Для чего используются величины безразмерного давления и безразмерного времени

ГРАНИЦА ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ

Эффект границы постоянного давления может наблюдаться в течение ГДИС в нескольких случаях, когда:

· зона сжимаемости достигает газовой шапки (рис. 7.6.1);

· зона сжимаемости достигает законтурной области, причем мобильность воды в ЗО намного больше мобильности нефти в пласте (рис. 7.6.1).

Также подобный эффект проявляется при исследовании скважины, которая располо­жена по соседству с нагнетательной скважиной.

Граница постоянного давления может быть получена аналитически с помощью метода суперпозиции.

Фиктивная скважина располагается симметрично по отношению к границе на расстоянии 2d от исследуемой скважины.

Дебит фиктивной скважины противоположен по знаку дебиту исследуемой скважины (рис. 7.6.2).

Применяя метод суперпозиции, падение давления в исследуемой скважине будет равно сумме двух слагаемых:

Традиционный метод анализа

Итак, падение давления равно (при условии, что ВСС закончилось):

До тех пор, пока зона сжимаемости не достигает границы, параметр (2r_D) 2 /4t_D велик, и вторым слагаемым можно пренебречь:

То есть в начальные моменты времени пласт ведет себя как бесконечный.

В реальных переменных падение давление равно:

То есть давление в скважине остается постоянным, не зависит от времени.

Так же, как в случае одной непроницаемой границы, можно использовать два метода, чтобы определить расстояние до границы постоянного давления:

· с использованием точки пересечения t_i; прямой линии наклона m на полулогрифмическом графике и горизонтальной прямой линии, соответствующей границе постоянного давления;

· с помощью понятия радиуса исследования.

Приравнивая два уравнения прямых линий, получим следующее уравнение для расстояния до границы постоянного давления:

Если вторая прямая линия не достигается, для определения расстояния до границы можно использовать понятие радиуса исследования на момент t_r, когда данные по давлению покидают прямую линию наклона т:

ЗАМКНУТЫЙ ПЛАСТ

До тех пор, пока зона сжимаемости не достигла границ пласта, пласт ведет себя как бесконечный, мы наблюдаем неустановившийся режим течения.

Когда пласт замкнутый и зона сжимаемости достигла всех границ, причем границы непроницаемые, режим течения становится псевдоустановившимся.

Непроницаемые границы определяют зону дренирования скважины.

Границы зоны дренирования скважины могут представлять собой (рис. 7.7.1):

· физические барьеры: непроницаемые разломы, литологическое замещение и т.д.;

· фиктивные барьеры, возникающие в результате добычи из соседних скважин,

В соответствии с формулой Dietz положение границы между скважинами зависит от дебитов скважин и от эффективной мощности и пористости в каждой зоне дренирования:

С момента наступления псевдоустановившегося режима течения забойное давление меняется линейно со временем.

В безразмерных переменных зависимость давления от времени принимает вид;

Существуют таблицы факторов формы, соответствующих различным конфигурациям пласта(табл. 7.7.1, приложение А1).

Так, например, для скважины, находящейся в центре кругового пласта, коэффициент С_А=31.62, и безразмерное давление принимает вид;

где — радиус зоны дренирования.

Из таблицы можно также заметить, что максимальное значение фактора формы соответствует круговому пласту со скважиной в центре. Маленькие значения С_А соответствуют вытянутым пластам со скважиной, смещенной относительно центра.

Традиционный метод анализа

В реальных переменных в случае псевдоустановившегося течения забойное давление зависит от времени следующим образом:

(7.7.1)

Это уравнение типа

Наклон m* прямой линии используется для определения величины площади зоны дренирования А либо дренируемого порового объема hAj(рис. 7.7.2).

Значение Р₀ используется для определения фактора формы С_A. Площадь зоны дренирования А равна:

(7.7.2>

Фактор формы С_А равен:

Сравнивая полученное значение для фактора формы со значениями в таблице возможно определить конфигурацию «скважина-пласт», соответствующую исследованию,

Таблица факторов формы (табл. 7.7.1; приложение) может быть также использована с целью определения безразмерного времени t_DA, соответствующего концу неустановившегося режима течения или началу псевдоустановившегося течения для определенной конфигурации «скважина-пласт»:

· пятая колонка «Exact for t_DA >» в таблице указывает точное безразмерное время начала псевдоустановившегося режима течения;

· шестая колонка показывает безразмерное время начала псевдоустановившегося

· режима течения с ошибкой меньшей 1%.

