Векторная диаграмма для трехфазной цепи

Цепь трехфазного тока может содержать в себе различные компоненты. Для ее стабильной работы, необходимо правильно рассчитать все напряжения, нагрузки и иные параметры. Статья даст подробное описание, что такое векторная диаграмма для трехфазной цепи, опишет ее разновидности, способы расчета.

Определение

Векторной диаграммой называют метод графического изображения расчета всех параметров цепи переменного тока в виде векторов. Данный метод предполагает изображение всех составных напряжений, токов и процессов в виде отложенных векторов на плоскости.

Назначение

Векторная диаграмма используется для расчетов напряжений, токов в трехфазной цепи и других цепях переменного тока. Метод помогает определить значение всех процессов, происходящих в схеме, их влияние на каждый проводник, нейтраль, а также провести расчет возникающих нагрузок.

Разновидности

Векторные диаграммы трехфазных сетей могут быть симметричными или несимметричными. Построение гистограммы прямо зависит от ее схемы. Разновидности цепей и их гистограмм описаны далее в статье.

Симметричные

Симметричные цепи переменного тока предполагают соединение 3 фаз от источника (генератора) с тремя приемниками.

При этом создаются совершенно независимые трехфазные схемы. При этом используется соединение трех фаз генератора звездой. Для симметричных схем должны соблюдаться требования:

Также учитывается принцип чередования ЭДС во времени. Если ротор генератора вращается по часовой стрелке (правое вращение), то происходит чередование прямого типа (A, B, C). Такая система считается симметричной.

Если ротор вращается против часовой стрелки (левое вращение), чередование считается обратным (A, C, B), но общая система ЭДС остается все так же симметричной.

Для симметричных схем применяется расчет по векторной гистограмме, приведенной ниже.

Несимметричные

Несимметричные цепи предполагают разницу сопротивлений на каждой фазе. Подобная разница может возникнуть при возникновении обрыва одного проводника или нейтрали, его плохого контакта, короткого замыкания. Например, при обрыве нейтрального провода возникает:

При расчете несимметричной цепи также берется расчет соединения источника с приемниками по схеме звезда. Разница состоит в дополнительном расчете смещений, сдвигов фаз и величин сопротивления каждого проводника.

Ниже приведена векторная диаграмма несимметричной цепи.

Построение диаграммы

Векторная диаграмма предполагает в своей основе следующие значения:

Данные значения дополняются единицей времени, за которое ток, под определенным напряжением и силой достигает приемников. Исходя из построения получаем результат: UAB=UBC=UCA.

А это значит то, что если фазная система напряжений симметрична, то линейная система также симметрична и равна, а кроме того имеет сдвиг на 120 градусов. Это простое определение вектора трехфазной цепи.

Переменный ток представляет собой синусоиду, которая может быть графически наложена на ось координат. При этом вектор имеет угловую скорость вращения, которая равна угловым частотам тока. При построении необходимо также учесть то, что вектор является графическим изображением амплитуды колебания, в котором угол колебания равен начальной точке отсчета.

Например, за ось координаты выбрано значение 0. Также известно значение угла смещения. Далее стоит провести вектор «Im», который определяет направление движения тока. При построении вектора с использованием этих значений станут видны параметры опережения, отставания или сдвига фазы. Таким образом можно визуально увидеть разницу величин на каждом проводнике схемы.

Заключение

Если вы работаете с трехфазными цепями, то векторная диаграмма используется для получения визуального отображения всех действующих процессов в таких цепях переменного трехфазного тока. Такая диаграмма полезна при определении несоответствий схемы между углами сдвига фаз, напряжениями и токами.

Видео по теме

Источник

Что такое векторные диаграммы и для чего они нужны

Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании электрических цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.

При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты, но имеющих разные амплитуды и начальные фазы. Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически. Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.

Векторные диаграммы являются совокупностью векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи или их амплитудные значения.

Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением u = U_m sin ( ωt + ψ _и ).

Рис. 1. Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора

При расчете цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи или напряжения одной и той же частоты.

Такое сложение можно осуществить аналитически и графически. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е₁ и е₂ в определенном масштабе представлены векторами E_{1 m} E _2m (рис. 2). При вращении этих векторов с одной и той же частотой вращения, равной угловой частоте, взаимное расположение вращающихся векторов остается неизменным.

Рис. 2. Графическое сложение двух синусоидальных ЭДС одинаковой частоты

Сумма проекций вращающихся векторов E_{1 m} и E _2m на ось ординат равна проекции на ту же ось вектора E m, являющегося их геометрической суммой. Следовательно, при сложения двух синусоидальных ЭДС одной и той же частоты получается синусоидальная ЭДС той же частоты, амплитуда которой изображается вектором E _m, равным геометрической сумме векторов E_{1 m} и E _2m: E _m = E_{1 m} + E _2m.

Векторы переменных ЭДС и токов являются графическими изображениями ЭДС и токов в отличие от векторов физических величин, имеющих определенное физическое значение: вектора силы, напряженности поля и других.

