Для чего нужен логарифм
Для чего нужны логарифмы?
Слово «логарифм» многие бывшие ученики общеобразовательных учреждений помнят со школьных уроков математики. Эта тема некоторым из них казалась сложной и непонятной. Не все из них действительно поняли, что такое логарифмы и для чего они нужны. Попробуем разобраться в этом вместе с вами.
Конечно, в математике есть определение этого слова, но оно не всем может показаться понятным. Логарифмирование – это действие, которое обратно возведению в степень. Неподготовленному человеку трудно понять, что означают эти слова, и какая от всего этого польза.
Что же это такое и как с этим можно работать?
Допустим, нужно найти х в уравнении 5 х = 12. В этом случае х будет равен числу, в которое надо возвести 5, чтобы получилось 12. Используя логарифм, этот пример будет звучать так: х равен логарифму 12 по основанию 5. А выгладит уравнение так: х = log512. Если произвести вычисление на калькуляторе или компьютере, то получается иррациональное число. Чтобы было легче работать с такими числами, и создали такую математическую конструкцию, как логарифм.
Говоря простым языком, они нужны для упрощения трудных вычислений. Логарифмы обладают важными свойствами, благодаря которым умножение можно заменить простым сложением, а извлечение корня и его возведение в степень можно преобразовать в умножение и в деление.
Применение свойств логарифмов в жизнедеятельности человека
Если логарифмы имеют одинаковое основание, то их сумма равна логарифму произведения, а разность – частного. И получается, что при математических действиях со сложными иррациональными числами, результатом становятся привычные всем натуральные числа. Если основания логарифма разные, то их можно преобразовать по формулам перехода к новому основанию.
Для упрощения подобных вычислений были созданы логарифмические таблицы. С их помощью можно было легко умножать числа, складывая их логарифмы. Более 300 лет такие таблицы расширялись и уточнялись многими математиками. С появлением возможности электронных вычислений, пользоваться логарифмами стало ещё проще. Таблицы теперь используют только в узкоспециализированных сферах.
Свойства логарифмов на практике пригодятся многим людям, занятым на производстве и в научных сферах, в которых необходимы трудоёмкие вычисления. С их помощью можно сравнивать величины, значительно отличающиеся друг от друга. Если вы нарисуете обычный график, на котором отмечены значения 10, 100 и 100 000, то маленькие значения будут практически около ноля. Но логарифмическая линейка позволяет сделать изображение таких чисел более наглядным. С помощью подобных схем часто проводится анализ сравнения шумов, что бывает полезным во многих сферах.
Где можно получить больше информации о свойствах логарифмов?
Пропустили занятие в школе, готовитесь к ЕГЭ или просто интересуетесь математикой? Тогда вам может пригодиться видеоурок на тему «Свойства логарифмов. Логарифм степени», который можно найти, перейдя по ссылке http://interneturok.ru/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-stepeni.
В рамках занятия преподаватель не только расскажет о формуле логарифма степени, но и докажет её и напомнит некоторые важные свойства логарифмов. Также можно узнать, как использовать свойства логарифма при решении распространенных примеров. Видеоурок дополнен иллюстрированным текстовым конспектом, в котором также можно найти необходимую информацию.
Что такое логарифм? Зачем нужны логарифмы?
Логарифмы — традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно — уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм — это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.
Итак, поехали знакомиться.)
Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:
Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате — это четыре.)
А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:
И снова пробуем подобрать икс…
Что, никак не подбирается? Два в квадрате — это четыре. Два в кубе — это уже восемь. А у нас — пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)
Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой — уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа — равноправные партнёры.)
На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс — какое-то дробное число между двойкой (2 2 = 4) и тройкой (2 3 = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…
Математика решает данную проблему очень просто и элегантно — введением понятия логарифма.
Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:
Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!
Вот и назовём это загадочное число х логарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:
А произносится эта запись вот так: «Икс равен логарифму пяти по основанию два.»
Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!
И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!
Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?
Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:
x = log25 = 2,321928095…
Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…
Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…
Например, решая показательное уравнение
про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.
А вот, решая уравнение, скажем, такое
вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:
Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:
И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ — посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был — логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)
Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.
Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?
А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.
Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?
Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:
b — собственно сама степень.
А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:
А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?
Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:
«Эн» (n) — это число, в которое надо возвести «a», чтобы получить «b». Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма — это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.
Простейшие примеры с логарифмами.
А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.
Скажем, если где-то в уравнении вы получили
то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:
А как мы поняли, что log39=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три — это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)
А чему равен, скажем, log5125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!
Стало быть, log5125 = 3.
В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!
Вот вам и ответ: log77 = 1
А вот такой пример как вам?
И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней .) Да! В нулевую! Вот и пишем:
Уловили принцип? Тогда тренируемся:
Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.
Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения — надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)
Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)
Решаем вот такой пример:
Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что
Стало быть, можно смело записать:
В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка — это корень квадратный из четырёх:
А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:
Поэтому наш логарифм будет равен:
Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) — в следующем уроке.
Для чего нужны логарифмы?
Слово «логарифм» многие бывшие ученики общеобразовательных учреждений помнят со школьных уроков математики. Эта тема некоторым из них казалась сложной и непонятной. Не все из них действительно поняли, что такое логарифмы и для чего они нужны. Попробуем разобраться в этом вместе с вами.
Конечно, в математике есть определение этого слова, но оно не всем может показаться понятным. Логарифмирование – это действие, которое обратно возведению в степень. Неподготовленному человеку трудно понять, что означают эти слова, и какая от всего этого польза.
Что же это такое и как с этим можно работать?
Допустим, нужно найти х в уравнении 5 х = 12. В этом случае х будет равен числу, в которое надо возвести 5, чтобы получилось 12. Используя логарифм, этот пример будет звучать так: х равен логарифму 12 по основанию 5. А выгладит уравнение так: х = log512. Если произвести вычисление на калькуляторе или компьютере, то получается иррациональное число. Чтобы было легче работать с такими числами, и создали такую математическую конструкцию, как логарифм.
Говоря простым языком, они нужны для упрощения трудных вычислений. Логарифмы обладают важными свойствами, благодаря которым умножение можно заменить простым сложением, а извлечение корня и его возведение в степень можно преобразовать в умножение и в деление.
Применение свойств логарифмов в жизнедеятельности человека
Если логарифмы имеют одинаковое основание, то их сумма равна логарифму произведения, а разность – частного. И получается, что при математических действиях со сложными иррациональными числами, результатом становятся привычные всем натуральные числа. Если основания логарифма разные, то их можно преобразовать по формулам перехода к новому основанию.
Для упрощения подобных вычислений были созданы логарифмические таблицы. С их помощью можно было легко умножать числа, складывая их логарифмы. Более 300 лет такие таблицы расширялись и уточнялись многими математиками. С появлением возможности электронных вычислений, пользоваться логарифмами стало ещё проще. Таблицы теперь используют только в узкоспециализированных сферах.
Свойства логарифмов на практике пригодятся многим людям, занятым на производстве и в научных сферах, в которых необходимы трудоёмкие вычисления. С их помощью можно сравнивать величины, значительно отличающиеся друг от друга. Если вы нарисуете обычный график, на котором отмечены значения 10, 100 и 100 000, то маленькие значения будут практически около ноля. Но логарифмическая линейка позволяет сделать изображение таких чисел более наглядным. С помощью подобных схем часто проводится анализ сравнения шумов, что бывает полезным во многих сферах.
Где можно получить больше информации о свойствах логарифмов?
В рамках занятия преподаватель не только расскажет о формуле логарифма степени, но и докажет её и напомнит некоторые важные свойства логарифмов. Также можно узнать, как использовать свойства логарифма при решении распространенных примеров. Видеоурок дополнен иллюстрированным текстовым конспектом, в котором также можно найти необходимую информацию.
Стоит отметить, что на образовательном портале можно найти видеоуроки и конспекты не только по алгебре и геометрии, но и по остальным предметам школьной программы, включая обществознание, географию, биологию, и многим другим.
Свойства логарифмов и примеры их решений
Зачем в жизни нужны логарифмы?
Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.
Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!
Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!
То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.
Логарифм и его свойства. Вебинар (1 час 48 минут)
В этом видео мы разобрали свойства логарифмов на примере решения 35 задач.
Начиная от самых простых логарифмов и заканчивая сложными.
Если вам понравилось видео, подписывайтесь на канал, ставьте лайки — нам будет приятно и мы будем делать такие видео впредь.
Что такое логарифм?
Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема.
Чтобы понять, как их решать, нужно всего лишь разобраться, что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень.
Все. Больше ничего не нужно.
Начнем с простого. Как решить уравнение \(\displaystyle <<2>^
Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число \(2\) чтобы получить \(8\)?
Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА!
Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь (\(\displaystyle <<2>^<3>>=8\)) и значит решением уравнения будет число три (\(x=3\)).
Следующий вопрос. Как решить уравнение \(\displaystyle <<2>^
Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число \(2\), чтобы получить число \(5\)?
Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много.
Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное.
Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:
В общем виде он записывается так:
То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь \(2,321928\ldots \) и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как \(2,321928\ldots \) или как \(\displaystyle <<\log >_<2>>5\).
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как:
Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение \(\displaystyle <<2>^<3>>=8\) можно также записать в виде \(\displaystyle <<\log >_<2>>8=3\). Читается так:
«Логарифм восьми по основанию два равен трем»
«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»
Теперь более общая запись:
«Чтобы получить число \(b\), нужно число \(a\) возвести в степень \(c\)»:
8 примеров вычисления логарифмов
Пример 1
Чему равен \(\displaystyle <<\log >_<2>>4\)?
\(\displaystyle <<\log >_<2>>4=2\), так как число \(2\) нужно возвести во вторую степень, чтобы получить \(4\).
Пример 2
Чему равен \(\displaystyle <<\log >_<2>>\frac<1><8>\)?
Заметим, что \(\displaystyle 8=<<2>^<3>>\), тогда \(\displaystyle \frac<1><8>=\frac<1><<<2>^<3>>>=<<2>^<-3>>\), то есть \(2\) нужно возвести в степень \(-3\), чтобы получить \(\displaystyle \frac<1><8>\).
Пример 3
А чему равен \(\displaystyle <<\log >_<2>>0,25\)?
Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить \(0,25\) как \(2\) в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: \(\displaystyle 0,25=\frac<1><4>=\frac<1><<<2>^<2>>>=<<2>^<-2>>\).
Пример 4
Чему равен \(\displaystyle <<\log >_<7>>1\)?
В какую степень надо возвести \(7\), чтобы получить \(1\)? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно \(1\) (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).
Значит, \(\displaystyle <<\log >_<7>>1=0\). Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен \(0\).
Пример 5
\(\displaystyle <<\log >_<4>>2\). В этом случае аргумент \(2\) равен корню основания: \(\displaystyle 2=\sqrt<4>\).
Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): \(\displaystyle 2=\sqrt<4>=<<4>^<\frac<1><2>>>\text< >\Rightarrow \text< ><<\log >_<4>>2=\frac<1><2>\).
Попробуй найти следующие 4 логарифма самостоятельно
Десятичные логарифмы
Логарифм по основанию \(\displaystyle 10\) называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: \(\displaystyle \lg \) вместо \(\displaystyle <<\log >_<10>>\)
Когда нужная степень не подбирается
Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.
Например, \(\displaystyle <<\log >_<2>>5=2,321928…\).
Видим, что это число расположено между \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\), и это понятно: ведь это значит, чтобы получить \(5\), нужно \(2\) возводить в степень больше \(2\), но меньше \(3\).
На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.
Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.
В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.
Например, ответ вполне может выглядеть так:
\(\displaystyle <<\log >_<3>>10\), или даже так: \(\displaystyle \frac<2+<<\log >_<3>>7><5>\).
Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:
Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить \(\displaystyle x=<<\log >_<3>>81\), высший балл за задачу не поставят.
То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать.
Потренируйся на следующих простых примерах:
6 примеров для самостоятельной работы
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Область допустимых значений (ОДЗ)логарифма
Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:
То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться \( 1\).
Начнем с простого: допустим, что \( a=1\). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили \( 1\), всегда получается \( 1\).
Более того, \( \displaystyle <<\log >_<1>>b\) не существует ни для какого \( \displaystyle b\ne 1\).
Но при этом \( \displaystyle <<\log >_<1>>1\) может равняться чему угодно (по той же причине – \( 1\) в любой степени равно \( 1\)).
Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.
Похожая проблема у нас и в случае \( a=0\): \( 0\) в любой положительной степени – это \( 0\), а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что \( \displaystyle <^<-c>>=\frac<1><<^
При \( a 0\\x\ne 1\\x+2>0\end
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)
Найдите корень уравнения \( \displaystyle <<\log >_
Решение:
\( \displaystyle <<\log >_
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Основное логарифмическое тождество
Вспомним определение логарифма в общем виде:
Подставим во второе равенство вместо \( \displaystyle c\) логарифм:
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:
Реши еще следующие примеры:
Пример 2
Найдите значение выражения \( \displaystyle <<25>^<<<\log >_<5>>3>>\).
Пример 3
Решения примеров 2 и 3:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Свойства логарифмов
К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение.
Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов.
Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.
Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.
А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.
Свойство 1 – степень аргумента
Доказательство:
Свойство 2 – сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: \( \displaystyle <<\log >_>b+<<\log >_>c=<<\log >_>\left( b\cdot c \right)\).
Доказательство:
Пример
Найдите значение выражения: \( \displaystyle <<\log >_<3>>5+<<\log >_<3>>0,6\).
Решение:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
А вот обещанное упрощение:
Зачем это нужно? Ну например: чему равно \( \displaystyle lo<
Теперь упрости сам:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Свойство 3 – разность логарифмов
| Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:\( \displaystyle lo< |
Доказательство:
Все точно так же, как и в пункте 2:
Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:
Пример посложнее: \( \displaystyle \log _<2>^<2>2\sqrt<3>-\log _<2>^<2>\sqrt<3>—<<\log >_<2>>3\).
Догадаешься сам, как решить?
Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению \( \displaystyle <<2>^<<
Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!
Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.
Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?
Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:
Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?
Ответ для проверки:
Упрости сам:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Свойство 4 – вынесение показателя степени из аргумента логарифма
Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle <<\log >_><^
>=n\cdot <<\log >_>b\)
Доказательство:
Можно понять это правило так:
То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.
Пример: Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac<<<\log >_<2>>25><<<\log >_<2>>5>\).
Реши сам:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Свойство 5 – вынесение показателя степени из основания логарифма
Доказательство:
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!
Свойство 6 – вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма
Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle <<\log >_<<^
>>><^ >=\frac \cdot <<\log >_>b\).
Свойство 7 – переход к новому основанию
Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием: \( \displaystyle <<\log >_>b=\frac<<<\log >_
>b><<<\log >_ >a>\text< >\left( c>0;\text< >\ne \text <1>\right)\).
Доказательство:
Свойство 8 – замена местами основания и аргумента логарифма
Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе: \( \displaystyle <<\log >_>b=\frac<1><<<\log >_>a>,\text< >\left( b\ne 1 \right)\).
Доказательство:
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 1. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_<5>>75+<<\log >_<5>>\frac<1><3>\).
Пример 2. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_<3>>36-2<<\log >_<3>>2\).
Пример 3. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_<8\sqrt[5]<4>>>\left( 32\sqrt[5] <2>\right)\).
Пример 4. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac<\log _<5>^<2>25\sqrt<10>-\log _<5>^<2>\sqrt<10>><<<\log >_<5>>250>.\).
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
Твой ход!
Теперь ты знаешь о логарифмах все! Самое время покорять уравнения и неравенства!
Я уверен, что ты справишься. И я очень тобой горжусь. Ведь ты решил сесть и разобраться.
Напиши нам в комментариях ниже, что думаешь об этой статье. Все ли было понятно? Понравилась ли она тебе?
А еще ты можешь задать нам любой вопрос. И мы обязательно ответим!
Добавить комментарий Отменить ответ
20 комментариев
Отличный материал! Спасибо!
Спасибо, Саид. В каком вы классе?
Вы — это просто чу-до, и этот учебник тоже! Если бы я знала о вас в сентябре, я бы выбрала вашу онлайн школу
Спасибо большое, Бася! Очень приятно слышать. Желаем вам сдать ЕГЭ на 100 баллов! )
Как лайк поставить?
Будем считать этот коммент лайком. Спасибо!
хотела зарегистрироваться на вебинар 14 февраля, но не смогла: «сайт не может обеспечить безопасное соединение» может есть еще вариант?
Надежда, я зарегистрировал вас и отправил на почту доступы. Скажите, пожалуйста, где вы столкнулись с такой надписью? Можете написать или отправить ссылку?
Большое спасибо, все изложено четко и красиво!
Инна, очень рады, что понравилось! Заходите к нам еще! )
Это лучшее объяснение, что я встречала! Хорошая методика: простой язык, примеры и практика! Я благодарна Клеверу!
Спасибо, Ника! И за название тоже. «Клевер» — клёво! ))
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Катерина
10 января 2018
Я получила очень хорошую для меня информацию.
Александр (Админ)
11 января 2018
Спасибо, Катерина. Нам очень приятно слышать, что наш учебник полезен.
Владимир
17 января 2018
Прекрасное объяснение! Просто великолепное! В примере после третьего свойства действительно есть опечатка. знак корня у третьего члена лишний. Есть также потерянный член в конце предпоследней строчки решения пятой задачи третьего свойства. В финальной строчке он нашелся 🙂
Алексей Шевчук
06 февраля 2018
Александр, примени свойство степени «произведение степеней с одинаковым основанием»: https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva
Дарья
10 декабря 2018
А как решать функцию логарифмическую, если логарифм под знаком модуля? Например y=[lgx]-lgx?
Шура
24 января 2019
Как сложить логарифмы если у обоих аргумент x, но у первого основание 2, а у второго 3?
Алексей Шевчук
04 февраля 2019
Шура, нужно воспользоваться формулой перехода к другому основанию Например, log_3 (x) = log_2 (x) / log_2 (3).
Олег
14 апреля 2019
Большое спасибо за очередную великолепную статью, все понятно.
Александр (админ)
14 апреля 2019
Олег, очень рады слышать! Удачи!
Олег
17 апреля 2019
Спасибо за статью, но СЛОЖНА
Александр (админ)
17 апреля 2019
Пожалуйста, Олег. Ну что поделать? Тяжело в ученье, легко на ЕГЭ )
Саня
06 сентября 2019
А что делать, если логарифмы с разными приколами? 0-0 Как их решать?
Алексей Шевчук
06 сентября 2019
Саня, посмотри статью про логарифмические уравнения, там некоторые приколы разобраны. https://youclever.org/book/logarifmicheskie-uravneniya-1
Алексей Шевчук
08 ноября 2019
Виталий, дело в том, что такие уравнения будут иметь действительные решения очень редко. Представим себе, что это уравнение (-2)^6x=-8. Тогда с одной стороны, x=0.5 является решением, но с другой стороны, когда мы решаем уравнение, у нас должна быть возможность воспользоваться свойствами степени: (-2)^6x = ((-2)^x)^6 — а теперь посмотрим, можем ли мы так делать? Подставим вместо x число 0.5: ((-2)^0.5)^6=-8. Вспомним, что такое степень 0.5? Это квадратный корень из числа. Но ведь мы не можем извлекать корень из отрицательного числа! Чтобы не возникало таких неприятностей, математики договорились не использовать отрицательные основания у показательной функции, а как следствие, и у логарифма. Но это касается только вычислений в действительных числах. Если мы рассматриваем также комплексные числа (это в которых можно извлекать корень из отрицательных чисел), то отрицательные основания возможны — но это уже не школьная математика.
Александр (админ)
08 ноября 2019
Отличное объяснение, Алексей! Снова вышли за пределы школьной математики. Это здорово! )
Виталий
12 ноября 2019
Спасибо за ответ. Понял, что это для облегчения начальной стадия обучения, с последующим переходом к более сложным вычислениям.
Антон
16 декабря 2019
Классное объяснение, спасибо!
Александр (админ)
16 декабря 2019
Антон, спасибо! Мы рады, что понравилось. Заходи еще! )
Света
07 января 2020
Спасибо очень понравилась то что не было не понятно все поняла
Александр (админ)
07 января 2020
Отлично, Света! Мы очень рады. Удачи тебе на экзаменах!
Александр (админ)
13 января 2020
То, что не нравится Полине Магаррамовой я переживу как-нибудь. Мне главное, чтобы вам нравилось 🙂
Евгений Вячеславович
06 февраля 2020
Классно… Если бы мне 19 лет назад так объясняли бы математику, я бы к егэ вообще не готовился бы, потому что все бы помнил и понимал. Так доходчиво и понятно я не встречал нигде. Спасибо вам.
Александр (админ)
06 февраля 2020
Спасибо, Евгений Вячеславович. Я вот тоже самое думаю, что, если бы мне объясняли также как здесь в свое время…. ))
Юлия Владимировна
13 мая 2020
Помогите решить: 2*log 1/2 (4x-5) — log1/2 *16x = log1/2(x-3)
Алексей Шевчук
14 мая 2020
Юлия Владимировна, двойку вносим в логарифм как степень аргумента: 2*log 1/2 (4x-5)=log 1/2 (4x-5)^2. Потом соединяем логарифмы по правилу вычитания: log 1/2 [(4x-5)^2 / 16x] = log1/2(x-3). Теперь можно от логарифмов избавиться: (4x-5)^2 /16x = (x-3) — получили обычное уравнение
Жахиян
27 мая 2020
В какую степень нужно возвести число 2 чтобы получить 8? как ответ может быть 3. По идей ответ дожен быть равно на 4 а не к 3.
Александр (админ)
27 мая 2020
Жахиян, вы говорите на какое число нужно УМНОЖИТЬ 2, чтобы получить 8. Это действительно 4. Но вопрос был В КАКУЮ СТЕПЕНЬ нужно возвести 2 чтобы получить 8. А это тройка: «два в третьей степени будет восемь» (2*2*2=8)
ООО,спасибо за последние слова,лучший сайт.