Евклидово пространство что это

Что такое Евклидово пространство?

Если заглянуть в справочники или энциклопедии, то можно найти следующий ответ на сформулированный выше вопрос: «Евклидово пространство – в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии» [1].

Действительно, в АКСИОМЕ 9 Евклид упоминает вскользь слово «пространство» [2]: «И две прямые не содержат пространства».

Фактически же, здесь, как и в во всех прочих аксиомах, речь идёт не о пространстве, а о плоскости, которая является лишь слоем пространства, толщиной в одну точку. Туманную формулировку 9-й аксиомы можно интерпретировать следующим образом [3]: «два отрезка не могут сходиться в двух различных точках – то есть ограничивать некоторую фигуру конечной площади» (см. рисунок слева).

Примечательно, что это единственное (!) упоминание слова «пространство» Евклидом. Больше мы не встретим даже намёка на пространство ни среди других аксиом, ни среди постулатов, ни среди определений его 15-томного труда.

Таким образом, согласно энциклопедиям, ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО (в изначальном смысле) – это плоскость, которую не содержат две прямые. 🙂

P.S. Из правого рисунка видно, что так называемые «пространства» Евклида, Лобачевского или Римана на самом деле являются лишь поверхностями с разными геометрическими свойствами.

1. Евклидово пространство: Материал из Википедии. – https://ru.wikipedia.org/wiki/Евклидово_пространство

2. Начала Евклида. Книги I-XV. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. – Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, М.-Л.: 1950. – 1299 с.

Источник

Евклидовы пространства

Определение евклидова пространства

0\quad \forall \mathbf\ne \mathbf

\forall \lambda\in \mathbb\,;\\[5pt] &\bold<4.>\quad \langle\mathbf,\mathbf\rangle>0\quad \forall \mathbf\ne \mathbf

Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.

Простейшие следствия из аксиом скалярного произведения

1. Аксиомы 2 и 3 скалярного произведения можно заменить одним условием линейности скалярного произведения по первому сомножителю:

\forall \alpha,\beta\in \mathbb.[/math]

2. Условие линейности скалярного произведения по первому сомножителю в силу симметричности (аксиома 1) справедливо и для второго сомножителя, т.е. скалярное произведение линейно по любому сомножителю.

3. Линейность скалярного произведения по любому сомножителю распространяется на линейные комбинации векторов:

для любых векторов [math]\mathbf_i,\,\mathbf_j[/math] и действительных чисел [math]\alpha_i,\,\beta_j,

4. Если хотя бы один сомножитель — нулевой вектор, то скалярное про изведение равно нулю:

Неравенство Коши-Буняковского

Для любых векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] евклидова пространства [math]\mathbb[/math] выполняется неравенство Коши-Буняковского :

В самом деле, для любого действительного числа [math]\lambda[/math] и любых векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] справедливо неравенство:

Примеры евклидовых пространств

Определяя для элементов линейного пространства операцию скалярного произведения, получаем евклидово пространство. Если скалярное произведение можно ввести разными способами в одном и том же линейном пространстве, то и получаемые евклидовы пространства будут разными. Приведем примеры евклидовых пространств, соответствующих рассмотренным ранее примерам линейных пространств.

3. В пространстве [math]\mathbb^n[/math] скалярное произведение столбцов [math]x= \beginx_1&\cdots&x_n\end^T[/math] и [math]y=\begin y_1&\cdots&y_n\end^T[/math] можно задать формулой:

Значит, выполняются аксиомы 2 и 3. Аксиома 4 также выполняется, так как квадратичная форма [math]\langle x,x\rangle= x^TAx[/math] положительно определенная. Таким образом, пространство [math]\mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.26) является евклидовым пространством. В частности, если в качестве матрицы [math]A[/math] взять единичную матрицу, формула (8.26) примет вид:

Приведем примеры формул, которые не задают скалярного произведения в [math]\mathbb^2:[/math]

1) [math]\langle x,y\rangle= |x_1|\cdot|y_1|+|x_2|\cdot|y_2|[/math] — аксиомы 1, 4 выполняются, а аксиомы 2, 3 — нет;

2) [math]\langle x,y\rangle=x_2\cdot y_2[/math] — аксиомы 1, 2, 3 выполняются, а аксиома 4 — нет.

4. Пространство [math]\[/math] решений однородной системы [math]Ax=o[/math] линейных уравнений со скалярным произведением (8.27) является евклидовым пространством.

6. В пространстве [math]P(\mathbb)[/math] многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение можно задать формулой (8.28), так как многочлены являются непрерывными функциями.