Указанный способ можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС и токов одной частоты. Вычитание двух синусоидальных величин можно представить в виде сложения: e₁— e₂ = e₁+ (- e₂), т. е. уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком. Обычно векторные диаграммы строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС и токов, а для действующих величин, пропорциональных амплитудным значениям, так как все расчеты цепей обычно выполняются для действующих ЭДС и токов.

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник

Что такое векторная диаграмма токов и напряжений? Как построить график

Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков — векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.

Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.

Различают 2-х вида векторных диаграмм:

Интересное видео о векторных диаграммах смотрите ниже:

Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.

Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.

Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY — оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе.

Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой частотой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется.

Ещё одно полезное видео о векторных диаграммах:

Поэтому при изображении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольным образом (например, по оси ОХ).

А остальные — изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.

Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин.
Допустим у нас есть ток, величина которого изменяется по некоторому закону:

i = Im sin (ω t + φ).

С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол — соответствующий фазе φ.

В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений — масштабом, поскольку:

I = Im /√2.

Основным преимуществом векторных диаграмм называют возможность простого и быстрого сложения и вычитания 2-х параметров при расчете электроцепей.

Источник

Векторная диаграмма токов и напряжений

Большинство физических процессов имеют динамический характер, когда измеряемые параметры (напряжение электрического поля, сила тока, отклонения маятника или струны) изменяются во времени с определённой частотой повторения. Математический аппарат, применяемый для описания таких колебательных явлений, базируется на использовании гармонических функций, имеющих синусоидальный (или косинусоидальный) вид.

Оказалось, что гармонические колебания можно наглядно описывать в графическом виде с помощью векторных диаграмм (ВД). Колебательный процесс представляется в виде проекции вращающегося вектора на координатную ось (обычно на ось абсцисс Х в прямоугольной системе координат).

Разновидности векторных диаграмм

Основные понятия и обозначения

Колебания — это повторяющийся процесс изменения какой-либо системы (механической, электрической, акустической, тепловой, оптической) вблизи точки равновесия. Типичные примеры:

В общем виде гармоническое колебание описывается формулой:

Когда возникает задача сложения нескольких колебаний, то аналитическое (в виде формул) представление не позволяет судить о действующих соотношениях величин, так как они являются функциями времени. Изображение колебаний (величин A(t)) в виде векторов на плоскости, позволяет добиться наглядности и упрощает анализ количественных параметров системы. При этом колебания совершает проекция на ось абсцисс радиуса-вектора величины A(t) в данный момент времени.

Пускай имеется система, в которой есть два гармонических колебания B₁(t), B₂(t) с равными частотами ω₀. Например, это могут быть токи в электрической цепи или колебания грузиков на пружинках в механической системе. Чтобы получить суммарное колебание, необходимо сложить два выражения: B₁(t) = B₁ * cos(ω₀ * t + φ₁) и B₂(t) = B₂ * cos(ω₀ * t + φ₂)

Отложим на плоскости вектора B₁ и B₂ (см. Рис.2). Сумма этих векторов равна:

Видно, что векторное представление позволяет суммировать несколько колебаний с помощью наглядной процедуры сложения векторов.

Типы ВД

Существует два основных типа диаграмм: точные и качественные.

Качественные ВД являются одним из основных инструментов при анализе электрических цепей, наглядно иллюстрирующие положение искомого вектора.

ВД в комплексном представлении

Кроме алгебраической формы, применяется ещё два варианта записи: Z =|Z| * cos⁡(φ)+ i * sin⁡(φ) — тригонометрический, Z = |Z| * e iφ — показательный.

Последний вариант называется формулой Эйлера в честь великого математика, который предложил и обосновал эту формулу в XVIII веке. Комплексное представление гармонических колебаний позволяет упростить сложные тригонометрические вычисления наглядными и менее громоздкими действиями с показательными функциями. Графические ВД, рассмотренные ранее, можно считать аналогом (вариантом) представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел.

Примеры применения

Гармонический осциллятор в механике

Механическая система, будучи выведенная из равновесия, при определённых условиях начинает совершать гармонические колебания под действием возвращающей силы. Такая система называется гармоническим осциллятором. Классические примеры механического осциллятора:

Системы, в которых происходят гармонические колебания, имеют два основных признака:

С помощью универсального уравнения удаётся описать не только механические явления, но и акустические колебания, и электрические (переменный ток, напряжение), а также колебания электронов внутри атомов. Решения данного уравнения представляют собой выражения аналогичные: X(t) = X₀ * sin⁡(ω * t +φ₀) или X(t) = X₀ * cos⁡(ω * t + φ₀)

Свободные гармонические колебания без затухания

Из выражений следует, что гармонический осциллятор совершает свободные гармонические колебания с частотой: ω₀ = √(k/m). Период колебаний: T = 2*π* √(m/k), где π=3,14. Свободные гармонические колебания в графическом представлении с помощью ВД изображаются вращающимся с частотой ω₀ вектором А (Рис.4).

