Для изображения на рисунке прямой мы пользуемся линейкой, но мы изображаем не всю прямую, а только лишь её кусок. Так как прямая в нашем представлении простирается до бесконечности в обе стороны, то прямая есть бесконечна.
На рисунке представленном выше мы видим, что точки А и С расположены на прямой а. В таких случаях говорят, что точки А и С принадлежат прямой а. Либо говорят, что прямая проходит через точки А и С. При записи принадлежность точки к прямой обозначают специальным значком. А тот факт, что точка не принадлежит прямой, отмечают таким же значком, только зачеркнутым.
В нашем случае точки B и D не принадлежат прямой а.
Как уже отмечалось выше, на рисунке точки А и С принадлежат прямой а. Часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками называется отрезком. Другими словами, отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.
В нашем случае мы имеем отрезок АB. Точки А и B называются концами отрезка. Для того, чтобы обозначить отрезок указывают его концы, в нашем случае АB. Одним из основных свойств принадлежности точек и прямых является следующее свойство: через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что эти две прямые пересекаются. На рисунке прямые a и b пересекаются в точке A. Прямые а и с не пересекаются.
Любые две прямые имеют только одну общую точку либо не имеют общих точек. Если предположить обратное, что две прямые имеют две общих точки, тогда через них проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести лишь одну прямую.
Если взять произвольную прямую a, и отметим на ней некоторую точку О, то эта точка разобьет нашу прямую на две части. Каждая из которых будем лучом. Точка О будет принадлежать каждому из этих лучей. Точка О будет в данном случае началом этих двух лучей.
Луч обычно обозначают одной латинской буквой. На рисунке ниже представлен луч k.
На рисунке представлен луч ОС.
Еще одним способом обозначения луча, является указание начальной точки луча и прямой, которой этот луч принадлежит. Например, на рисунке ниже представлен луч Оk.
Иногда говорят, что луч исходит из точки О. Это значит, что точка О является началом луча. Лучи еще иногда называют полупрямыми.
Понятие и виды углов
Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух различных лучей, исходящих из одной точки. В данном случае, эти лучи называются сторонами угла. Точка, являющаяся началом лучей, называется вершиной угла. На рисунке вы можете увидеть угол с вершиной в точке О, и сторонами k и m.
На сторонах угла отмечены точки А и С. Этот угол можно обозначить как угол AOC. В середине обязательно должно стоять название точки, в которой находится вершина угла. Также существуют и другие обозначения, угол О или угол km. В геометрии вместо слова угол часто пишут специальный значок.
Развернутый и неразвернутый угол
Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. То есть одна сторона угла является продолжением другой стороны угла. На рисунке нижк представлен развернутый угол О.
Следует отметить, что любой угол, разделяет плоскость на две части. Если угол не является развернутым, то одна из частей называется внутренней областью угла, а другая внешней областью этого угла. На рисунке ниже представлен неразвернутый угол и отмечены внешняя и внутренняя области этого угла.
В случае с развернутым углом любую из двух частей, на которые он делит плоскость, можно считать внешней областью угла. Можно говорить о положении точки относительно угла. Точка может лежать вне угла (во внешней области), может находится на одной из его сторон, либо может лежать внутри угла (во внутренней области).
На рисунке ниже, точка А лежит вне угла О, точка B лежит на одной из сторон угла, а точка С лежит внутри угла.
Измерение углов
Для измерения углов существует прибор называемый транспортиром. Единицей измерения угла является градус. Следует отметить, что каждый угол имеет определенную градусную меру, которая больше нуля.
В зависимости от градусной меры углы делятся на несколько групп.
Если прямые имеют общую точку то говорят что прямые пересекаются
10 класс
Материалы к зачетной работе по теме «Основные понятия и аксиомы стереометрии.Параллельность прямых и плоскостей»
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
Аксиомы стереометрии и их следствия
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.
Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.
Некоторые следствия из аксиом
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.
Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема о параллельных прямых.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о трех прямых в пространстве.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b).
Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости
Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Взаимное расположение прямых в пространстве
Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.
Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)
Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)
Признак параллельности двух плоскостей
Свойства параллельных плоскостей
Вели α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Основные определения по разделу «Основные понятия. Свойства простейших геометрические фигур.»
Содержимое разработки
Прямая бесконечна. На рисунке изображается только ее часть, но мы представляем ее себе неограниченно продолженной в обе стороны.
Аксиома 1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома 2 Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Если две прямые имеют общую точку, то говорят что они пересекаются. Если две прямые не имеют общих точек, то говорят что они не пересекаются.
Прямая a пресекает прямую b в точке A. A – точка пересечения прямых a и b.
Точки A и B принадлежат прямой a. Тоска С не принадлежит прямой a. Соответственно точки С и B принадлежат прямой b. Тоска A не принадлежит прямой b. Так же говорят точки A и B лежат на прямой a, а точка С не лежит.
Прямую можно обозначить двумя точками лежащими на ней. Прямую с можно обозначить AB
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками, которые называются концами отрезка.
Точки прямой a, расположенные между точками A и B называются «отрезком AB». A и B – концы отрезка AB.
Аксиома 3 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
На прямой b три точки A, B и С. Точка В лежит между точками A и С или можно сказать, что точка В разделяет точки A и С. Иначе говоря, А и С лежат по разные стороны от точки B.
На прямой с точка X лежит между точками A и B, можно сказать X принадлежит отрезку AB. Точка Y не лежит между точками A и B, поэтому она не принадлежит отрезку AB.
Аксиома 4 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB. При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Два отрезка называются равными, если равны их длины.
Если взять на отрезке AB точку, пусть это будет точка С. То длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB. Это можно записать так AB = AC + CB
Обычно слово отрезок не пишут, а записывают название концов отрезков заключенными в квадратные скобки. Т.е. можно записать «отрезок AB» или [AB].
Полупрямая, луч.
Лучом или полупрямой называется часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от фиксированной точки этой прямой, и самой этой точки, называемой началом луча или начальной точкой полупрямой.
Разные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными полупрямыми. Полупрямые AC и AB называются дополнительными.
Аксиома На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
Перпендикулярные прямые
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая a пересекается с прямой b под прямым углом в точке A. Можно зависать используя значок перпендикулярности: a ⊥ b. Это читается так: прямая а перпендикулярна прямой b. Следует заметить, что смежный угол и вертикальный угол с прямым углом тоже прямые.
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Пусть b – данная прямая, а точка A принадлежит этой прямой. Возьмем некоторый луч b1 на прямой b с начальной точкой в A. Отложим от луча b1 угол (a1b1), равный 90°. По определению прямая содержащая луч a1 будет перпендикулярная прямой b. Допустим, существует другая прямая перпендикулярная прямой b и проходящая через точку A. Возьмем на этой прямой луч с1, исходящий из точки A и лежащий в той же полуплоскости, что и луч a1. Тогда ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Но согласно аксиоме 8, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 º. Следовательно, нельзя провести другую прямую перпендикулярную прямой b через точку A в заданную полуплоскость. Теорема доказана.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий одним из концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. AB – перпендикуляр к прямой a. Точка A – основание перпендикуляра.ммм
Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» – объемный, пространственный и «μετρεο» – измерять.
Плоскость
Представление о плоскости дает поверхность стола или стены, любая гладкая поверхность. Плоскость как геометрическую фигуру надо представлять себе как бесконечно неограниченную во все стороны поверхность.
Аксиомы стереометрии и их следствия
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.
Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.
Некоторые следствия из аксиом
Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.
Взаимное расположение прямых в пространстве
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Аксиомы стереометрии»
На прошлом уроке мы познакомились с разделом геометрии – cтереометрия. Мы сказали, что основными фигурами стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Мы вспомнили, как обозначаются точки, прямые, плоскости. Давайте еще раз повторим, что точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, прямые обозначаются строчными буквами латинского алфавита, плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита. Плоскость может изображаться разными способами, но чаще всего она изображается параллелограммом. Представление о плоскости дают нам ровные поверхности, например, лист бумаги или школьная доска.