· седьмая колонка дает безразмерное время окончания неустановившегося течения с ошибкой меньшей 1%.

Производная

Поскольку давление зависит линейно от времени в течение псевдоустановившегося режима течения, данный режим течения характеризуется прямой линией наклона 1 на билогарифмическом графике производной давления (рис. 7.7.3).

Форма производной между радиальным режимом течения и псевдоустановившимя режимом течения зависит от формы дренируемого участка и положения скважины в нем. Форма переходного участка может быть использована для идентификации конфигурации «скважина-пласт» (рис. 7.7.4).

Когда скважина в замкнутом пласте закрыта на КВД, давление в конце концов восстанавливается до среднего значения и стабилизируется, в то время как давление при КПД уменьшается линейно со временем.

Постепенная стабилизация давления «заставляет» производную стремиться к нулю (рис.7.7.5).

Подобное поведение характерно и для КПД и для КВД в случае пласта с границей постоянного давления (рис, 7.6.4).

Среднее давление, метод МВН

Экстраполяция прямолинейного участка прямой в полулогарифмических координатах для случая исследования скважины по методу КВД дает так называемое экстраполированное давление Р*.

Это значение давления при (tp+Dt)/Dt=1 на графике Хорнера (рис. 7.7.6).

Если во время работы скважины зона сжимаемости не достигла каких-либо границ, то давление Р* остается очень близким к первоначальному давлению пласта в зоне дренирования скважины.

Если перед закрытием скважина работала в течение очень длительного периода времени, среднее давление в зоне дренирования скважины значительно снижается. В этом случае для того, чтобы определить среднее давление на момент закрытия скважины, величину Р* необходимо скорректировать на «эффект добычи».

Давление внутри замкнутого пласта может быть вычислено с помощью метода суперпозиции с использованием фиктивных скважин, как и раньше. Давление может быть представлено в виде:

С другой стороны, используя уравнение материального баланса, можно записать:

Комбинируя два последних выражения, получаем формулу, которая используется для нахождения среднего давления:

Функция F(t_p) может быть вычислена для разных конфигураций «скважина-пласт». Она используется для определения среднего давления в пласте на основе информации о следующих параметрах:

· геометрия и размеры дренируемой площади;

· положение скважины относительно границ;

· наклон m прямой линии на полулогарифмическом графике;

· экстраполированное давление Р*;

· время работы скважины до закрытия t_p.

Matthews, Brons и Hazenbroek (MBH) вычислили и построили графики для функции

для различных конфигураций «скважина-пласт» (рис. 7.7.7; приложение).

С помощью этих палеток можно определить среднее давление в пласте.

ПРОЦЕДУРА НАХОЖДЕНИЯ СРЕДНЕГО ДАВЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ МВН:

1. Вычислить время достижения псевдоустановившегося режима течения:

Зная форму пласта и расположение скважины в нем, определяется из таблицы факторов формы Dietz, столбец «Exact for t_DA» для соответствующего С_А.

2. Строим график Хорнера, используя меньшее из t_p и t_sss—

4. Вычисляем t_pDA, используя меньшее из tp и t_SSS:

5. Из графика определяем _{PD МВН}.

6. Вычисляем среднее давление:

На палетках маленькими вертикальными стрелками обозначено время начала псевдоустановившегося режима течения (рис. 7.7.7).

Видно, что с момента достижения псевдоустановившегося режима течения графики прямолинейны, то есть P_{D мвн} зависит линейно от log t_pDA.

Эта зависимость имеет вид:

Отсюда, если перед закрытием скважина вышла на псевдоустановившийся режим течения, то среднее давление можно найти по формуле:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 7

1. Каким образом непроницаемая линейная граница отражается в данных давления?

2. Какие два подхода существуют для определения расстояния до границы?

3. Перечислите режимы течения, которые можно наблюдать при исследовании скважины, находящейся в канале.

