Дать определение фрактальной графике что такое фрактал

Фрактал

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Содержание

Термин

Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например,функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского и отображения , , — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .

В случае, когда отображения — преобразования подобия с коэффициентами 0″ border=»0″ />, размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем .

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:

Множества значений z₀, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z 2 +c (или другой похожей функции), то есть тех значений z₀, для которых поведение последовательности <z_n> может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z₀.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность <z_n> демонстрирует определённое поведение при фиксированном z₀. Так, множество Мандельброта — это множество всех , при которых <z_n> для F(z)=z 2 +c и z₀ не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления <z_n> к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором |z_n| превысит фиксированную большую величину A.

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

В природе

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован [источник не указан 779 дней] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Экономика и финансы

А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс.

Источник

Что такое фракталы? Мир вокруг нас. Часть первая

«Вся сложность в простоте»

«. всё фрактально повторяется в этом материальном мире…»

«СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»

Что такое фрактал

Что такое фрактал? Как устроен мир вокруг нас? Что лежит в основе всего? Почему наша Галактика по форме похожа на раковину Наутилуса, человеческий глаз на космическую туманность, а клетки мозга на всю нашу Вселенную?

Кому из вас не доводилось видеть похожие формы в живых и неживых объектах? Будто одна и та же формула, пронизывает всё вокруг.

Рис. 1. Фотография Вселенной, клетки мозга, рождение звезды, деление клетки, глаз человека и туманности

Схожие формы встречаются повсюду, от микро- до макромира: в минералах, растениях и животном мире, в структуре ДНК, в природных явлениях (циклоны, молнии, береговые линии), планетарных системах и звёздных скоплениях. Они присутствуют и в живых организмах.

Каковы закономерности и в чём причина такого сходства? Объяснением этому является фрактал. Фрактальность также прослеживается как в самом человеке, так и во взаимоотношениях в семье, коллективе и обществе в целом.

Рис. 2. Пример фракталов: клетки лука и эзоосмическая решётка

Фрактал (лат. «fractus» – дроблёный) – самоподобие (копирование) геометрических фигур, где каждый фрагмент дублируется в уменьшающемся масштабе. В природе это явление встречается очень часто.

Можно сказать, что фрактал – это узор, который повторяет сам себя в разных масштабах до бесконечно малого или/и бесконечно большого. Он рождается не просто повторением форм, а скорее повторением процесса, который применяется к форме. Бесконечная цепочка самопостроения.

В природе ярким примером такого узора является капуста сорта «Романеско».

Рис. 3. Пример фрактала в природе, капуста «Романеско»

История открытия фракталов

Опираясь на найденные интересные артефакты, мы видим, что знаниями о фракталах располагали люди ещё в древности. Их изображение мы находим на керамике Трипольской культуры (с 5450 по 2700 год. до н. э.), в очертаниях построения селений и городищ, архитектуре зданий. Более подробно об этом будет рассказано во второй части статьи.

На данный момент нам не известно, каким термином называли наши предки явление самоподобия объектов. Но точно можно сказать, что знания о фракталах входили в раздел «сакральной геометрии» прошлого. Понимание математической закономерности всего миропорядка было естественным ещё тысячелетия назад.

К примеру, выдающемуся зодчему Древнего Египта Имхотепу удалось возвести первую в той стране ступенчатую пирамиду – грандиозное фрактальное сооружение с чёткими математическими пропорциями. К слову сказать, группа близких Имхотепу людей называли Бога не иначе как Великим Зодчим Мироздания. А во времена существования ордена Тамплиеров по всей Европе получил широкое распространение готический стиль архитектуры – воплощение сакральной геометрии и фрактальных узоров в камне.

Однако, со временем учёные выбрали другой, материалистический путь развития науки, который увёл нас далеко от этих знаний, и божественные законы были забыты.

Как современники пришли к понятию «фрактал»

В области изучения фракталов ещё в конце ХIX – начале ХХ веков работали многие учёные: Пьер Фату, Жюль Анри Пуанкаре, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф, Гастон Жюлиа. Они и заложили математическую базу для появления теории фракталов.