Как правило, такие предметы имеют прямоугольную форму, но если посмотреть на эти предметы под углом и на большом расстоянии, то они покажутся нам параллелограммами. Поэтому чаще всего, плоскости изображают параллелограммами или просто в виде произвольной области.
Сразу оговоримся, что хоть плоскость и изображается параллелограммом, но она понимается неограниченной во все стороны.
Очевидно, что в любой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.
Например, на нашем рисунке изображена плоскость и несколько точек.
Легко заметить, что точки A и B лежат на плоскости α, а точки C, D, E – не лежат на этой плоскости. Математически это можно записать так:
Когда мы с вами начинали изучать планиметрию, мы начинали с аксиом планиметрии. Напомним, что аксиома – утверждение, не требующее доказательства. В аксиомах стереометрии выражаются основные свойства точек, прямых и плоскостей, которые касаются их взаимного расположения.
Прежде всего, давайте определим, сколько точек надо взять, чтобы плоскость задавалась однозначно. Если мы возьмем одну точку, то через нее можно провести не менее двух плоскостей, то есть одна точка не задает однозначно плоскость.
Возьмем две точки. Согласно аксиомам планиметрии, через две точки можно провести прямую и притом только одну, то есть две точки однозначно задают только прямую. Через эту прямую можно провести не менее двух плоскостей, то есть и две точки не задают однозначно плоскость.
Теперь давайте посмотрим на дверь. Она крепится к стене с помощью петель. И относительно петель поворачивается. Если петли обозначить точками и провести через них прямую, а полотно двери обозначить за плоскость, то получим, что плоскость поворачивается относительно прямой. Теперь давайте дверную ручку обозначим за точку, тогда получим, что прямая и одна точка задают плоскость, причем однозначно. То есть плоскость однозначно задается тремя точками. Об этом и говорит первая аксиома.
Итак, сформулируем первую аксиому. Для удобства аксиомы мы будем обозначать большой буквой А с нижним индексом, который будет обозначать номер аксиомы.
A1.Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Давайте теперь схематично изобразим эту аксиому. Отметим произвольные точки A, B, C, которые не лежат на одной прямой, и проведем плоскость α.
Тогда можно записать, что каждая из этих точек принадлежит плоскости α. Аксиома утверждает, что такая плоскость единственная.
Примером этой аксиомы может служить детский велосипед с тремя колесами. Если мы обозначим место соприкасания колес с дорожкой точкой, то получим три точки, которые задают плоскость дорожки. Благодаря этому трехколесный велосипед устойчиво стоит на дорожке.
Перейдем ко второй аксиоме.
A2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Тогда говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Схематически аксиому можно изобразить так. Изобразим точки Aи B и проведем через них прямую a и плоскость α.
Тогда можно записать, что если точки A и B принадлежат прямой a и плоскости α, то прямая a лежит в плоскости α. Записывается это так:
Давайте сразу определимся в каком случае какой символ принадлежности надо писать. Если речь идет о принадлежности точки чему-то, то пишем такой символ. Если мы говорим о принадлежности прямой чему-то, то тогда надо писать такой символ.
Вторую аксиому можно использовать для проверки ровности стола. Для этого надо взять линейку и приложить ее краем к поверхности стола, если поверхность стола ровная, то просветов между линейкой и столом не будет, а если поверхность стола не совсем ровная, то будут зазоры между линейкой и столом.
Из этой аксиомы следует:
Если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с плоскостью не более одной общей точки.
Покажем это на чертеже. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Перейдем к следующей аксиоме.
A3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Если плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.
Сделаем схематический рисунок этой аксиомы.
Пусть нам дана точка А и две плоскости, которые проходят через эту точку. Обозначим эти плоскости за α и β. Запишем, что если А принадлежит плоскостям α и β, то плоскости α и β пересекаются по прямой a.
