Для чего нужна тригонометрия в практике
Исследовательская работа «Тригонометрия на практике»
Выбранный для просмотра документ тригонометрия на практике.docx
Управление образования администрации города Свободного
муниципальное общеобразовательное автономное учреждение
средняя общеобразовательная школа №2
Тригонометрия на практике
Заколишнов Даниил Романович,
ученик 10Б класса МОАУ СОШ № 2
работы: Ширшова Елена Викторовна,
учитель математики МОАУ СОШ № 2
Тригонометрия на практике
Тригонометрия в профессиях
Цель работы : доказательство необходимости изучения тригонометрии
Объект исследования – тригонометрические понятия
— изучить историю возникновения и развития тригонометрии
— рассмотреть области применения знаний тригонометрии, решив ряд практических задач
— выяснить профессии людей, которые чаще всего сталкиваются с тригонометрией
Гипотеза: Решение практических задач с помощью тригонометрии позволяет лучше понять необходимость знаний, приобретаемых при изучении данной темы, повышает интерес к ее изучению.
Впервые данный термин появился в 1595 году. Так называлась книга немецкого математика Бартоломеуса Питискуса. Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Другими словами, тригонометрия – это наука об измерении треугольников.
Сама наука уже существовала в глубокой древности. Долгое время тригонометрия развивалась как часть геометрии. Необходимость в развитии тригонометрии возникала в связи с решением задач астрономии и мореплавания (например, определение местонахождение судна, вычисление времени).
Математики разных стран и в разное время открывали формулы тригонометрии. Клавдий Птолемей, составив первую таблицу синусов, дал практическое средство решения многих практических задач, и в первую очередь задач астрономии.
Тригонометрия на практике
По-своему правы те, кто говорит, что тригонометрия в реальной жизни не нужна. Что с помощью синуса или косинуса будет находить воспитатель, дворник, продавец, юрист? Однако встречаются случаи, когда тригонометрия необходима.
Чаще всего она нужна при работе с земельным участком, например, на даче или огороде. Создать аккуратный симметричный дизайн цветника, разметить грядки, разметить ровные параллельные линии можно только с помощью геометрии.
При измерении дальних расстояний не обязательно тянуть рулетку — можно просто измерить угол от ближайшего столба или стены и, зная определение тангенсов или синусов, вычислить расстояние.
Рассмотрим ряд задач практического содержания.
Задача 1: Новый телевизор
У бабушки сломался телевизор со стеклянным экраном и электронно-лучевой трубкой. Решили купить новый, жидкокристаллический. Старый телевизор был 29 дюймов(). 29дюймов по диагонали сейчас не делают, возьмем 32(), пусть бабушка порадуется. Приносим подарок, включаем, а бабушка и говорит: «Чой-то маленький какой-то телевизор, мой-то больше был!» Почему бабушка недовольна?
Решение: Старый телевизор:
Чтобы бабушка была довольна, надо было брать с диагональю 40 дюймов
(), у которого стороны 49см и 87см. Угол между диагональю и длиной небольшой, но длины сторон по сравнению со старым телевизором больше.
Задача 2: Расчет материалов на крышу
Расчет кровли в первую очередь начинается с определения угла наклона. Теоретически он может составлять 11-70 градусов, но больше 45 градусов делать не стоит. Во время холодных и снежных зим угол наклона 45 градусов позволит избавить кровлю от снежной нагрузки. Также для большого угла наклона кровли необходимо большее количество материала. Следует учитывать, что от вида кровельного покрытия и угла уклона меняется и шаг стропил. Чем больше угол уклона, тем шаг стропил может быть большим.
Конечно, строительство дома каждый из нас доверит специалистам, но рассчитать приблизительное количество материала и материальных затрат может каждый. Для этого необходимо выбрать угол уклона и высоту конька или угол уклона и ширину дома.
Ширина дома 10 м, а половина – 5м
Если угол уклона нужен больше или меньше, то необходимо изменить либо высоту конька, либо ширину дома во время проектирования. Далее вычислить длину покрытия и, соответственно, площадь крыши и материальные затраты на ее строительство.