4. График в каких координатах используется в традиционном методе анализа данных ГДИС в скважине, находящейся в канале, для анализа линейного режима течения?

5. Какие параметры позволяет определить традиционный метод анализа в случае линейного режима течения?

6. Какой характеристический признак производной соответствует линейному режиму течения?

7. Каким образом две непроницаемые границы отражаются в данных давления? Какую информацию можнополучить из анализа данных ГДИС в данной ситуации?

8. Как ведет себя давление в случае присутствия в пласте границы постоянного давления? Как это отражается на производной давления?

9. Какой график используется для анализа данных ГДИС в случае псевдоустановившегося режима течения, характерного для случая замкнутого пласта? Какую информацию о пласте можно получить из анализа этого графика?

10. Какой характеристический признак производной соответствует псевдоустановившемуся режиму течения для случая ГДИС по КПД? Как ведет себя производная при исследовании по КВД?

11. От каких величин зависит разница между экстраполированным значением Р* и средним давлением в методе МВН?

Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 2368; Нарушение авторского права страницы

Источник

ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ

Особенности структуры потока, свя­занные с продольным перемешиванием, одновременно связаны с неравномер­ностью времени пребывания. Поэтому один из лучших способов определить, какова структура данного потока,— это исследовать в нем распределение вре­мени пребывания.

Задача заключается в следующем. Через аппарат движется поток. В ка­кой-то момент мы отбираем на выходе пробу жидкости. И теперь хотим узнать, какая доля жидкости в этой пробе во­шла в аппарат секунду назад, какая — две, три, четыре и т. д. Но как это сделать? Ведь разные частицы пробы для нас неразличимы. Давайте сделаем их различными. Для этого выделим сре­ди всех частиц потока те, которые во­шли в аппарат в какой-то определен­ный момент. С этой целью мы их по­метим. Обычно это делается так. В опре­деленный момент (в дальнейшем будем принимать его за начало отсчета вре­мени, τ=0) в жидкость на входе ко­ротким импульсом добавляется малое ко­личество добавки-индикатора (ее назы­вают также «трассер»). Теперь, если на выходе появится меченая частица, нам будет точно известно, когда она вошла в аппарат и, следовательно, сколько вре­мени она в нем пробыла. Нам доста­точно получить лишь зависимость кон­центрации индикатора на выходе из ап­парата от времени (с_и от τ), поскольку она в определенном смысле представ­ляет собой портрет распределения време­ни пребывания.

Что можно использовать в качестве индикатора? Эта примесь должна обла­дать следующими свойствами. Во-пер­вых, она не должна влиять на движе­ние потока. Отсюда прежде всего сле­дует, что индикатора нужно добавлять очень мало. Во-вторых, с индикатором внутри аппарата ничего не должно про­исходить: он не должен вступать в реак­цию, оседать на стенках и внутренних деталях аппарата. Единственное его на­значение — двигаться вместе с мече­ными частицами. Наконец, в-третьих, он должен быть легко идентифицирован на выходе.

Если движущаяся в аппарате фаза — вода, то индикатором может быть рас­твор красителя (на выходе мы поста­вим колориметр) или раствор электро­лита (на выходе — измеритель элект­ропроводности, кондуктометр). Если дви­жется воздух, то в качестве примеси ча­ще всего используют газ, сильно отли­чающийся по теплопроводности: гелий (теплопроводность велика) или СО₂ (теплопроводность мала). На выходе — датчик теплопроводности.

Теперь подробнее исследуем зависи­мость С_и от τ. Рассмотрение этого вопроса существенно упрощается, если привести С_и и τ к безразмерному (приведенному) виду. Операция приведения очень широ­ко распространена в физике, и сейчас мы немного отвлечемся, чтобы поговорить об этом.

Что значит измерить какую-то вели­чину? Это — сравнить ее с неким эта­лоном. Измерить длину — сравнить дли­ну данного предмета с длиной платино­вой линейки, хранящейся в Севре (или, более современно, с длиной волны из­лучения, полученного в строго определен­ных условиях). Измерить массу — опять же сопоставить массу предмета с массой эталона килограмма и т. д. Каждый раз эталон — нечто совершенно чуждое данному конкретному измерению и зато об­щее всем измерениям данной величины.