В пространстве [math]P_3(\mathbb)[/math] определим произведение формулой:

В силу симметричности и линейности правой части (8.30) по значениям многочленов, заключаем, что аксиомы 1-3 выполняются. Проверим выполнение аксиомы 4. Приравняв скалярный квадрат нулю, получаем

Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве

Углом между ненулевыми векторами [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] евклидова пространства [math]\mathbb[/math] называется число

Из неравенства Коши-Буняковского (8.25) следует неравенство треугольника :

то есть [math]|\mathbf+\mathbf|^2\leqslant (|\mathbf|+ |\mathbf|)^2

Пример 8.17. Даны векторы евклидовых пространств:

y=\begin0\\1\end[/math] — элементы пространства [math]\mathbb^2[/math] со скалярным произведением (8.27): [math]\langle x,y\rangle=x_1y_1+x_2y_2[/math] ;

y=\begin0\\1\end[/math] — элементы пространства [math]\mathbb^2[/math] со скалярным произведением (8.26):

q(x)=x+2[/math] — элементы пространства [math]P_2(\mathbb)[/math] со скалярным произведением (8.29): [math]\langle p,q\rangle= a_2b_2+a_1b_1+a_0b_0[/math] ;

q(x)=x+2[/math] — элементы пространства [math]P_2(\mathbb)[/math] со скалярным произведением (8.30):

В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.

Решение. а) Находим скалярные произведения:

б) Находим скалярные произведения:

в) Находим скалярные произведения:

г) Находим скалярные произведения:

\langle p,q\rangle= 1\!\cdot\!0+(-2)\!\cdot\!1+1\!\cdot\!2=0;

\langle q,q\rangle= 0\!\cdot\!0+1\!\cdot\!1+2\!\cdot\!2=5.[/math]

д) Находим скалярные произведения:

\langle p,q\rangle= 0\!\cdot\!3+1\!\cdot\!4+4\!\cdot\!5=24;

\langle q,q\rangle= 3\!\cdot\!3+4\!\cdot\!4+5\!\cdot\!5=50.[/math]

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Евклидово пространство

Одной из важнейших задач геометрии является задача измерения расстояния между двумя объектами. В произвольном линейном пространстве мы пока не можем определить насколько «близки» между собой объекты. В настоящем разделе понятие расстояния между двумя векторами — элементами линейного пространства — будет вводиться посредством скалярного произведения векторов. Насколько обоснован такой порядок введения понятий:

Определения

Из аксиом 1 и 2 вытекает свойство линейности скалярного произведения и по второму вектору:

Свойства

Теорема. Имеет место неравенство Коши–Буняковского:

С помощью скалярного произведения, введенного в предыдущем пункте, можно доказать справедливость интегральной формы неравенства:

Теорема. Имеет место неравенство треугольника

Пример. Найти расстояние между полиномами

Теперь прокомментируем последний пример. В разделе, посвященном полиному одной переменной, имеется теорема о непрерывной зависимости корней полинома от его коэффициентов. Смысл этого результата в следующем: если коэффициенты полиномов

Подводя итог приведенным рассуждениям, можно только повторить: метод, выбираемый для оценки близости между объектами, может зависеть от поставленной задачи. Микроскоп не пригоден для наблюдения за большими объектами, а телескоп — за малыми.

Следующий результат также имеет название, взятое из планиметрии, где он формулируется так: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.

Теорема. В евклидовом пространстве имеет место равенство параллелограмма

Ортогонализация

Чему равно расстояние между двумя векторами ортонормированного базиса?

Пример. Ортогонализовать систему векторов

Пример. Пусть в пространстве полиномов скалярное произведение задается формулой

Следующая теорема устанавливает связь между двумя ортонормированными базисами в одном и том же пространстве.

Теорема. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Матричный формализм алгоритма Грама-Шмидта: QR-разложение

Пример. Для матрицы из предыдущего примера имеем:

Расстояние от точки до многообразия

Пример. Множество

Доказать, что в пространстве квадратных матриц со скалярным произведением, заданным формулой

Вычисление расстояния

Альтернативный способ вычисления расстояния от точки до линейного многообразия, заданного системой линейных уравнений ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Подводя итог: определители Грама полностью решают задачу о вычислении расстояния от точки до линейного подпространства в любом евклидовом пространстве; этот результат легко обобщается на произвольное линейное многообразие.

Вычисление расстояния между линейными многообразиями (и некоторыми другими объектами, заданными алгебраическими уравнениями) ☞ ЗДЕСЬ.

Угол между вектором и линейным многообразием

Эта теорема сводит задачу к решенной в предыдущих пунктах задаче вычисления расстояния от вектора до подпространства, только теперь интерес смещается от ортогональной составляющей вектора к его ортогональной проекции.