Подобные расчеты позволили составить таблицу (Приложение 1)
Для выполнения работ под днищем автомобиля можно воспользоваться ямой, подъемником или эстакадой. Яму можно обустроить только в сухом грунте, поэтому она доступна не во всех гаражах. Подъемник – дорогое удовольствие, которое может себе позволить ремонтная мастерская. В итоге для рядового автолюбителя остается самодельная эстакада для машины, не требующая больших затрат и времени для сборки. Изготовить такую конструкцию в домашних условиях несложно. Основным требованием будет наличие достаточного пространства.
Стационарная металлическая эстакада Схема для расчетов
Задача 4: Возводим горку во дворе
При постройке горки во дворе тоже потребуется тригонометрия. Для того, чтобы можно было скатываться с горки с безопасной скоростью, надо просчитать оптимальный угол, под которым будет наклонена горка относительно земли, высоту и длину проекции ската. 
Значит горку надо строить не более 2 м, тогда угол будет меньше 30 градусов, и кататься будет безопаснее.
Задача 5: Дорожное строительство
Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м
Задача 6: Математика в артиллерии
Бомбардировщик на большой скорости – 707 км/ч. – приближается к важному объекту противника. Необходимо поднять в воздух зенитную ракету, скорость которой 1000 км/ч. Под каким углом направить ракету, чтобы она встретилась с самолетом?
Для решения этих задач использовались определения синуса, косинуса, тангенса прямоугольного треугольника. Подобных задач в практике можно встретить очень много. Однако и другие теоремы, и свойства тригонометрии используются на практике.
Задача 7: Как измерить высоту горы? (дерева)
Для определения высоты горы достаточно с двух разных точек измерить с помощью приборов величины углов, под которыми видна вершина, а затем воспользоваться теоремами синусов и косинусов.
=200 · = =10,85 · 200=2170
Из треугольника ВС D : м
В этой задаче использовалась теорема синусов.
Для измерения углов используются разные приборы (приложение 1).
Задача 8: На какой высоте летит самолет
Решение: Высота полета самолета
Треугольник АВС: С = 90 0 ;
Треугольник DAC : С=90 0 ; А D = = 224,9 м.
BD = 224,9 ·= 342,2 м. ВС = 342,2 + 79,5 = 421,7 м
Желание решить подобные задачи могут возникнуть у любого любознательного человека, поэтому все базовые знания тригонометрии изучаются в 8-9 классах.
В старшей школе изучают формулы двойного аргумента, суммы и разности аргументов, решают разного вида уравнения. Считается, что ребята, которые оканчивают старшую школу, планируют дальше учиться в ВУЗах, чтобы стать хорошими специалистами, заниматься научными исследованиями.
Тригонометрия в профессиях
Тригонометрические вычисления нашли свое применение почти во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, в армии и навигации, строительстве. С помощью тригонометрии можно измерять расстояния между звездами, между ориентирами в географии, производить контроль над системами навигации спутников.
Для этого используют метод триангуляции – это тригонометрическая операция для определения местоположения по двум точкам, находящимся на известном расстоянии друг от друга. Это метод измерения расстояний с использованием треугольников. Служит для обоснования геодезических работ при строительстве крупных инженерных сооружений, создания точных карт. Вершины треугольников обозначают на местности деревянными или металлическими вышками высотой от 6 до 55м (Приложение 2) в зависимости от условий местности.
По известному расстоянию (АВ) и углам по теореме синусов определяют сторону ВС. Продолжая измерения, покрывают Землю сетью треугольников. Так можно вычислить расстояние между любыми двумя точками на поверхности Земли. Обычно этим занимаются геодезисты.
Геодезисты имеют специальные инструменты для точного измерения углов. (Приложение 3) При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.
Чаще всего им приходится определять разницу высот между точками земной поверхности – нивелировать. Принцип тригонометрического нивелирования подразумевает использование теодолита или тахеометра. (Приложение3).
Математика дает артиллеристам все формулы, нужные для расчетов.
На рисунке показано взаимное расположение батареи Б, наблюдательного пункта К и цели Ц.
Для того чтобы попасть в цель, необходимы точные расчеты. 
Используя теоремы косинусов и синусов, определяем дальность до цели БЦ и установки угломера
Тогда прицел равен
Этот способ не является идеально точным. Его артиллеристы применяют лишь тогда, когда важнее всего простота и скорость решения задачи, точностью же можно пренебречь.
Для высокой точности стрельбы артиллеристы выполняют аналитический расчет дальности и угломера по более точным и сложным формулам. Тригонометрия и таблицы логарифмов позволяют с очень большой точностью рассчитать установку угломера и дальность до цели.