Если теперь попытаться по этим дан­ным восстановить фигуру, то ока­жется, что полученный набор чисел оди­наково хорошо подходит и к самому человеку, и к статуэтке высотой 20 см, и к статуе в два человеческих роста. Эти числа определяют не размер пред­мета, а только его пропорции. При таком способе измерения все подобные пред­меты неразличимы.

Хорошо это или плохо? С одной сто­роны, описание внешности оказа­лось явно неполным. Вы так и не поняли, какого он роста (скрывать не станем — 180 см). Лишь после указания роста этот набор чисел оказался связанным с эталоном, а значит, и с остальными предметами окружающего мира. Но зато получена характеристика, обладающая общностью: ею описывается не только конкретный человек, но и ряд возмож­ных его изображений в разных масшта­бах.

Эти соображения оказались особенно важными после того, как понятие подо­бия удалось распространить на все фи­зические величины и явления. Можно говорить о подобии движения в потоках, подобии протекания химических реак­ций и т. д. Около века назад оформи­лась теория подобия, анализирующая яв­ления с позиций их подобия. Одна из важнейших возможностей, даваемых этой теорией, как раз и заключается в обобщенном характере описаний — описав поведение одного объекта, мы получаем характеристику любого объек­та, подобного данному; достаточно толь­ко учесть его размер (масштаб). Если наш первый объект — модель какого-то практически важного оригинала, то тео­рия подобия определяет правило пере­носа полученных зависимостей с моде­ли на оригинал и, таким образом, является одной из основ моделирования.

Одна из особенностей теории подо­бия — использование безразмерных ве­личин, т. е. величин, не связанных с об­щими эталонами, о которых говорилось вначале (размерность, по сути дела,— это и есть соотнесение с эталоном). Про­стейший способ получения безразмерной величины уже рассмотрен нами: сопо­ставление результатов измерения с при­нятым за единицу внутренним эталоном (в рассмотренном примере это был рост), характеризующим данную конкретную задачу. (Есть и более сложные способы: так, использованное нами при описании турбулентного потока число Рейнольдса, по сути, представляет собой безразмер­ную скорость.)

Теперь вернемся к распределению времени пребывания. Чтобы выразить τи С_и в безразмерном виде, выберем внут­ренние эталоны (единицы). В качестве единицы времени естественно принять среднее время пребывания =V_P/V_C Без­размерное время т для любого момен­та / будет равно

τ=τ/ . (22)

Единица концентрации Со определяет­ся следующим образом. Обозначим ко­личество индикатора, введенное на вхо­де, g₀, тогда

(23)

Для безразмерной концентрации С ин­дикатора на выходе имеем C=C_и/С₀

Переход от переменных τ, С_И к безраз­мерным τ и С сразу же позволяет рас­пространять полученные результаты на группу подобных друг другу случаев. Особенно ясно это преимущество в отно­шении величины с„. Ведь с_и пропорцио­нально g_о, т. е. чем больше мы введем индикатора, тем большую концентрацию получим; но g_о — величина, не имеющая отношения к характеру потока, связан­ная со случайными обстоятельствами опыта. В то же время С не зависит от этих обстоятельств. Использование τ так­же удобно: установив условия подобия (в ряде случаев это удается сделать), мы получаем одинаковое описание и не­большой лабораторной модели с малым средним временем пребывания, и боль­шого промышленного аппарата, где вре­мя велико. Есть и другое преимущество безразмерных переменных, но о нем мы поговорим немного позже.

Рис. 10. Зависимость безразмерной концентрации от безразмерного времени

Итак, наш опыт с вводом индикатора дал зависимость С от τ. Типичный (хотя далеко не единственно возможный) гра­фик функции С(τ) показан на рис. 10. Вначале на выходе нет индикатора. За­тем появляются первые его порции — те, которые метят частицы с наимень­шим временем пребывания. Потом С ста­новится больше, проходит через макси­мум и начинает убывать: основная мас­са индикатора прошла, и выходит то, что задержалось в зонах циркуляции и за­стоя. Через достаточно большое время концентрация С практически падает до нуля, хотя теоретически не исключается и асимптотический характер приближения кривой зависимости к нулю.