Появление вычислительных устройств позволило ускоренно проводить итерации (многократно повторяющийся процесс вычисления) и визуализировать формулы. А сама идея ввести формулу Гастона Жюлиа в компьютер и с его помощью произвести громоздкие расчеты пришла в голову Мандельброту приблизительно в 1977 году. Раз за разом, меняя переменную C, он получал новые удивительные изображения. Таким образом, множества Жюлиа приобрели геометрические формы. (см. Множества Жюлиа). В 1980 г. программа отпечатала нечто похожее на кляксу. (см. фрактал Мандельброта). Это простое на первый взгляд изображение при приближении выявляет в себе новые и новые отображения множеств Жюлиа, которым нет предела.

Рис. 4. Изображения фракталов. Фрактал Мандельброта. Множество Жюлиа

Много современных учёных успешно работали в данном направлении. Заслуга Бенуа заключается в том, что он первым визуализировал уже имеющиеся формулы, показав всему миру их невероятную красоту, и дал ныне существующее название этому явлению.

Виды фракталов

Фракталы бывают разных видов, рассмотрим некоторые из них:

Геометрические виды фракталов являются самыми наглядными и простыми в строении. Увидеть их может любой человек. Множество таких фракталов можно нарисовать на обычном листке бумаги в клетку. Примером являются: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.

Рис. 5. Примеры геометрических фракталов

Рассмотрим принцип построения фракталов на примере – «Снежинки Коха» (рис. 6).

Он строится путём многократного разделения отрезка линии на 3 равные части и замены средней части на 2 новых отрезка той же длины. Число сторон каждый раз учетверяется, вследствие чего становится бесконечно великим. Периметр снежинки имеет бесконечную длину, но площадь при этом конечна, так как фигура является замкнутой.

Рис. 6. Фрактал – «Снежинка Коха»

«Снежинка Коха» стала основой фрактальных антенн, которые мы используем в мобильных устройствах. Благодаря такой форме антенны имеют компактный размер с широким диапазоном действия.

Рис. 7. Примеры фрактальных антенн

По принципу построения интересен также «Треугольник Серпинского».

Возьмём равносторонний треугольник, отметим середины его сторон.

Соединим срединные точки прямыми линиями. Образовались 4 треугольника.

Центральный треугольник вынимаем и «выкидываем».

Теперь повторим эту операцию с каждым из вновь образовавшихся треугольников. И так до бесконечности.

Рис. 8. Построение треугольника Серпинского

Из этого примера легко увидеть, что количество треугольников увеличивается, и сумма их периметров (сумма сторон треугольников) стремится к бесконечности, а сумма площадей – к нулю.

Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Разбирая способ построения, можно увидеть, что «вынимая» из треугольника всё наполнение после каждой итерации (повторение операции построения), мы постоянно уменьшаем его площадь и в результате сводим её к нулю.

Это самая крупная группа фракталов, которая базируется на основе разных алгебраических формул. Ярким примером является фрактал Мандельброта. В настоящее время их принято отображать в цвете. Получаются красивейшие необычные орнаменты, которые используют, например, в дизайне одежды.

Рис. 9. Изображения алгебраических фракталов

Не менее популярным является способ построения, основанный на комплексной динамике. В результате образуются фракталы, напоминающие живые организмы – биоморфы. (рис.10).

Рис. 10. Изображения фракталов – «биоморфы»

Строятся путём хаотического изменения некоторых параметров. При этом получаются объекты, очень похожие на природные. Фракталы данного вида широко применяются в киноиндустрии. С помощью компьютерной графики создаются искусственные горы, облака, поверхности моря, планеты, береговые линии, несимметричные деревья (рис.11). Также представителем данного вида является – «плазма» в природе:

Рис. 11. Стохастические фракталы

Концептуальные (социокультурные, непространственные) фракталы

Этот вид объединяет непространственные структуры, выходящие за рамки геометрической фрактальности. Принцип многоуровневого самоподобия заложен в культурных произведениях. В художественных текстах (стихах для детей, народных песнях, в музыкальных произведениях и сказках) часто встречается «рассказ в рассказе».

«У попа был двор, на дворе был кол, на колу мочало – не начать ли сказочку сначала. У попа был двор. »

Дедка, бабка, внучка.

Дедка, бабка, внучка, Жучка и т.д.

Фрактальность наблюдается в организации человеческих поселений (страна – город – квартал); в распределении общества на группы (народ – социокультурная группа – семья – человек). Сюда же отнесём фрактальность взаимоотношений, которые начинаются с самого человека. Меняется человек, его восприятие, внутреннее состояние – изменяется взаимоотношение в семье, коллективе, в итоге преобразуется всё общество. Прослеживается фрактальность в иерархических системах управления.

ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ПРИРОДЕ

Рис. 12. Фракталы в природе

Один из наглядных примеров фрактальной формы – береговые линии, которые отличаются друг от друга степенью своей изрезанности. Нет абсолютно одинаковых протоков, но их общие очертания как будто нарисованы одним лекалом. Эти очертания независимо от размера очень похожи. Маленький проток – это уменьшенная копия большого. Если увеличить верхний правый угол картинки, то она будет аналогична всей картине, изображенной на рисунке.

Рис. 13. Береговые линии

Растительный мир нашей зелёной планеты богат и разнообразен. На первый взгляд кажется, что в нём нет никакой закономерности: растения в лесу расположены беспорядочно, ветки с листьями на растениях тоже. Но возьмём, к примеру, дерево. Если рассматривать дерево поднимаясь от основания к вершине, то видно, как от ствола отходят большие ветви, на больших ветвях идёт такое же разветвление меньших веток, и дальше форма разветвления в любой части дерева будет повторяться, лишь уменьшаясь в размере к вершине. И зная принципы построения фракталов, изучив все закономерности расположения веток на вершине дерева, нетрудно догадаться, как выглядит это же дерево у своего основания.

Крона – это видимая часть дерева, которая является отражением корневой системы. А корни, в свою очередь, тоже имеют ярко выраженное фрактальное строение. (рис.14, б).

Рис. 14. Фракталы в природе на примере дерева

Самое интересное, что прожилки на листьях тоже образуют фрактальный рисунок, очень похожий на плоское миниатюрное дерево (рис.15). Нет листьев с одинаковым рисунком, так же как нет людей с одинаковым отпечатком пальца. Рисунок на каждом листе уникален.

Рис. 15. Фрактальность в листьях

Комнатное растение (королевская бегония) – яркий пример проявления фракталов в рисунке листьев. Маленькие листочки по форме и сочетанию цветов аналогичны большим, хотя и не являются их точной копией (рис.16).

Рис. 16. Листья королевской бегонии

Один из самых старых видов наземных растений – папоротники. Учёные полагают, что они существуют более 350 млн. лет. Строение листа этого растения очень похоже на компьютерный фрактал (рис.17). Именно это растение является ярким доказательством того, что чем древнее биологическая форма, тем чётче в ней прослеживается фрактал, то есть форма организма строится по простым правилам.

Рис. 17. Листья папоротников

Съедобные растения тоже несут в себе формы самоподобия. Красная капуста в продольном срезе имеет фрактальный рисунок. (рис.18)

Рис. 18. Фото разных сортов капусты

Казалось бы, тугой кочан капусты, а его красота может вдохновить даже художника. Белые утолщения центральных черенков плотно прижатых листьев образуют волшебный фрактальный лабиринт.

Лишайники так же как папоротники и мхи – это самые древние представители растительного мира, поэтому фракталы в них выражены особенно ярко. В их узлах содержатся те же фрактальные формы, что и по краям.

Фрактальность мироустройства, энергии.
Спираль как фрактал

Мир вокруг нас разнообразен. Многие объекты, существующие в природе, являются фракталами. В их основе лежит Божественная пропорция (число Фи) – это Золотое сечение и золотая спираль, благодаря которой мы воспринимаем красоту и гармонию природы, пропорциональность строения человека, древней архитектуры, классических произведений искусства.

Золотая спираль строится фрактальным способом: прямоугольник с золотой пропорцией. 1,618 (число Фи) разбивают на малые квадраты и проводят дугу. То есть в спиралях большая дуга переходит в подобную меньшую и т.д.

Рис. 20. Золотое сечение

Спираль сама по себе является фракталом, в котором каждый новый виток копирует предыдущие, но в новом масштабе. Прямая взаимосвязь между мироустройством микро- и макромира и формой спирали свидетельствует о фрактальном устройстве Вселенной.

Очень интересную информацию об этой взаимосвязи можно найти в книге «АллатРа» А. Новых:

«Ригден: Да, и это связано со структурированным ходом энергий, хранением информации и её обменом, в общем, с углублённой физикой. Если внимательно изучить этот вопрос, то можно понять, что многое в материальном мире располагается в форме спирали или совершает движение по спирали, начиная от микро- и заканчивая макрообъектами».

Здесь же мы читаем, что в мифологии древних народов основные моменты о сотворении мира схожи. Говорится, что из мира Бога появился Первичный Звук, который породил Вселенную в форме шара. А на его поверхности под действием сил Аллата (первичной энергии, порождающей жизненное движение) стала образовываться материя, которая благодаря тем же силам начала взаимодействовать между собой.

Весь мир создан по математическим пропорциям, и древние об этом знали и отразили своё знание в мифах о сотворении мира. Спираль и последовательность Фибоначчи – это тоже фракталы.

Понятие о двух противодействующих силах Вселенной запечатлены на артефактах разных культур и эпох символом спиралей, закрученных в разные стороны.

Рис. 20. Артефакты с символом спираль в культурах мира

Науке уже известно о спиральных структурах и спиралевидном движении энергии. В этом движении также обнаруживаются фрактальные свойства. Их можно увидеть в космосе, в теле человека, в растениях и природных явлениях (облака, циклоны, водовороты).

Физики наблюдали, как в турбулентных потоках большие вихри порождают вихри поменьше, а те ещё меньше, и такое деление спиралевидных энергий наблюдалось до тех видимых пределов, которые технически были доступны учёным.

Фрактальные свойства присутствуют в структуре и движении энергии электрического разряда, воды, в росте растений и т.д.

Чем полезны знания о фракталах

Понимание фрактального устройства упростило многие сферы научных исследований. Удивительная особенность фракталов – повторение аналогичного паттерна в разных масштабах – позволяет нам, изучив малую часть какого-либо события или явления, предполагать об устройстве целого.

Это свойство позволило более точно рассчитывать площади неровных изломанных поверхностей. Например географических, таких как береговые линии, облака, или биологических – внутренняя поверхность лёгких или нервных волокон.

Рис. 21. Изображение структуры лёгких

Фрактальное строение ландшафта позволило создавать 3D модели гор, облаков, берега, что широко используется в компьютерной графике кинематографа, программ обучения водителей, лётчиков, а также в компьютерных играх. По факту, это есть создание иллюзорной копии нашего мира (иллюзии внутри иллюзии).

В технической сфере мы научились производить фрактальные антенны, которые позволяют значительно уменьшить размеры конструкции, и расширить диапазон принимаемых частот без увеличения объёма и громоздкости.

Применение фрактального свойства в архитектуре привело к появлению новых необычных форм с увеличением прочности строений.

Знания о фракталах нашли применение во всех сферах жизни человека – в физике, экономике, культуре, биологии, геологии и т.д.

Но главное – это реальный шанс по-новому взглянуть на мироустройство, которое пронизано фракталами вдоль, поперёк и насквозь. Например, изучение галактики, позволило учёным приблизиться к пониманию о строении Вселенной и о параллельных мирах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как видим, фракталы – это не нечто обособленное и непонятное. Они наполняют нашу жизнь. Знания о фрактальном построении мира имелись у людей издревле. Мы провели небольшое исследование и нашли интересные факты, связанные с древностью фракталов, способами их применения в архитектуре и проявлений как в самом человеке, так и в обществе.

Во второй части нас ждёт захватывающее путешествие в историю, архитектуру, музыку. У нас будет возможность понять, как изменения в неизмеримо малом могут привести к глобальным трансформациям. И что может сделать человек как единица общества, чтобы наступило золотое тысячелетие, о котором люди мечтают с давних пор.

Конец первой части

Участники МОД «АЛЛАТРА»

Список литературы:

Анастасия Новых «АллатРа» К: изд-во «АЛЛАТРА» 2013

Анастасия Новых «Сэнсэй IV»

Анастасия Новых «Сэнсэй-II»

АЛЛАТРА ТВ передача «СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»

Статья «К ТИПОЛОГИИ ФРАКТАЛОВ В ТЕОРИИ КУЛЬТУРЫ»

Смирнова А. С., Готический стиль в архитектуре и психология. (Научные труды Института Непрерывного Профессионального Образования. №4/2014.

Деменок С., Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2012.

Cтатья из Вестника Брестского гос. техн. унив-та. 2015 №1: Колосовская А.Н. Архитектурные сооружения духовно-рыцарский орденов.

Г.М. Вдовин Г.М., Трубецков Д.И., Столетие фрактальной геометрии: От Жюлиа и Фату через Хаусдорфа и Безиковича к Мандельброту. Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. Россия. 2020.

Федер Е., Фракталы. Перевод Ю.А.Данилова и А.Шукурова. М.: «Мир». 1991.

Источник