Десятичная точка что это
Десятичный разделитель
Герберт из Орийака пометил тройки колонн дугой (названной «дугой Пифагора»), используя свои индусско-арабские счеты, основанные на цифрах, в 10 веке. Фибоначчи следовал этому условию при написании чисел, например, в его влиятельной работе Liber Abaci в 13 веке. [13] В таблицах логарифмов, подготовленных Джоном Нэпиром в 1614 и 1619 годах, в качестве десятичного разделителя использовалась точка (точка), которая затем была принята Генри Бриггсом в его влиятельной работе 17-го века.
Во Франции точка уже использовалась при печати, чтобы римские цифры были более читаемыми, поэтому была выбрана запятая. [14] Многие другие страны, например Италия, также решили использовать запятую для обозначения позиции десятичных единиц. [14] Это было сделано стандарт по ISO для международных чертежей. [15] Однако англоязычные страны использовали запятую для разделения последовательностей из трех цифр. В некоторых странах выпуклая точка или тире ( верхняя запятая ) может использоваться для группировки или десятичного разделителя; это особенно характерно для почерка.
В США точка или точка (.) Использовались в качестве стандартного десятичного разделителя.
В странах Британской империи (а позже и Содружества Наций ) точка могла использоваться в машинописных материалах, и ее использование не было запрещено, хотя интерпункт (также известный как десятичная точка, точка или средняя точка) был предпочтительнее, поскольку десятичный разделитель в технологиях печати, которые могут его использовать, например 99 · 95. [17] Однако, поскольку средняя точка уже широко использовалась в мире математики для обозначения умножения, СИ отклонил ее использование в качестве десятичного разделителя.
Данные против маски
Исключения из группировки цифр
Всегда существуют » здравые» исключения для конкретной страны из группировки цифр, такие как номера года, почтовые индексы и идентификационные номера предопределенного негруппированного формата, на которые обычно указывают руководства по стилю.
В системах счисления без оснований 10
Страны с использованием десятичной запятой
Страны, в которых в качестве десятичного разделителя используется запятая «,», включают:
Страны, использующие десятичную точку
Страны, где стоит точка «.» используется в качестве десятичного разделителя, включая:
В следующих примерах показан десятичный разделитель и разделитель тысяч в разных странах, где используется арабская система счисления.
Используется с западными арабскими цифрами (0123456789):
Используется с восточными арабскими цифрами (٠١٢٣٤٥٦٧٨٩):
Используется с клавиатурами:
Десятичный разделитель
Десятичный разделитель — знак, используемый для разделения целой и дробной частей вещественного числа в форме десятичной дроби в системе десятичного исчисления. Для дробей в иных системах счисления может использоваться термин разделитель целой и дробной частей числа. Иногда также могут употребляться термины десятичная точка и десятичная запятая.
В англоязычных странах в качестве десятичного разделителя используется точка, в большинстве остальных — запятая (,).
Выбор символа для десятичного разделителя влияет и на выбор знака разделителя групп разрядов, который используется для того, чтобы упростить чтение больших чисел. Например, в русскоязычной среде в качестве этого разделителя принято использовать точку (.) или пробел.
Содержание
История вопроса
В Средние века, в допечатную эпоху было принято надчёркивать (¯) целую часть числа. Таким способом пользовался, например, иранский математик ал-Хорезми. Позже для этих целей стал применяться небольшой вертикальный штрих (ˌ) (символ U+02CC). Уже после начала книгопечатания этот штрих стало естественным отображать либо точкой, либо запятой. Большинство стран выбрали в качестве десятичного символа запятую. Однако англоязычные страны предпочли точку, а запятую стали использовать как разделитель групп разрядов.
В США в качестве десятичного разделителя использовалась точка. В Британской империи в рукописной записи также использовали точку, однако в типографском наборе предпочтительнее был интерпункт — точка, расположенная на середине строки (·). Но такой символ уже был общеупотребительным в математике для обозначения операции умножения, и система СИ не допускала его использования в качестве разделителя. В то же время использование точки допускалось. Поэтому в Британии постепенно переняли американскую систему.