Дальнейшее выяснение физического смысла функции С(τ) связано с одним из фундаментальных понятий современ­ной математики — случайной величиной, о которой заранее нельзя точно сказать, какое значение примет она при нашем измерении. Мы не знаем, сколько зерны­шек окажется в арбузе, который соби­раемся разрезать; не знаем, каким будет время пребывания какой-то одной части­цы из числа тех, которые в данный момент входят в аппарат. И число зерны­шек, и время — случайные величины.

Но чтобы наша величина в качестве случайной стала предметом научного рассмотрения, необходимо, чтобы экспе­римент по ее измерению можно было проводить многократно, и каждый раз эта величина должна оставаться случай­ной. Например, мы заранее не знаем, сколько гор окажется на Титане — спут­нике Сатурна. Но это не случайная вели­чина: один раз сосчитаем и будем знать навсегда.

Важнейшая характеристика случай­ной величины — вероятность. Строго определить, что это такое, очень сложно. Нас удов­летворит приблизительное описание, не претендующее на строгость. Вероят­ность показывает, как часто в изме­рениях будет получаться данное значе­ние величины. Но ведь величина — слу­чайная, и в разных сериях измерений частота ее появления окажется различ­ной (иначе мы заранее бы знали, когда что получится). Это верно; но если числе измерений будет становиться все больше и больше, то эта частота окажется во ближе и ближе к вероятности. Вероятность и есть в некотором (не вполне строгом) смысле тот предел, к которому стремится частота при увеличении числа измерений и вокруг которого она колеблется в различных сериях.

Вероятность Р любого значения случайной величины заключена в предела от 0 до 1. Если Р=0, то данное значение практически никогда не появится в измерениях. Если Р=1, то во всех измерениях наверняка будет получаться именно данное значение. Например, если мы станем подсчитывать количество певчих птиц в ближайшей роще, вероятность того, что их число составит 10 9 равна 0 (наверняка в роще не поместится миллиард птиц). Вероятность, равна 1, характеризует величины неслучайные. Так, сейчас у Земли с вероятностью имеется один крупный естественный спутник. В некоторых простых ситуациях определить вероятность можно исходя и числа возможных равновероятных результатов измерений. Скажем, при бросании игральной кости (кубика) вероятность того, что выпадет 5, равна 1/6. Для шести возможных вариантов вероятность того, что выпадет хотя бы один из них, равна 1, а вероятность любого конкретного варианта в 6 раз меньше. Все примеры, рассмотренные в преды­дущем абзаце, относятся к одному клас­су случайных величин, так называемым дискретным. У этих величин их возмож­ные значения — не любые, а отделены друг от друга каким-то интервалом. Число птиц, спутников, число очков при бросании кости — обязательно целые числа. Не может быть у планеты, скажем, 2,3 спутника. Есть дискретные величины, где интервал и не целый. Например, суммарный спин систем электронов мо­жет принимать значения, отделенные друг от друга интервалами, кратными ½. Но в любом случае у дискретных величин эти интервалы есть.

Другой случай — непрерывные слу­чайные величины, к ним относятся мас­са, время, скорость и т. п. Здесь в неко­торой области может получиться любое значение. Время может составить 1 с, 2 с, но может и 1,08356 с, и какое угодно другое значение.

Для непрерывных случайных величин вероятности приходится задавать по-осо­бому. Дело вот в чем. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-то точно заданное значе­ние, всегда равна 0. Как же так? Ведь какое-то значение обязательно получит­ся. Да, но это будет не то значение, которое мы заранее задали. Мы задали 1,5, а получилось 1,5000001. И даже если получили 1,5000000, никогда нельзя ру­чаться, что еще через 200 знаков не поя­вится какой-то, отличный от нуля. Беско­нечный диапазон возможных значений, как угодно близких к заданному, и при­водит к тому, что для заданного значе­ния получаем Р=0.