Для полного же понимания теории стрельбы и науки о полете снаряда – баллистики – надо знать всю высшую математику.
Астрономия
В астрономии работают не с плоскими треугольниками, а со сферическими. Стороны сферического треугольника измеряют не линейными единицами, а величинами дуг, то есть величинами центральных углов, опирающихся на эти дуги.
Астрономы определяют высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу.
С точки зрения тригонометрии, определяют сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.
Если известны стороны а, b и угол между ними γ, тогда
сторона с находится по теореме косинусов
а углы α, β по формулам Непера:
Очень часто в жизни приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными: биение сердца, дыхательные движения грудной клетки, шаги ног при ходьбе, движение иглы швейной машины, прыжки на батуте, движение качелей, колебание поплавка на воде движение крыльев стрекозы, рессоры вагона и др. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются тригонометрическими функциями. Модель биоритмов и в медицине, и в биологии можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.
ЭКГ – это не только современный, но и наиболее доступный метод определения характеристик активности сердца. Человеческое тело обладает электропроводимостью, поэтому биотоки сердца могут проецироваться на его поверхность и записываться при помощи аппаратов ЭКГ. С точки зрения физики, электрокардиограмма – это регистрация электрических сигналов, которая ведется с нескольких участков сердечной мышцы. Для этого на определенные точки тела крепят пластины, передающие сигналы на аппарат ЭКГ. Все полученные электрические сигналы преобразуются в графическую информацию и наносятся на специальную ленту. Таким образом, весь процесс работы сердца мы видим, как кривую с выраженными зубцами.
Когда кровь течет к электродатчику, то кривая находится выше горизонтальной оси, если от пластины, то кривая ниже оси. От этого она похожа на синусоиду.
На рисунке представлены примеры нормального ритма сердца (а), тахикардии (б), брадикардии (в) и нерегулярного ритма (аритмии) взрослого человека (г).
Без них невозможно разделить круг на равные сектора — это умение может пригодится в самых разных областях жизни: от рисования и дизайна до раскраивания ткани или строительных материалов.
Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Именно с помощью тригонометрии проходит большинство композиционных решений. 
Поверхность Гауди 
Детская школа Гауди в Барселоне винодельня «Бодегас Исиос»
В данной работе показано применение тригонометрии лишь в некоторых областях нашей жизни, где в основном используются базовые элементы тригонометрии – определения тригонометрических величин, то есть определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
Кроме этого, рассмотрены профессии людей, в которых без знания многих формул тригонометрии не обойтись.
И все-таки, изучение тригонометрии необычайно полезно для мозга — поиск нужных формул, преобразование одних элементов в другие заставляет извилины напрягаться, что позволяет мозгу оставаться более подвижным.
Лобачев А. В. «Определяем необходимое расстояние между стропилами строения» http://1metallocherepica.ru/ustrojstvo-kryshi/stropila.html
Большая Советская энциклопедия
Курсовая работа » Использование тригонометрии в жизни»
Муниципальное образовательное учреждение лицей №86
Использование тригонометрии в жизни
Курсовая работа
Автор–Светлов Владислав,
МОУ лицей №86 г.Ярославль
Арабаджи Елена Владимировна
История тригонометрии………………………………………. стр. 4
Тригонометрические уравнения………………………………. стр. 8
Схема решения тригонометрических уравнений……………. стр. 9
Способы решения тригонометрических уравнений…………..стр. 11
Практическое применение тригонометрии…………………. стр. 12
Тригонометрия в биологии……………………………………..стр. 13
Тригонометрия в медицине……………………………………..стр. 14
Тригонометрия в физике………………………………….……стр. 16
Тригонометрия в природе………………………………………стр. 17
Тригонометрия в музыке………………………………………..стр.17
Тригонометрия помогает мозгу………………………………. стр. 18
Тригонометрия в архитектуре………………………………. стр. 18
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В ЖИЗНИ.
Узнать где и как используется тригонометрия в окружающем нас мире.
Изучить историю тригонометрии
Узнать где используется тригонометрия
Узнать как используется тригонометрия в других науках
Сделать вывод о проделанной работе
Общие сведения о тригонометрии
История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.
Для многих смежных с математикой наук толчком к развитию стала именно история тригонометрии. Происхождение единиц измерения углов (градусов), связанное с исследованиями ученых Древнего Вавилона, опирается на шестидесятиричную систему исчисления, которая дала начала современной десятиричной, применяемой во многих прикладных науках.