Свойства матрицы Грама

Если какой-то главный минор матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Матрица Грама линейно независимой системы векторов является положительно определенной. Матрица Грама произвольной системы векторов является положительно полуопределенной.

Дальнейшие свойства матрицы и определителя Грама ☞ ЗДЕСЬ

Задачи

Источник

Материалы этого раздела составлены на основе книги

Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969

Источник

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,

где и .

Содержание

Связанные определения

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

Более абстрактный пример:

Вариации и обобщения

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Евклидово пространство» в других словарях:

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к рых скалярное произведение ( ху )векторов х … Физическая энциклопедия

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение … Большой Энциклопедический словарь

Евклидово пространство — пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания

Евклидово пространство — [Eu­c­lidean space] см. Многомерное (n мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство … Экономико-математический словарь

евклидово пространство — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN Cartesian space … Справочник технического переводчика

евклидово пространство — пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называют n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. * * * ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО… … Энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, свойства к рого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании Е. п. наз. n мерное векторное пространство, в к ром определено скалярное произведение … Естествознание. Энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, свойства к рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. конечномерное действительное векторное пространствоRn со скалярным произведением( х, у), х, к рое в надлежащим образом выбранных координатах… … Математическая энциклопедия

Евклидово пространство — (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия

Источник

Евклидово пространство

Евклидовы пространства имеют долгую историю и множество приложений. Связи между этим инструментом и остальной математикой многочисленны и разнообразны, от логики и алгебры до неевклидовой геометрии. Этому аспекту посвящена статья « Евклидова геометрия ».

Резюме

Геометрия

Евклидово пространство и двойные точки

В рамках построения векторов с использованием классов эквивалентности бипоинтов на аффинном пространстве может быть получено первое определение скалярного произведения. Норма вектора соответствует длине репрезентативной двойной точки, угол двух векторов соответствует углу двух репрезентативных точек с одинаковым началом. Тогда формула, дающая скалярное произведение, следующая:

Геометрия треугольника

Формализация и первые свойства

Определения

Мы говорим, что два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Определив скалярное произведение, оно не является вырожденным : нулевой вектор является единственным вектором, ортогональным самому себе, и тем более единственным ортогональным ко всему пространству.

Примеры

Неравенства Коши-Шварца и Минковского

Две разметки широко используются при изучении евклидовых пространств.

Алгебраические свойства

Характеристика полярной формой

Сразу выводим следующую характеристику:

Следовательно, первое утверждение сразу же, как и, наоборот, существование скалярного произведения P (достаточно выбрать такое, для которого база B ортонормирована). Уникальность P проистекает из тождеств поляризации и из того факта, что норма полностью определяется ( однородностью ) своей единичной сферой.

Существует четвертый критерий, более прямой, чтобы определить, является ли норма евклидовой, без восстановления ее скалярного произведения:

Ортонормированный базис

Ортогональная проекция

Процесс Грама-Шмидта

Ортогональность и выпуклость

Двойное пространство и билинейная форма

Отображение φ из E в двойственном ему E *, которое с любым вектором x из E связывает линейную форму x *, определяемую следующим образом:

\ rangle>

Ассистент эндоморфизма

На евклидовом пространстве E для любого эндоморфизма а существует единственный эндоморфизм а * такой, что

Таким образом, этот автоморфизм L ( E ) является симметрией относительно подпространства симметрических эндоморфизмов относительно дополнительного подпространства антисимметрик.

Связь, индуцированная скалярным произведением между билинейными формами и эндоморфизмами, имеет множество приложений в самых разных областях (см., В частности, спектральную теорему статьи в случае, когда формы и эндоморфизмы симметричны).

Построение евклидовых пространств

Как часто бывает в алгебре, данные евклидовых пространств позволяют строить новые.

Подпространство, пространство продукта

Фактическое пространство

Тензорное произведение

Таким образом, эта билинейная форма наследует симметрию двух скалярных произведений, и если ( e _i ) является ортонормированным базисом E ₁ и ( f _j ) ортонормированным базисом E _2, то базис ( e _i ⊗ f _j ) E ₁ ⊗ E ₂ ортонормирован для этой формы, что доказывает, что это скалярное произведение.

Эндоморфизм

Этот скалярный продукт выражается просто благодаря понятиям дополнения и следа :

Для этого скалярного произведения симметрия a ↦ a * является ортогональным автоморфизмом L ( E ).

Топология

Характеризация ортогональной группой

Конечномерные нормированные векторные пространства

Обобщения

Источник