Если разделить отрицательное число на отрицательное что получится
Деление чисел с разными знаками, правило, примеры.
В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками. Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.
Навигация по странице.
Правило деления чисел с разными знаками
В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками. Его можно распространить и на рациональные числа, и на действительные числа, повторив все рассуждения из указанной статьи.
Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.
Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.
Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.
Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.
Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.
Это же правило используется при делении отрицательных чисел.
Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.
Примеры деления чисел с разными знаками
Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками, чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.
.
При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.
.
В заключение стоит отметить, что если делимое и (или) делитель является иррациональным числом, записанным как корень, степень, логарифм и т.п., то частное часто записывается в виде числового выражения. Выражение по возможности упрощается, а его значение вычисляется приближенно с требуемой точностью только при необходимости.
Разделите положительное число 5/7 на отрицательное число 
.
.
Смотрите также материал статьи деление действительных чисел.
Деление отрицательных чисел, правило, примеры.
В центре внимания этой статьи находится деление отрицательных чисел. Сначала дано правило деления отрицательного числа на отрицательное, приведено его обоснования, а после этого приведены примеры деления отрицательных чисел с подробным описанием решений.
Навигация по странице.
Правило деления отрицательных чисел
Правило деления отрицательных чисел следующее: частное от деления одного отрицательного числа на другое равно частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя.
Очевидно, что данное правило сводит деление отрицательных чисел к делению положительных чисел (модулей делимого и делителя), следовательно, результатом деления отрицательного числа на отрицательное число будет положительное число.
Сразу отметим, что это правило также можно применять при делении чисел с разными знаками.
А это правило позволяет от деления отрицательных чисел перейти к умножению.
Осталось рассмотреть применение рассмотренных правил деления отрицательных чисел при решении примеров.
Примеры деления отрицательных чисел
Разберем примеры деления отрицательных чисел. Начнем с простых случаев, на которых отработаем применение правила деления.
(−18):(−3)=6 и 
.
При делении дробных рациональных чисел удобнее всего работать с обыкновенными дробями. Но, если удобно, то можно делить и конечные десятичные дроби.
Разберем оба подхода.
А теперь покажем, как бы выглядело решение, если бы мы решили осуществить перевод десятичных дробей в обыкновенные. Так как 
и 
, то 
, и выполняем деление обыкновенных дробей: 
.
Полученные результаты 0,016 и 
есть одно и то же число, но в разных формах записи. Действительно, 
, а дробь 
делением числителя и знаменателя на 4 сокращается до .
Также стоит сказать, что если делимое и (или) делитель является иррациональным числом, заданным как корень, степень, логарифм, синус и т.п., то результат деления часто записывается в виде числового выражения. А значение этого выражения вычисляется лишь в случае надобности.
Разделите отрицательное число −0,5 на отрицательное число 
.
.
Рекомендуем продолжить изучение темы материалом статьи деление действительных чисел.
Остаток от деления отрицательных чисел
В этой статье я расскажу о том, как правильно находить остаток от деления отрицательных чисел. Этой теме, к сожалению, уделяется очень мало внимания в школе, хотя для понимания учеником базовых основ математики она чрезвычайно важна. Именно поэтому, как репетитор по математике, на своих занятиях я разбираю это материал с учениками во всех подробностях. Это значительно упрощает дальнейшую подготовку к ЕГЭ, ОГЭ, вступительным экзаменам и олимпиадам по математике.
Итак, приступим. Чтобы разделить друг на друга два целых числа с остатком, нужно воспользоваться следующей теоремой:
Для любых целых чисел  и  , причём  , найдётся единственная пара целых чисел  и  , таких что  , где  . |
Здесь — делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток. Сразу обращаем внимание, что остаток — это неотрицательное число. Понятно, что условие возникает потому, что деление на нуль невозможно.
Звучит довольно сложно, но на самом деле в этой теореме нет ничего сложного. Чтобы во всём разобраться, перейдём к примерам.
Примеры нахождения остатка от деления отрицательных чисел
Пример 1. Деление с остатком положительного целого числа на положительное целое число.
Допустим, что требуется разделить с остатком 27 на 4. Вопрос состоит в том, сколько раз число 4 содержится в числе 27? Но мы знаем, что нет такого целого числа, на которое можно умножить 4, чтобы получить 27. Поэтому вопрос нужно переформулировать. На какое число нужно умножить 4, чтобы получить число, максимально близкое к 27, но не превзойти его? Очевидно, что это число 6. Если 4 умножить на 6, то получится 24. До исходного делимого 27 не хватает 3. Следовательно, остаток от деления 27 на 4 составляет 3:
ост. 
.
Пример 2. Деление с остатком отрицательного целого числа на положительное целое число.
ост. 
.
Пример 3. Деление положительного целого числа на отрицательное целое число.
ост. 
.
Пример 4. Деление с остатком отрицательного целого числа на отрицательное целое число.
ост. 
.
Проверьте, насколько хорошо вы поняли этот урок. Найдите самостоятельно остаток от деления отрицательных чисел:
Свои ответы пишите в комментариях, я их проверю.
Деление
Урок 37. Математика 6 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Деление»
Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. Напомним, что деление – это действие, обратное умножению.
Как известно, разделить число на а на число b – это значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт а.
Разделим число –8 на число –2. Т.е. надо найти такое число х, которое при умножении на –2 даст число –8.
Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.
Запомните! Частное двух отрицательных чисел – это положительное число.
Делить отрицательные числа мы научились. Рассуждая аналогичным образом, давайте разберёмся, как делят числа с разными знаками.
Чтобы разделить числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «минус».
Обратите внимание, что не имеет значение перед делимым или делителем стоит знак «минус». Частное двух чисел с разными знаками – это отрицательное число.
Вам хорошо известны свойства числа 1, записанные следующими формулами:
Эти свойства сохраняются и когда а – отрицательное число. Убедимся в этом.
Если делимое равно 0, а делитель – любое число, отличное от 0, то частное равно 0.
Не забывайте, что на 0 делить нельзя!
Модуль частного двух чисел равен частному их модулей.
А знак частного зависит от знаков делимого и делителя: если делимое и делитель имеют одинаковые знаки (т.е. оба положительны или оба отрицательны), то частное положительно, а если разные – отрицательно.
Рассмотрим таблицу, которая наглядно показывает зависимость знака частного от знаков делимого и делителя:
Запомнить эту таблицу очень легко. Смотрите, при делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, а при делении чисел с разными знаками – отрицательное.
Упражнение: определите знак произведения и частного.
Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.
Частное двух отрицательных чисел – это положительное число.
Чтобы разделить числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «минус».
Частное двух чисел с разными знаками – это отрицательное число.
Деление чисел с остатком
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Деление с остатком целых положительных чисел
Деление — это разбиение целого на равные части.
Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.
Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!
Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.
Попрактикуемся в решении.
Пример
Разделить 14671 на 54.
Выполним деление столбиком:
Неполное частное равно 271, остаток — 37.
Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).
Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное
Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:
В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.
Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.
Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».
Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.
Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):
Пример
Разделить 17 на −5 с остатком.
Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.
Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное
Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:
Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле:
d = a − b * c
Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.
Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:
Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.
Пример
Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.
Разделим заданные числа по модулю.
Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.
Так как получили 3, противоположное ему −3.
Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.
Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:
d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.
Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.
Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).
Деление с остатком целых отрицательных чисел
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:
Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:
d = a − b * c
Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.
Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:
Пример
Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.
Применим алгоритм для деления с остатком.
Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.
Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.
Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.
Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.
Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).
Деление с остатком с помощью числового луча
Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.
Пример 1
Рассмотрим выражение: 10 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.
Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).
Пример 2
Рассмотрим выражение: 11 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.
Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).
Проверка деления с остатком
Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.
Формула деления с остатком
a = b * c + d,
где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.
Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.
Пример
Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).
В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.
Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.
Теорема
Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом:
где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b.
Доказательство:
Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.
Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q