Тригонометрия в ранние века
Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, исследователи сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома Гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры.
Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы Пифагора.
Греческим астрономам не были известны синусы, косинусы и тангенсы. Они пользовались таблицами, позволяющими найти значение хорды окружности с помощью стягиваемой дуги. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса.
Также исследования древних греков продвинули развитие сферической тригонометрии. В частности, Евклид в своих «Началах» приводит теорему о закономерностях соотношений объемов шаров различного диаметра. Его труды в этой области стали своеобразным толчком в развитии еще и смежных областей знаний. Это, в частности, технология астрономических приборов, теория картографических проекций, система небесных координат и т. д.
Средневековье: исследования индийских ученых
Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в IV веке обусловила перемещение центра развития математики в Индию.
История возникновения тригонометрии как обособленного раздела математического учения началась в Средневековье. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов прямоугольного треугольника. То есть именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики.
Первый специализированный трактат по тригонометрии появился в X—XI веке. Автором его был среднеазиатский учёный Аль-Бируни. А в своем главном труде «Канон Мас‘уда» (книга III) средневековый автор еще более углубляется в тригонометрию, приводя таблицу синусов (с шагом 15′) и таблицу тангенсов (с шагом 1°).
История развития тригонометрии в Европе
После перевода арабских трактатов на латынь (XII-XIII в) большинство идей индийских и персидских ученых были заимствованы европейской наукой. Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к XII веку.
По мнению исследователей, история тригонометрии в Европе связана с именем англичанина Ричарда Уоллингфордского, который стал автором сочинения «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах». Именно его труд стал первой работой, которая целиком посвящена тригонометрии. К XV веку многие авторы в своих трудах упоминают о тригонометрических функциях.
История тригонометрии: Новое время
Франсуа Виет в «Математическом каноне» (1579) дает обстоятельную и систематическую, хотя и бездоказательную, характеристику плоской и сферической тригонометрии. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.
Заслуги Леонарда Эйлера
Придание тригонометрии современного содержания и вида стало заслугой Леонарда Эйлера. Его трактат «Введение в анализ бесконечных» (1748) содержит определение термина «тригонометрические функции», которое эквивалентно современному. Таким образом, этот ученый смог определить обратные функции. Но и это еще не все.
Определение тригонометрических функций на всей числовой прямой стало возможным благодаря исследованиям Эйлера не только допустимых отрицательных углов, но и углов боле 360°. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс прямого угла отрицательные. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого. Общая теория тригонометрических рядов и изучение сходимости полученных рядов не были объектами исследований Эйлера. Однако, работая над решением смежных задач, он сделал много открытий в этой области. Именно благодаря его работам продолжилась история тригонометрии. Кратко в своих трудах он касался и вопросов сферической тригонометрии.
История происхождения основных понятий
История возникновения и развития тригонометрии насчитывает не один век. Введение понятий, которые составляют основу этого раздела математической науки, также не было одномоментным.
Так, понятие «синус» имеет очень долгую историю. Упоминания о различных отношениях отрезков треугольников и окружностей обнаруживаются еще в научных трудах, датируемых III веком до нашей эры. Работы таких великих древних ученых, как Евклид, Архимед, Апполоний Пергский, уже содержат первые исследования этих соотношений. Новые открытия требовали определенных терминологических уточнений. Так, индийский учёный Ариабхата дает хорде название «джива», означающее «тетива лука». Когда арабские математические тексты переводились на латынь, термин заменили близким по значению синусом (т. е. «изгиб»).
Слово «косинус» появилось намного позже. Этот термин является сокращенным вариантом латинской фразы «дополнительный синус».
Возникновение тангенсов связано с расшифровкой задачи определения длины тени. Термин «тангенс» ввел в X веке арабский математик Абу-ль-Вафа, составивший первые таблицы для определения тангенсов и котангенсов. Но европейские ученые не знали об этих достижениях. Немецкий математик и астроном Регимонтан заново открывает эти понятия в 1467 г. Доказательство теоремы тангенсов – его заслуга. А переводится этот термин как «касающийся».
Простейшие тригонометрические уравнения
Решения уравнения cos ( x ), где │ a │≤1, находятся по формуле x = ± arcsin ( a +2π n ), nϵZ
Особо отмечу некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
cos x = 0, x = π/2+2πk, kϵZ
cos x = 1, x = 2 π k, kϵZ
Схема решения тригонометрических уравнений
Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:
Решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений.