В ЮАР при принятии метрической системы в качестве разделителя стали использовать запятую, заменив принятую в бывших британских колониях точку.
В большинстве международных организаций (таких, как Международное бюро мер и весов и ISO) до 1997 года во всех языках, включая английский, в качестве десятичного разделителя рекомендовалось использовать только запятую. Затем постепенно начался процесс признания точки в качестве десятичного разделителя, увенчавшийся принятием в 2003 году нормы ISO 31-0, допускающей использование как точки, так и запятой.
В арабских странах в качестве десятичного разделителя используется особый символ моммайе: «٫» (U+066B).
Разделитель групп разрядов
Для упрощения чтения, цифры в больших числах слева (а иногда и справа) от знака десятичного разделителя могут быть разделены на группы специальным символом — разделителем групп разрядов. Разбивка на группы осуществляется начиная от десятичного разделителя. Как правило, группы состоят из трёх цифр. В то же время в некоторых странах числа традиционно делятся на группы из двух или четырёх цифр. Деление на группы, как правило, не осуществляется, если с соответствующей стороны от десятичного разделителя не больше четырёх или пяти цифр.
Так же, как и в случае с десятичным разделителем, для разделителя групп разрядов используются разные символы. Если в качестве десятичного разделителя используется точка, то разделитель групп разрядов может быть представлен запятой, апострофом или пробелом, а если запятая, — то точкой (например, в испанском языке [1] [2] ) или пробелом. Таким образом, значение точки и запятой оказывается зависимым от контекста (например, запись 1,546 в английской нотации обозначает тысяча пятьсот сорок шесть, а в русской — одна целая пятьсот сорок шесть тысячных). Поэтому, чтобы избежать неоднозначности, для разделителя групп разрядов международные стандарты (ISO, Международное бюро мер и весов, ИЮПАК) рекомендуют всегда использовать пробел (или тонкую шпацию при типографском наборе).
Десятичные разделители в разных странах
| Австралия и Океания | Америка | Азия | Африка | Европа |
|---|---|---|---|---|
| Австралия, Новая Зеландия | Англоязычная Канада, Мексика, США | Бруней, Израиль, Индия, Китай, КНДР, Малайзия, Пакистан, Сингапур,Тайвань, Таиланд, Филиппины, Шри Ланка, Южная Корея, Япония | Ботсвана, Зимбабве, Нигерия | Великобритания, Ирландия |
| Австралия и Океания | Америка | Азия | Африка | Европа |
|---|---|---|---|---|
| — | Вся Южная Америка, кроме Перу, а также Гватемала, Гондурас, Доминиканская республика, франкоязычная Канада, Куба, Никарагуа, Панама, Сальвадор | Вьетнам, Индонезия, Турция | Камерун, ЮАР | Вся Европа, кроме Великобритании и Ирландии, а также все страны бывшего СССР |
| А также в искусственных языках интерлингва и эсперанто. | ||||
| Австралия и Океания | Америка | Азия | Африка | Европа |
|---|---|---|---|---|
| — | — | Бахрейн, Иран, Ирак, Катар, Кувейт, ОАЭ, Оман, Саудовская Аравия, Сирия | — | — |
Распространение систем обозначений
Все страны, использующие в качестве десятичного разделителя запятую, знакомы и с англоязычной нотацией из-за того, что такая система используется во многих электронных устройствах, например, калькуляторах.
Большинство операционных систем позволяют пользователю выбрать предпочтительные символы для десятичного разделителя и для разделителя групп разрядов, и программное обеспечение может учитывать этот выбор.
В большинстве языков программирования в качестве десятичного разделителя используется точка, а при разработке языка Алгол между разработчиками разыгралась «десятичная буря» (см. в статье о языке Алгол): европейцы требовали выбрать запятую, а американцы — точку.
Дополнительные сведения о дробях
В этом уроке мы коснёмся тех моментов, о которых не упоминали при изучении дробей, посчитав что на первых порах они создают трудности для обучения.