Но нельзя же сказать, что все значе­ния непрерывной случайной величины равновероятны. Вероятность того, что масса яблока, сорванного с дерева, ока­жется равной точно 200 г, равна 0. Веро­ятность того, что эта масса окажется рав­ной точно 200 кг, тоже равна 0. Но ясно, что это в каком-то смысле разные нули: яблоко в 200 г нас не удивит, яблоко в 200 кг совершенно невероятно.

Для того чтобы определить вероят­ность значения непрерывной случайной величины, это значение надо задать не точно, а с каким-то интервалом. Вероятность того, что масса яблока окажется в пределах от 200 до 200,1 г уже не равна нулю, хотя и мала (потому что мал интер­вал в 0,1 г).

Записывается этот способ определе­ния вероятности так:

Смысл формулы (25) таков. Здесь X —. случайная величина; х — какое-то ее зна­чение; dx— бесконечно малое прираще­ние (дифференциал) значения х. Левая часть обозначает вероятность того, что величина х окажется в интервале от х до х+ dx. Теперь обратимся к правой части. Множитель их введен сюда пото­му, что чем больше интервал, тем ско­рее «попадет» в него величина. Функция f(x)отражает то обстоятельство, что раз­ные значения х не равновероятны (точ­нее, что вероятность попасть в интервал шириной dx зависит от того, где на оси х расположен этот интервал). Эта функ­ция называется плотностью вероятности случайной величины.

Так вот, функция С(τ), оказывается, представляет собой плотность вероят­ности времени пребывания. Если выра­зить время не в приведенных, а в раз­мерных единицах, то

(26)

где С(τ) — та же самая безразмерная концентрация индикатора (делать ее раз­мерной нет смысла).

Как же можно использовать получен­ную плотность вероятности, т. е. функцию С(τ) или f(τ)? Прежде всего для ряда случаев знание этой функции позволяет непосредственно рассчитать ход химиче­ской реакции. Так, протекание реакции первого порядка (см. формулы 13, 16, 18) в потоке, где распределение времени пре­бывания характеризуется плотностью ве­роятности f(τ), дает на выходе такое значение концентрации реагента:

(27)

Рассчитать этот интеграл не так уж сложно, для чего, например, можно по­строить график функции от τ=0 до того значения τ, при котором эта функция для нас неотличима от нуля. Площадь под графиком приближенно равна искомому интегралу. В практиче­ских целях обычно пользуются более быстрыми и точными методами числен­ного интегрирования. Формула (27) по­казывает, что в этом простом случае для расчета процесса достаточно знать урав­нение скорости реакции (13) и функцию f(τ), которую можно получить из опыта с пропусканием индикатора.

В более сложных случаях не всегда можно получить аналогичную формулу. Тогда использование непосредственно функции C(τ)или f(τ)может быть затруднительно. Проще поступать по-другому: рассчитать на основе этой функ­ции некоторые характеристики времени пребывания как случайной величины и дальше пользоваться для анализа этими характеристиками.

Чаще всего рассчитывают две основ­ные характеристики. Первая характери­зует среднее значение случайной вели­чины. Раз величина случайная, то и получаемые для нее значения оказыва­ются разными. Но какова она в сред­нем? Около какого среднего колеблются отдельные ее значения? Оказывается, в теории вероятностей можно определить несколько разных средних. Но чаще все­го пользуются характеристикой, которая еще с XVII в. носит название мате­матическое ожидание. Название сегодня мало о чем говорит. Когда-то оно означа­ло ожидаемый средний выигрыш в азарт­ной игре. Азартные игры, особенно кос­ти, оказались прекрасной моделью, на которой изучали свойства вероятностей первые исследователи в этой области. Сейчас интересы математиков перемести­лись на совсем иные вопросы, а термин остался. По существу, математическое ожидание — то же самое, что среднее арифметическое, только записанное так, чтобы можно было рассчитать его через вероятности. Поэтому в дальнейшем бу­дущем будем называть его просто сред­ним и обозначать чертой над усредняе­мой величиной.