Примеров этой аксиомы очень много. Например, обыкновенная открытка (здесь плоскостями будут части открытки, а линия сгиба – линией их пересечения) или стены в комнате (здесь сами стены будут плоскостями, а линия их соединения – линией их пересечения).
Вторая и третья аксиомы говорят о расположении прямых и плоскостей в пространстве. Кроме того, они выражают свойство не искривлённости прямой и плоскости. Две плоскости не могут располагаться как на рисунке, а прямая не может отклоняться от плоскости.
Отметим, что все аксиомы и утверждения планиметрии справедливы в стереометрии на каждой плоскости пространства.
Например, признаки равенства треугольников, которые мы изучали в планиметрии, справедливы и для треугольников, которые расположены в разных плоскостях.
Аналогично для треугольников, которые расположены в разных плоскостях, справедливы признаки подобия
Сейчас давайте рассмотрим обозначения, которые будут использоваться при решении задач и доказательстве теорем.
На чертеже видно, что точка А лежит на прямой a. ЗаписываетсяЧитается так: точка А принадлежит прямой a или другими словами, прямая aпроходит (или проведена) через точку А.
Точка B не принадлежит прямой А. Записывается Читается: точка B не принадлежит прямой a или, другими словами, прямая a не проходит (или не проведена) через точку B.
Теперь давайте запишем как располагаются точки А и B относительно плоскости α. Записывается это точно так же как и в случае точек и прямой a, но при прочтении слово прямой заменяется словом плоскости.
Теперь давайте посмотрим на расположение прямых и плоскости. Прямая a лежит в плоскости α. Записывается это так Читается: прямая aпринадлежит плоскости α или другими словами плоскость α проходит (проведена) через прямую a.
Прямая b не лежит в плоскости α. Записывается это так Читается: прямая b не принадлежит плоскости α или другими словами плоскость α не проходит (не проведена) через прямую b.
Теперь рассмотрим взаимное расположение прямыхa и b. Эти прямые пересекаются. Записывается это так Читается: прямая a пересекает прямую b в точке А.
Давайте построим еще одну плоскость β. Очевидно, что α и β пересекаются. Записывается это так Читается: плоскость альфа пересекает плоскость β по прямой c.
Выполним задание. Прочитать записи и сделать схематический рисунок.
В первом случае прочитать записи можно так: плоскость α проходит через точку А и прямую a, но точка А не принадлежит прямой a.
Сделаем схематичный рисунок. Изобразим плоскость α и отметим на ней прямую a и точку А так, чтобы точка А не лежала на прямой a.
Во втором случае прочитать записи можно так: прямая a пересекает плоскость α в точке А, прямая b пересекает плоскость α в точке В.
Сделаем схематичный рисунок. Изобразим плоскость альфа и проведем прямые a и b так, чтобы они пересекали плоскость α соответственно в точках А и B.
Мы знаем, что помимо строчных букв латинского алфавита прямые могут обозначаться двумя заглавными буквами, которые соответствуют точкам, лежащим на прямой. Аналогично и плоскости могут называться тремя заглавными буквами латинского алфавита, которые соответствуют точкам, которые задают плоскость. Например, плоскость на рисунке можно назвать плоскость альфа или плоскость ABC.
Решим еще одну задачу.
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы сформулировали основные аксиомы стереометрии. Показали, как записываются и читаются некоторые математические символы.
. Если мы говорим о принадлежности прямой чему-то, то тогда надо писать такой символ
.
Читается так: точка А принадлежит прямой a или другими словами, прямая aпроходит (или проведена) через точку А.
Читается: точка B не принадлежит прямой a или, другими словами, прямая a не проходит (или не проведена) через точку B.
Читается: прямая aпринадлежит плоскости α или другими словами плоскость α проходит (проведена) через прямую a.
Читается: прямая b не принадлежит плоскости α или другими словами плоскость α не проходит (не проведена) через прямую b.
Читается: прямая a пересекает прямую b в точке А.
Читается: плоскость альфа пересекает плоскость β по прямой c.