Правильные и неправильные дроби
В самом начале своего пути при изучении дробей мы узнали, что правильная дробь — это та дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
В школьной литературе можно встретить другое определение правильной дроби. Выглядит оно следующим образом:
Правильная дробь всегда меньше единицы.
Как понять данное определение? Дробь сама по себе указывает на то, что какой-либо объект разделен на несколько частей. И это всегда один единственный объект. Под единицей именно это и подразумевается.
Например, пусть у нас имеется одна пицца:
В данном случае она и является единицей.
Если мы отрежем от этой пиццы половину, то есть 
(одну вторую пиццы), то наш кусок будет меньше, чем вся целая пицца:
В этом и заключается суть фразы «правильная дробь всегда меньше единицы».
Наша половинка пиццы является дробью и она меньше одной целой пиццы, то есть меньше единицы:
Это выражение можно доказать. Если мы вычислим дробь , то получим десятичную дробь 0,5. А это рациональное число меньше единицы:
На координатной прямой можно увидеть, как располагаются эти числа:
Видно, что рациональное число 0,5 располагается левее, чем 1. А мы помним, что чем левее число располагается на координатной прямой, тем оно меньше.
С неправильными дробями всё было наоборот. Неправильной дробью мы назвали ту дробь, у которой числитель больше знаменателя.
Но в школьной литературе можно встретить другое определение неправильной дроби. Выглядит оно следующим образом:
Неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей.
Вместе одна целая пицца и ещё половина пиццы больше, чем просто одна целая пицца
В этом и заключается суть фразы «неправильная дробь всегда больше единицы».
Одна целая пицца и ещё половина пиццы описывается смешанной дробью и эта смешанная дробь больше единицы:
Переведём смешанную дробь обратно в неправильную дробь, чтобы не противоречить правилу. Ведь речь в данном случае идёт о неправильных дробях:
что схематически будет выглядеть так:
Выражение можно доказать. Если мы вычислим дробь 
, то получим десятичную дробь 1,5. А это рациональное число больше единицы:
На координатной прямой можно увидеть, как располагаются эти числа:
Видно, что рациональное число 1,5 располагается правее, чем 1. А мы помним, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше.
Неправильной также называется дробь равная единице. Речь в данном случае идет о тех дробях, у которых числитель и знаменатель равны.
Рассмотрим дробь 
. Изобразим её в виде двух одинаковых кусочков пиццы:
Фактически речь идёт не о дроби, а об одной целой пицце:
В этом и заключается суть фразы «неправильная дробь может равняться единице».
Любое целое число отличное от нуля (не равное нулю) можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1. Например, числа 3, 5, 9, 12 можно представить в виде неправильных дробей со знаменателем 1
Представление объекта в виде единицы позволяет проще решать задачи. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Куплен один шоколадный батончик. От него отрезали треть. Сколько батончика осталось?
Осталось две трети батончика. Сам батончик можно описать цифрой 1, далее из этой единицы вычесть треть:
Не приводя на бумаге никаких вычислений, можно ответить на вопрос подобной задачи. Сказано «отрезали треть» — значит сразу нужно обратить внимание на то, что знаменатель равен 3.
Если отрезали одну часть из трёх, то сколько частей должно остаться? Верно, две части. Поэтому и ответ «две части из трёх» или «две трети».
Пример 2. Куплен один пирог. От него отрезали две шестых. Сколько пирога осталось?
Осталось четыре шестых пирога. Сам пирог можно описать цифрой 1, далее из этой единицы вычесть две шестых:
Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, мы находили НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей этих дробей. Затем делили найденный НОК на знаменатель первой дроби и получали дополнительный множитель для первой дроби.
То же самое мы делали и для второй дроби — делили НОК на знаменатель второй дроби и получали дополнительный множитель для второй дроби.