Среднее значение безразмерного вре­мени пребывания определяется формулой

(28)

Но эта формула практического интереса не представляет. Дело в том, что, приво­дя время к безразмерному виду, мы при­няли среднее время за единицу. И если дальше все правильно, то формула (28.) должна тождественно приводить к ре­зультату =1. Гораздо интереснее фор­мула, которую можно вывести из (28), позволяющая рассчитать Г из результа­тов опыта с вводом индикатора

(29)

Можно возразить — величину гораздо быстрее и про­ще рассчитать по формуле (11). Зачем такие сложности?»

Формула (29) сложна, это верно. Но зато ее можно использовать тогда, когда неизвестен объем, занимаемый потоком. А затем при помощи формулы (11) опре­делить этот самый неизвестный объем.

Работать таким методом первыми на­чали, по-видимому, спелеологи. Во мно­гих местах (например, на Южном берегу Крыма) важную роль играют речки, вы­текающие из подземных озер, спрятан­ных в пещерах. Такое озеро служит при­родным водохранилищем, и его объем важно знать для прогноза поведения реки. Но далеко не всегда удается об­мерить озеро непосредственно. Тогда к пещере отправляется экспедиция. Экспе­диция делится на два отряда. Один оста­навливается наверху, в том месте, где река выбивается из-под земли. Замерив расход воды в реке, он ждет. Другой от­ряд спускается в пещеру. И в заранее обусловленное время (например, ровно в полночь) спелеологи выливают в устье той подземной речки, которая впадает в озеро, бутылку индикатора. Чаще всего используют флюоресцеин. Даже очень разбавленные его растворы ярко флюо­ресцируют — светятся красивым зеле­ным светом. Начиная с момента ввода индикатора, наземный отряд каждые полчаса (или час, или 10 минут в за­висимости от ожидаемых размеров озера и от расхода воды) отбирает пробы воды для анализа на индикатор. Нужно сказать, зрелище это очень красивое и немного жуткое:

вся вода в реке све­тится изумрудным сиянием. Говорят, жители глухих уголков Пиренеев, где та­кие опыты проводил знаменитый фран­цузский спелеолог Н. Кастере, никак не могли решить, кто же эти странные люди, заставляющие светиться реки: посланцы сил добрых или дьявольских.

В химической технологии и, близких к ней отраслях объем аппарата всегда известен. Поэтому здесь такая задача встает лишь тогда, когда поток зани­мает не весь объем. Так, часто через аппарат движутся два потока: сверху — жидкость, а снизу — газ или пар. При этом скорость газа велика, и его вре­мя пребывания мало. А вот жидкость находится в аппарате значительно доль­ше, и если обрабатываемые вещества способны разлагаться, то желательно сделать время пребывания минималь­ным. Поэтому стоит подобрать такой режим работы, когда объем, занимаемый стекающей жидкостью, невелик и в со­ответствии с уравнением (11) мало вре­мя пребывания. При отладке такого ре­жима эксперимент с вводом индикатора может сослужить неоценимую службу.

Другой пример, когда, наоборот, ма­лое значение I является грозным призна­ком — это случай образования козла в шахтных печах.. Название звучит не­сколько комично, но в самом явлении ве­селого мало. Козел в печи — это при­липший к стенке или к деталям конст­рукции материал, на который налипают еще и еще порции; постепенно образует­ся большой ком, давящий на стенку, перегораживающий путь материалу. Ес­ли вовремя не принять меры, козел может стать таким большим, что при­ведет, к аварии с весьма тяжелыми по­следствиями. В домне, например, козел может весить много тонн. Такая махина способна обрушить футеровку печи, что потребует остановки на капитальный ре­монт и причинит громадные убытки.

Самый простой способ обнаружить зарождающийся козел, основан на том, что он, перегораживая путь части дви­жущейся в печи шихты, образует застой­ную зону, а это ведет к уменьшению ра­бочего объема и соответственно .

Теперь еще об одной характеристике случайной величины, очень важной для анализа структуры потока. Это характе­ристика разброса относительно среднего. Если трехкилограммовый пакет с кар­тофелем содержит 30 клубней, то средняя масса клубня составит 100 г. Но для нас не все равно, будут ли все 30 клубней при­близительно по 100 г (скажем, колебать­ся от 80 до 120 г) или в пакете будут лежать два гигантских клубня по 1,2 кг, а остальные 28 клубней — мелочь примерно по 20 г. В первом случае все зна­чения массы близки к среднему, во вто­ром наблюдается сильный разброс во­круг него. Наиболее принятая в теории веро­ятностей мера разброса — дисперсия, представляющая собой среднее значение квадрата отклонения случайной величи­ны от ее математического ожидания (оказалось удобнее изучать квадраты от­клонений, чем сами отклонения). Если нам нужно оценить не квадрат, а само отклонение, то достаточно извлечь из дисперсии корень квадратный и получим среднее квадратичное отклонение.

