Для чего используют десятичную систему счисления

Десятичная система счисления

Система счисления — это способ записи (представление) чисел с помощью определённого набора письменных знаков.

Десятичная система счисления — это позиционная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Знаки, употребляемые для записи чисел, называются цифрами.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от её позиции в записи числа. Для примера возьмём число 777, которое состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает семь сотен, вторая — семь десятков, а третья — семь единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции в записи числа, десятичную систему счисления также называют позиционной.

Позиционной называют такую систему счисления, в которой значение цифры зависит от её позиции в записи числа.

Числа, которые записаны с помощью одной цифры, называют однозначными, записанные с помощью двух — двузначными, так же по количеству цифр в числе дают названия и другим числам:

Однозначные числа: 1, 2, 4.

Двузначные числа: 14, 77, 92.

Трёхзначные числа: 122, 345.

Шестизначные числа: 537633, 987345.

Двузначные, трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. числа называют многозначными.

Следует помнить, что цифра и число не одно и то же.

Цифра – это только письменный знак, используемый для записи числа. Число может быть обозначено не одной, а несколькими цифрами (например, 75) или может быть выражено словами (семьдесят пять).

Источник

Системы счисления. Позиционная система счисления десятичная.

Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в

виде позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел

позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали

Позиционная система счисления — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.

Примеры, стандартная 10-я система счисления – это позиционная система. Допустим дано число 453.

Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50,

а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение. Таким

образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Десятичная система счисления.

Здесь 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, однако информативная нагрузка не лишь у цифры, но и у места,

на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Первая цифра числа справа указывает на единицы, вторая

33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Десятичная позиционная система счисления является наиболее распространенной из всех систем. Конкретно ею мы

пользуемся, называя цену товара или номер автобуса. Во всех разрядах (позициях) можно использовать лишь одну цифру

от 0 до 9. Основание позиционной системы счисления – это число 10.

Один десятичный разряд в десятичной системе счисления бывает называют декадой. В цифровой электронике одному

десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

Позиционные системы счисления арифметические операции.

Таблица сложения в десятичной системе счисления.

Источник

Системы счисления

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Источник

Почему мы используем десятичную систему исчисления?

Система деления, приведенная в статье «Деление на части» удобна и практична, ее легко применять в повседневной жизни, и кое-кто даже жалеет о том, что в основе нашей системы исчисления лежит 10, а не 12. У числа 10 есть только два множителя, это 2 и 5. Десять не делится ни на 3, ни на 4. Единственная причина, по которой в основе системы оказалось число 10, – это то, что у нас по 5 пальцев на каждой руке. А вот если бы их было бы по 6…

У числа 10 есть одно преимущество перед 12. Число 10 делится на 5, а 12 – нет. Древние вавилоняне пытались соединить в одном числе все достоинства чисел 10 и 12. Такое число должно делиться не только на 2, 3, и 4, но и на 5. Наименьшим таким числом является 60. Это число используется и в астрономии. Год составляет 365 дней и несколько часов. Год – это то время, за которое Солнце совершает свой (кажущийся) круговой путь по небу относительно неподвижных звезд. Если полный круг разделить на величину пути, которое Солнце проходит за день (то есть на «путь-день»). Мы получим 365 долей круга.

У вавилонян год равнялся 360 дням (либо они неправильно вычислили продолжительность года, либо просто округлили 365 до 360 для удобства вычислений). С этим числом удобно работать, поскольку 360 – это 60х6. Поэтому они делили небесную сферу и другие круги на 360 равных частей, которые мы в наши дни называем градусами. Затем каждый градус они делили на 60 частей, которые мы называем минутами, а каждую минуту еще на 60 частей, на 60 секунд. Мы до сих пор придерживаемся вавилонской системы. Более того, поскольку время измеряется по движению крупных небесных тел на небосклоне, наш час разделен на 60 минут, а минута – на 60 секунд.

При подсчете времени мы находим также следы системы, основанной на 12. День и ночь разделены на 12 часов. В древности, до того как были изобретены часы, длина часа менялась в зависимости от времени года. Зимой дневные часы были короче, чем летом, а ночные длиннее. В наши дни продолжительность часа принята постоянной, поэтому летом светлое время длится дольше, чем зимой, ночное, наоборот, – короче.

Тем не менее на циферблате наших часов только 12 чисел, и, следовательно, мы определяем время между 1 часом ночи и 1 часом дня. (Принято считать время после 12 как 13, 14 и так далее часов, но обычно в быту мы не используем таких обозначений.)

Источник

Десятичная система счисления в информатике 8 класса

Использование десятичной системы счисления в информатике 8 класса не является общим заблуждением, поскольку она применяется также для кодирования информации. У нее вспомогательная роль, так как электронные вычислительные машины (ЭВМ) не обрабатывают ее напрямую, а декодируют в различные формы представления чисел. Чтобы понять суть, необходимо разобраться в некоторых теоретических аспектах.

Общие сведения

Привычной формой представления числовых величин является десятичная система счисления. Для изучения какой-либо темы специалисты рекомендуют внимательно ознакомиться с терминологией. Система счисления (СС) — набор математических символов (цифр, букв, различных элементов), при помощи которых можно записать какую-либо количественную характеристику.

Каждая форма представления имеет определенные характеристики. К ним относятся следующие:

Мощность — это количество информации, которое может закодировать система исчисления. Алфавитом называется определенное множество (набор) символов математического типа, используемых для записи величин. Очень часто он представлен в виде таблицы, состоящей из двух столбцов (в первом — величина системы, а во второй — ее перевод в понятный для человека формат).

Не все ученики понимают, что такое основание системы счисления. Чтобы понять суть этого термина, нужно знать определение. Основанием СС является некоторая величина, представленная в числовом формате и характеризующая саму форму представления. Для сравнения: у десятичной оно равно 10, у двоичной — двойке и т. д.

Название (понятие) «промежуточное» говорит само за себя, т. е. для того чтобы осуществить какую-либо операцию декодирования, нужно выполнить преобразование в одну форму представления, а затем в другую. Например, перекодирование десятичного числа в шестнадцатеричный код. При этом первое значение требуется перевести в двоичную форму, а затем из нее выполнить конвертацию в шестнадцатеричную СС. Далее необходимо разобрать виды систем счисления.

Классификация форм представления

Системы счисления в зависимости от размещения и значимости разрядов делятся на две группы. К ним относятся следующие:

Первые состоят из цифр и элементов английского алфавита. Их размещение выполнено в разрядной сетке, каждый элемент которой имеет определенный индекс значимости. Например, дано искомое число 879. С ним необходимо выполнить самостоятельный опыт, позволяющий понять зависимость положения цифр от их расположения. Для этого нужно записать значения, полученные при их комбинации, а именно:

Всего должно получиться пять величин. После составления списка нужно воспользоваться калькулятором. На нем необходимо отнимать каждое из чисел от исходного значения. После проведения опыта можно сделать вывод о том, что размещение цифр влияет на значение величины, т. к. числа не равны между собой. О последнем факте свидетельствуют значения, отличные от нуля, т. к. разность равных величин эквивалента 0.

К позиционным формам представления можно отнести следующие системы счисления: двоичную, троичную, пятеричную, шестеричную, семеричную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную. Все они, кроме десятичной, образуют группу недесятичных систем. Однако на практике часто применяются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (HEX).

К унарным принадлежат системы, у которых разряды не зависят от положения. Простой пример из жизни – подсчет количества ведер картошки при сборе урожая посредством палочек или крестиков. Последние всегда равны одному значению, а при их перестановке ничего не изменяется.

Структура числа

Структура числа — это его форма представления в виде разрядной сетки. Последняя состоит из цифр (в hex могут присутствовать еще и литеры английского алфавита), расположенных на определенных позициях.

Не все ученики понимают четкое отличие числа от цифры. Следует отметить, что последняя применяется для построения чисел. Это утверждение позволяет понять, сколько цифр в десятичной системе счисления. Ответ очевиден — их всего десять, а именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для более удобной записи следует применять интервалы, т. е. [0;9].

Каждое число можно представить в виде степеней, т. е. разрядной сетки. Для примера требуется разобрать величину «1286». Ее можно «развернуть» следующим образом:

Теперь все четыре компонента нужно сложить в одно целое, т. е. первому элементу списка эквивалентна десятка в нулевой степени (единицы, поскольку любое число с нулевым показателем равно 1), второму – 10^1, третьему —10^2 и четвертому – 10^3.

Перед каждой десяткой должен стоять определенный коэффициент, эквивалентный цифре в числе, а именно: 6*10^0 + 8*10^1 + 2*10^2 + 1*10^3=6+80+200+1000=1286. Далее необходимо разобрать применение десятичной системы в информатике.

Такое же правило касается и двузначного кода. Например, числа [1110001] <2>и [1100011] <2>являются различными. Чтобы в этом убедиться, необходимо величины перевести в десятичную форму, то можно сделать вывод: 113 > 99. Очень часто преподаватели дают задание молодым математикам написать реферат о десятичной форме числа. Этот прием позволяет понять саму суть темы.

Применение в информатике

Десятичная форма практически не применяется в информатике в явном виде. Все алгоритмы, разработанные специалистами, позволяют только понять суть кодирования и декодирования информации в компьютерах и прочих устройствах вычислительной техники.

Следует отметить, что результат вычислений, который выдает ЭВМ при расчетах, в десятичном представлении необходим только человеку для удобства. Десятичная система является вспомогательной при реализации алгоритмов перевода числовых элементов из одной формы в другую.

Кроме того, в интернете существует много различных приложений для конвертации одной формы величин в другую. Специалисты рекомендуют использовать эти средства только для проверки результата на начальной стадии обучения.

Пример решения задачи

В информатике существует определенный тип задач. Они позволяют подготовить учеников к более сложным дисциплинам. Примером одной из них является программирование. Для написания программ нужно предварительно разработать соответствующий алгоритм.

Для примера требуется составить порядок действий для написания программы разложения любого числа на компоненты разрядной сетки. Методика выглядит следующим образом:

Следует отметить, что методика позволяет работать с десятизначными числами и более. Количество цифр не имеет значения. Это значит, что алгоритм можно применять для любых величин с неограниченным количеством знаков. Математики рекомендуют самостоятельно придумать числа и прогнать их по алгоритму.

Таким образом, десятичная система применяется в информатике для выполнения промежуточных вычислений, понятных пользователю персонального компьютера или другого типа вычислительных устройств.

Источник