Средства решения: преобразования, разложения на множители, замена неизвестных.
Ведущий принцип: не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей «цепочки» (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу замечу, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.
Еще раз напомню: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.
Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения sinx = a (│ a │≤1)ответ может быть записан следующим образом:
Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).
Для чего нужна тригонометрия в практике
Данная тема является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки, а также тесно связана с деятельностью человека. Имеет теоретическую и практическую значимость.
Объект исследования: Тригонометрия.
Предмет исследования: Графики тригонометрической функции – синусоида и косинусоида.
Узнать о способах применения графиков тригонометрических функции в жизни человека.
Составить историческую справку о графиках тригонометрических функций.
Описать применении графиков тригонометрических функций в окружающем нас мире и различных отраслях.
Вывести свой биоритм жизни.
Изготовить демонстрационную модель движения графика синуса.
Графики тригонометрических функций широко применяются человеком, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.
Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы.
Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии и ультразвук, в химии (Приложение 1, рис.1), в сейсмологии (Приложение 1, рис.2), в метеорологии, в океанографии (Приложение 1, рис.3), в архитектуре (Приложение 1, рис.4), в экономике, в компьютерной графике, в кристаллографии (Приложение 1, рис.5) и многих других областях.
Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры (Приложение 2, рис. 2). Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.
Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.
В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:
· точного определения времени суток; (Приложение 2, рис. 3)
· вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;
· нахождения географических координат текущего места;
· вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.
Гномон— древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень)
определить угловую высоту солнца. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномонавысотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)
Тригонометри́ческие фу́нкции (Приложение 2, рис. 5) — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
Синус и косинус относятся к прямым тригонометрическим функциям.
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» ( جيب ). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus — «синус», имеющим то же значение (следует отметить, что именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат. Cosinus) — это сокращение от лат. Complementi sinus — дополнительный синус.
Первый график синусоиды (Приложение 2, рис. 6) появился в книге Альбрехта Дюрера (Приложение 2, рис. 4) «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (нем. Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, 1525 год). В 1630-х годах, Жиль Роберваль (Приложение 2, рис. 7), в ходе своих исследований циклоиды, независимо вычертил синусоиду, он же опубликовал формулу тангенса двойного угла. Джон Валлис (Приложение 2, рис. 8) в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668) (Приложение 2, рис. 9).
В настоящее время график синуса можно встретить в следующих моментах нашей жизни.
Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений
рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.
Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой.
Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (то же самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения
Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.
Медицина и биология.
Модель биоритмов (Приложение 2, рис.11), которые в свою очередь подразумевают цикличность процессов в живом организме можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).
Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров, деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.
Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.
Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея «измерения углов» не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.
Движение рыб в воде и полёт птиц (Приложение 2, рис. 10) происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
Изготовление демонстрационной модели движения графика синуса.
Для изготовления данной модели мне потребовалось:
Изготовление модели мы начали с того, что:
Вырезали фанеру по нужному размеру.
Нанесли на неё разметку в виде графика синуса и косинуса на координатной плоскости.
Панель покрыли мебельным лаком.
По контуру синусоиды разместили силовые кнопки.
По силовым кнопкам протянули шляпную резинку с обозначением начальной точки.
Испытали модель в действии.
Описание аналитической части.
Изучив графики тригонометрических функций – синусоиду и косинусоиду, можно сделать вывод, что тригонометрия тесно связана с жизнью человека и его деятельностью, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.
Исследовав аналитический материал, мы выяснили, что тригонометрия присутствует во многих областях науки.
Дали строгие определения тригонометрии и тригонометрическим функциям.
Определили сферы применения синусоиды и косинусоиды, а также подтвердили значимость математики в окружающем нас мире. В ходе практического исследования применили полученные знания..
Мы убедились, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась и графики тригонометрических функций – синусоида и косинусоида действительно являются яркими представительницами в окружающем нас мире, а не только линиями в тетради. Они являются замечательными кривыми, которые практически всегда рядом с нами.
Хочется, чтобы данное исследование оказалось не только интересным, но и полезным. А демонстрационная модель будет служить наглядностью на уроках математики при изучении этих функций. Имеет метапредметную связь с другими областями науки.