Формула для расчета дисперсии без­размерного времени пребывания имеет вид

(30)

В подавляющем большинстве случа­ев, чем больше дисперсия, тем дальше поток от идеального вытеснения. Для того чтобы яснее представить себе это, рассмотрим плотности вероятности для тех типов потока, которые были рассмот­рены раньше.

Для идеальных потоков графики С(т) показаны на рис. 9. Для идеаль­ного вытеснения, строго говоря, график построить нельзя. Действительно, опи­шем поведение индикатора, движущегося с потоком в аппарате идеального вытес­нения. При этом нам придется учесть од­но свойство плотности вероятности (фи­зически достаточно очевидное), согласно которому всегда

(31)

Левая часть выражения (31) задает вероятность того, что время пребывания частицы в интервале от 0 до ∞ примет какое-то значение, что будет в любом слу­чае, поэтому соответствующая вероят­ность и равна единице.

Теперь рассмотрим движение индика­тора. Для любого τ 1; все меченые частицы уже вышли. При τ= 1 все частицы выходят одно­временно. На графике должен быть скачок вверх-вниз (пик), причем ширина этого пика равна нулю. Но мы уже гово­рили, что интеграл равен площади под кривой. Уравнение (31) требует, чтобы эта площадь была равна 1; тогда высоту пика придется считать бесконечной. Очень странная получается функция: всюду, кроме одной точки, она равна нулю; а в этой точке — бесконечный пик с площадью, равной 1. До начала нашего века такое, пожалуй, и функцией бы не назвали. Потом эта функция остро понадобилась физикам, и один из вели­чайших физиков XX в. П. Дирак ее ввел и назвал дельта-функцией. То, что по­казано на рис. 11, лишь весьма отдален­ное подобие дельта-функции, которую точно изоб­разить невозможно.

Для идеального смешения функции С(т) совсем другая. Она описывается формулой

Тоже довольно необычная зависимость. В этом потоке наиболее вероятно, что время пребывания частицы окажется очень близким к нулю: не успеет она войти в аппарат, как идеальная мешалка перекинет ее к выходу, и частица покидает аппарат, не успев принять учас­тие в реакции (об этом мы уже гово­рили). Наряду с такими частицами есть и другие, хотя и в гораздо мень­шем количестве. Они долго странствуют по аппарату, перемешиваемые по всему объему, и теоретически на выходе могут найтись частицы, вошедшие в аппарат как угодно давно.

Дисперсия времени пребывания для потока идеального вытеснения равна нулю, здесь никакого разброса вокруг среднего нет. Для потока идеального смешения а 2 (т) = 1. Расчет легко провес­ти по формулам (30) и (32).

Рис. 10. Плотность вероятности времени пребывания для каскада аппаратов смешения

. Графики на рис. 10 построены с учетом того, что — среднее время пребывания во всем каскаде, рассмат­риваемом как один аппарат. Уже при п=2 график непохож на идеальное сме­шение (п=1):С=0 при τ=0, а затем кривая проходит через максимум. Чем больше п, тем круче и выше пик; как мы уже отмечали, предел n → ∞­ coответствует переходу к дельта-функции.
Интересно выражение для дисперсии:

(33)

Довольно часто понятие каскада ис­пользуют в качестве схемы, с той или иной степенью приближения описываю­щей реальный поток, отличающийся от обоих идеальных типов. Тогда один аппарат каскада рассматривают как участок аппарата (ячейку). Такую схему называют ячеечной моделью потока. Экс­перимент с вводом индикатора позво­ляет по формуле (33) легко определить параметр модели — число ячеек, при ко­тором схема лучше всего соответствует нашему потоку.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник