить простыми. Выполнять упрощение возможно, основываясь на свойствах дробей:

Эти правила называют основным свойством дробного числа или операцией сокращения. Например, 18/6 = 3/1 = 3. Числитель и знаменатель был разделён на 3. Тот же результат будет получен, если делитель и делимое помножить на любое число: 18/6 = 18*2 /6*2 = 36 / 12 = 3. Действительно, правильность утверждения можно доказать простым анализом.

Пусть есть равенство: a/b = z. Нужно доказать, что a*n/b*n = z. Так как черта обозначает деление, используя связь между ним и умножением, исходное выражение можно переписать: a = b*n. Согласно свойствам числовых неравенств, обе части разрешается умножить на число, отличное от нуля. Тогда a*n = (b*z)*n. В соответствии с переместительным законом n и z можно поменять местами: a*n = (b*n)*z. Отсюда: z = a*n/(b*n). Что и нужно было доказать.

Алгоритм превращения

Переводить неправильную дробь в правильную или выполнять обратную операцию просто, если следовать алгоритму. Так как сделать это напрямую нельзя, то фактически получится преобразование в запись, содержащую целую и дробную часть.

Превратить неправильное выражение в смешанное можно по следующему алгоритму:

Это упрощённый способ, быстро позволяющий выполнить перевод числа из одной формы в другую. Математическое равенство, описывающее это правило, будет выглядеть так: n a/b = ((n * b) + a)/b.

Чтобы преобразовать дробь по всем правилам, нужно сделать следующее. Так как смешанное отношение, по сути, является суммой целого и части, понадобится просто выполнить сложение. Для этого первое слагаемое представляют как неправильную дробь. Сделать это можно, разделив целое на единицу. Затем действуют по правилу сложения дробей, то есть находят общий знаменатель, дополнительные множители, выполняют складывание в числителе: n a/b = n/1 + a/b = ((n *b) + a)/b.

Из неправильной формы записи получить обычную дробь можно также через смешанную. Другими словами, представить выражение как сумму натурального числа и правильного отношения. Для этого необходимо выполнить 3 шага:

На самом деле выполнять деление числителя на знаменатель часто довольно сложно, поэтому поступают следующим образом. Делимое представляют в виде суммы дробей, но таким образом, чтобы деление одной из них можно было выполнить без остатка, то есть, m / n = (k + c) / n = k / n + c / n. Где целое число k / n, а c / n правильная дробь.

Нужно отметить, что некоторые выражения можно превращать в другую форму, не записывая поочерёдно действия, а выполняя все преобразования в уме. Но на начальном этапе рекомендуется весь процесс расписывать пошагово, пока не будет получен необходимый опыт. А только уже после переходить к переводу в уме.

Примеры решения

Несмотря на то что операция по превращению довольно простая, для её успешного применения необходим опыт, поэтому следует потренироваться не только в простом преобразовании, но и увидеть полезность действий на практике. Вот некоторые примеры, рассчитанные на учащихся четвёртых классов, рекомендуемые к самостоятельному решению:

В интернете существуют сервисы, позволяющие в автоматическом режиме выполнять перевод из одной формы записи в другую. Чтобы воспользоваться услугами таких онлайн-калькуляторов, необязательно знать принцип преобразования. Доступ к услугам не требует регистрации или введения каких-либо персональных данных. Нужно просто иметь гаджет с подключённым интернетом и любой веб-браузер. Всё, что требуется от пользователя — ввести в предлагаемую форму исходную дробь и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд на экран будет выведен ответ.

Кроме расчёта результата, многие такие математические сервисы дают возможность ознакомиться с подробным решением. Это хорошая возможность для учащихся закрепить полученные знания. Ведь можно не только проверить самостоятельное решение, но и понять, как получается тот или иной ответ. Причём на страницах сайтов содержится в кратком виде и теоретический материал с подробным описанием решения примеров.

Источник