Затем дроби умножались на свои дополнительные множители. В результате они обращались в дроби, у которых одинаковые знаменатели. К примеру, выражение 
вычисляется следующим образом:
Но есть и другой способ приведения дробей к общему знаменателю. Этим способом часто пользуются школьники и ленивые студенты. Суть этого способа заключается в том, что роль дополнительных множителей берут на себя знаменатели обеих дробей, причем происходит это «крест-накрест» — знаменатель первой дроби становится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби становится дополнительным множителем первой дроби.
Вычислим предыдущее выражение этим способом. Знаменатель первой дроби 2 становится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби 6 становится дополнительным множителем первой дроби:
Далее числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель и вычисляем:
Преимущество данного способа в том, что не нужно находить НОК знаменателей обеих дробей. В процессе вычисления всё выравнивается само. Единственный недостаток заключается в том, что выражение становится более длинным и корявым.
Сравните выражения, которые мы вычислили сначала первым способом, а затем вторым:
Выражение, вычисленное первым способом, намного аккуратнее и короче, нежели второе.
Вторым способом мы будем пользоваться при изучении алгебры. В алгебре работать с буквенными выражениями приходиться чаще, чем с числовыми.
К примеру, если перед нами будет стоять задача привести буквенное выражение 
к общему знаменателю, то у нас не будет другого выхода, кроме как воспользоваться методом «крест-накрест», то есть использовать второй способ, который мы сейчас рассмотрели:
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти дробь от числа, мы делим это число на знаменатель искомой дроби и полученный результат умножаем на числитель искомой дроби.
Например, чтобы найти 
от 10 сантиметров, нужно 10 разделить на 5, и полученный результат умножить на 2
Получили ответ 4. Значит от десяти сантиметров составляют 4 сантиметра. Схематически это выглядит примерно так:
Но есть и второй вариант решения. Для нахождения от десяти сантиметров, достаточно умножить 10 на . Тогда мы получим тот же результат, как и в прошлый раз, но получим мы его в одно действие:
Поэтому можно взять на заметку следующее правило нахождения дроби от числа:
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на искомую дробь.
Пример 2. Найти от двух часов.
Два часа это 120 минут. Чтобы найти от 120 минут, нужно 120 умножить на дробь
Значит от двух часов составляют 80 минут.
Нахождение числа по дроби
Чтобы найти всё число по его дроби, мы делили это число на числитель имеющейся дроби и полученный результат умножали на знаменатель имеющейся дроби.
Например, зная что рулетки составляет 12 см, мы можем найти длину всей рулетки. Для этого 12 нужно разделить на 2, и полученный результат умножить на 3
Получили 18. Значит длина всей рулетки равна 18 см.
Поэтому можно взять на заметку следующее правило нахождения числа по дроби:
Чтобы найти число по дроби, нужно это число разделить на данную дробь.
Пример 2. всего пути составляет 6 км. Найти длину всего пути.
Чтобы найти длину всего пути, достаточно 6 разделить на дробь
Получили ответ 15. Значит длина всего пути составляет 15 километров.
Десятичная точка в дробях
Запятую в десятичной дроби, которая отделяет целую часть от дробной, по-другому называют десятичной точкой.
Дело в том, что в некоторых источниках целая часть от дробной отделяется именно точкой, а не запятой. Например:
2.5 (две целых пять десятых)
15.65 (пятнадцать целых шестьдесят пять сотых)
Точка часто используется для записи десятичных дробей на компьютере — в программировании и при работе в математических пакетах. В остальных случаях: на письме и при подготовке документов, в десятичных дробях чаще используется запятая, а не точка.
Мы используем в десятичных дробях запятую, а не точку, поэтому разумнее называть эту запятую десятичной запятой.
Но десятичную запятую большинство людей тоже называют десятичной точкой. Что в принципе не является ошибкой, потому как речь всё равно идёт о разделителе, котором отделяет целую часть от дробной.
Давайте и мы будем называть свою запятую в десятичных дробях десятичной точкой. Это словосочетание проговаривается легче и приятнее на слух.
Десятичная точка используется для увеличения или уменьшения дроби в 10, 100, 1000 и более раз. При увеличении десятичной дроби, десятичная точка передвигается вправо, а при уменьшении — влево. Чтобы быстро запомнить это, можно воспользоваться фразами «чем правее, тем больше» и «чем левее, тем меньше».
Пример 1. Увеличить десятичную дробь 6,3 в десять раз.
Чтобы увеличить десятичную дробь 6,3 в десять раз, достаточно передвинуть десятичную точку вправо на одну цифру, получим 63.
Пример 2. Уменьшить десятичную дробь 6,3 в десять раз.
Для уменьшения дроби 6,3 в десять раз достаточно передвинуть десятичную точку влево на одну цифру, получим 0,63
Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в сто раз, то десятичная точка сдвигается на две цифры.
Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в тысячу раз, то десятичная точка сдвигается на три цифры. В общем, всё зависит от количества нулей во множителе.
Например, увеличить дробь в десять раз означает умножить её на 10. Мы помним, что для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно в этой дроби передвинуть запятую вправо на одну цифру (поскольку в числе 10 один ноль). Теперь можно не заучивать подобные правила. Такое умножение можно легко выполнить, передвинув десятичную точку.
Пример 3. Увеличить десятичную дробь 6,3 в тысячу раз.
Чтобы увеличить десятичную дробь 6,3 в тысячу раз, достаточно передвинуть десятичную точку вправо на три цифры, получим 6300. Если после запятой не хватает цифр, то вместо недостающих цифр записывают нули, что мы и сделали.
Пример 4. Уменьшить десятичную дробь 12,5 в сто раз.
Для уменьшения дроби 12,5 в сто раз, достаточно передвинуть десятичную точку влево на две цифры, получим 0,125
Десятичную точку можно использовать не только в десятичных дробях. Её можно использовать для увеличения (уменьшения) и других чисел в 10, 100 или в 1000 раз.
Возьмём к примеру целое число 325 и поставим в конце точку, получим 325 с точкой. Воспользуемся в этот раз точкой, так как её легче изобразить на рисунке:
Попробуем уменьшить это число в десять раз. Для этого достаточно будет передвинуть точку влево на одну цифру, получим 32.5
Попробуем увеличить число 123 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры вправо, получим 123000.
Попробуем уменьшить число 123 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры влево, получим 0,123
Попробуем уменьшить число 65 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры влево, получим 0,065
Попробуем увеличить число 65 в сто раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на две цифры вправо, получим 6500.
Составные выражения
Встречаются задачи, в которых требуется вычислить выражение составленное из нескольких дробей. Например,
Такое выражение вычисляется согласно порядку действий. В данном случае вычисление будет выполнено последовательно слева направо:
Если из 
пиццы вычесть 
пиццы, затем прибавить 
пиццы, затем вычесть 
пиццы, то останется пиццы
Если вам тяжело понять данный пример, попробуйте самостоятельно решить его на бумаге, делая соответствующие рисунки к каждой дроби.
Пример 2. Найти значение выражения 
В данном примере сначала необходимо выполнить умножение затем сложение и вычитание
Если пиццы увеличить в два раза, то получится одна целая пицца
Затем если к 
пиццы прибавить эту целую пиццу, а затем из полученного результата вычесть 
пиццы, то получится пиццы
Пример 3. Найти значение выражения 
Сначала желательно вычислить выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, а именно выражения 2−1 и 1+1,
Дальнейшее вычисление не составляет особого труда плюс равно
Конечно, можно было записать в одном числителе выражения, находящиеся в числителях обеих дробях. От этого ответ не изменился бы:
Но в некоторых случаях возможны подвохи, особенно если из одной дроби вычитается другая. Следующий пример демонстрирует это.
Пример 4. Найти значение выражения 
Вычислим выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, а именно выражения 2+1 и 2 −1
Ну и нетрудно догадаться, что 
равно или (при условии, что дробь будет сокращена на 2)
Все логично. Если из пиццы вычесть пиццы, то получится пиццы.
Теперь попробуем решить данный пример, записав в одном числителе оба выражения, находящиеся в числителях обеих дробей:
Получается совсем другой ответ. Этот ответ не является правильным. Давайте посмотрим, что представляет собой выражение 
.
Для начала запишем его следующим образом:
Теперь попробуем проследить весь процесс вычисления этого выражения. Предположим, что имелось пиццы
К ней добавили еще пиццы
Затем из получившейся пиццы вычитается
Затем из получавшейся пиццы вычитают еще пиццы
Получился 0, то есть пицца исчезла. Но мы знаем, что должно было остаться пиццы. Поэтому при вычислении дробных выражений следует быть внимательным, особенно при вычитании выражений, содержащих в числителе другие выражения.
Если хочется сэкономить время и записать в числителе оба выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, то второй числитель нужно взять в скобки. Это спасёт от ошибки:
Пример 5. Найти выражения 
Вычислим выражения, находящиеся в числителях обеих дробей:
Приведем полученные дроби к общему знаменателю и как обычно вычислим полученное выражение:
Если из вычесть пиццы, то получится пиццы
Пример 6. Найти значение выражения 
В первую очередь необходимо выполнить умножение:
Далее выполняется сложение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
17 thoughts on “Дополнительные сведения о дробях”
Здравствуйте! Админ, отличный сайт, я хотел бы узнать, будет ли продолжение?
Доброго времени суток.. Занимаюсь вашими уроками уже второй день, дошел уже до 25-го.. С математикой у меня не было проблем в школе, но закончил я ее три года назад, и многое подзабыл, а надо ЕГЭ в этом году сдавать.. Поначалу первые 10 уроков казались смешными, потому что до того легкие и так подробно разъяснены что даже первоклашке не составит трудности все выучить, но все же начал читать, и увидел не мало полезных и интересных способов решения про которые не говорили учителя в школе.. Спасибо Вам большое, объясняете понятно и доходчиво, и очень этим помогаете)) хотелось бы узнать будут ли в ближайшее время темы про функции, логарифм и интегралов, нахождения точек экстремума??
Доброго времени суток. Админ, хотелось бы еще знать, на данный момент 39 уроков, это тянет на какой класс если отталкиваться от школьной программы?
Здравствуйте.
На сайте смешанная программа, не привязанная к классам. В одном уроке могут затрагиваться темы как из младших так и из старших классов. Мы посчитали, что если изучать математику в такой последовательности, то можно выйти на более менее сносный уровень владения математикой, чтобы можно было увереннее себя чувствовать в школе или другом учебном заведении
А могли бы вы порекомендовать курс или книги которые помогли стать «настоящим» математиком(что бы это не значило), с полным обоснованием всех методов без эвристик, возможно даже с методами доказательств элементарных понятий
Мда, из 10 примеров решил правильно только половину. Придётся повторять сложение и вычитание рациональных чисел
Здравствуйте) Ваш сайт просто замечателен, аналогов не существует. Здесь все разбирается до мельчайших подробностей. С Вами изучение математики делается увлекательным и интересным занятием. Спасибо Вам огромное)))
Хотелось бы добавить:
1) Номер кошелька, чтобы каждый желающий мог поддержать проект
2) По возможности в некоторых темах больше заданий для самостоятельной работы
3)По возможности публиковать уроки немножко чаще
А в целом все отлично)))
А я помню из школьной программы такое правило:
Плюс на плюс дает плюс
Плюс на минус дает минус
Минус на плюс дает минус
Минус на минус дает плюс
Почему мы его не используем здесь?
100 рублей на то, что админу не составит большого труда улитку научить математике.
не верная ссылка на следующий урок
Замечательная подача материала! Спасибо!
Я студент-заочник, уже стар, для учёбы и двоечником в школе был. Мне очень повезло, что наткнулся на ваш сайт, он очень помогает мне в учёбе, всё так внятно и доходчиво, особенно с этой пиццей, прикольно так, прям для конкретных дурней, как я:) Но после ваших уроков чувствую себя Архимедом. Спасибо, даже не жалко поделиться и денежкой с телефона.