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

Гораздо чаще требуется решать задачи, в которых на осциллятор накладывается действие внешней силы, а также имеет место затухание колебаний в связи с наличием силы трения.

Из высшей математики известно, что любую функцию можно представить (разложить) в виде ряда или интеграла Фурье. Значит, решение уравнения может быть сведено к решению с синусоидальной силой:

Метод ВД в данном случае применяется в следующей последовательности:

Чтобы ускорение было направлено к точке равновесия, необходимо выполнение двух условий для выполнения составляющих (радиальной f_r и перпендикулярной f_p) сил и ускорения по оси вдоль радиуса-вектора по оси ей перпендикулярной. Два условия дают два уравнения:

В результате решения данных уравнений получают выражение для амплитуды колебания при заданной величине вынуждающей силы f:

Из отношения компонент силы f_r и f_p можно найти тангенс угла, под которым вектор силы на ВД наклонён к радиусу-вектору. Таким образом, будет найден сдвиг фазы колебаний x относительно фазы колебаний внешней силы f.

Метод ВД для расчёта электрических цепей

Чаще всего метод ВД применяется при расчётах электрических цепей. В принципе использование комплексного представления для гармонических колебаний более эффективно, чем классическое построение ВД, так как позволяет анализировать схемы любой сложности, состоящие из резисторов, индуктивностей и конденсаторов. К достоинствам ВД следует отнести доступность в приобретении навыков расчёта, в то время как математический аппарат комплексных чисел требует дополнительных знаний.

Самые распространённые случаи использования ВД для анализа — электрические схемы, в которых применяются пассивные элементы: резисторы, конденсаторы, индуктивности. С помощью ВД получается расчётная формула, при этом сама ВД выполняет роль чертежа-схемы, геометрическим способом иллюстрирующего поведение токов в цепи.

Для того чтобы не использовать комплексное представление, было введено понятие реактивного сопротивления конденсаторов и катушек индуктивностей. Это связано с физическими особенностями протекания переменного тока через эти схемные элементы. Основные формулы, связывающие токи и падения напряжений на элементах:

Напряжение на индуктивности будет:

Формулы для вычисления напряжений на конденсаторе и индуктивности напоминают классический закон Ома за исключением двух отличий:

На основании последних двух формул вводится понятие реактивного сопротивления Z:

Z_C = 1/ωC — реактивное емкостное сопротивление.

Z_C = ωL — реактивное индуктивное сопротивление.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — это математическая операция, позволяющая разложить функцию с вещественной переменной на отдельные составляющие — гармонические колебания с разными частотами. Хорошей аналогией в данном случае служит аккорд на музыкальном инструменте, который состоит из нескольких отдельных звуков (нот) определённой частоты. На выходе преобразования получается набор частот (спектр), присутствующих в сигнале и пропорции амплитудных величин.

Преобразование Фурье вещественной функции u(t) задаётся следующей формулой:

где: u(t) — исходный сигнал, U(f) — изображение по Фурье, параметром которого выступает частота.

Эта математическая операция разлагает исходный сигнал на гармонические составляющие (гармоники). При исследованиях частотных спектров применение ВД в некоторых случаях позволяет получить результаты с хорошей точностью простыми средствами. Помимо этого, ВД полезны в иллюстративном плане для качественного понимания формальных вычислений.

Дифракция

Дифракцией в физике называют отклонение световых (электромагнитных) волн от распространения по законам геометрической оптики. При определённых соотношениях длины волны и параметров среды наблюдаются отклонения от прямолинейного распространения, возникает огибание препятствий и проникновение света в область геометрической тени.

Частным случаем является дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах), когда световой источник и точка, где проводятся измерения (наблюдения), бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Как и в предыдущих случаях возникает задача суммирования синусоидальных волн с равными амплитудами, но сдвинутых по фазе на одинаковую величину (предыдущая с последующей). Фазовые сдвиги пропорциональны синусу угла.

Значит, может использоваться метод ВД, в котором каждая синусоида будет представлена вектором. В результате образуется ломаная линия, вписанная в окружность. Переходя к пределу, получится дуга окружности. Суммирующий вектор — это хорда полученной дуги, длина которой рассчитывается по известным геометрическим формулам.

С помощью ВД возможно качественно изучить переход от чисто фраунгоферового случая к более реальному, когда точка наблюдения приближается к щели. Длины векторов становятся неравными, но примерно можно оценить, как изменяется картина, пока расстояние уменьшилось не очень сильно.

Построение ВД напряжений и токов

В качестве примера построения ВД рассмотрим последовательную цепочку из сопротивления R, индуктивности L и конденсатора C. Схема приведена на рисунке ниже.

Напряжения на элементах схемы — U_R, U_L, U_C. Ток в цепи — i.

Пускай в цепи протекает синусоидальный ток с частотой ω и с нулевым сдвигом фазы. Для ненулевого сдвига фазы ВД просто повернётся на этот начальный угол, а общий её вид не изменится. Амплитуды напряжений на каждом элементе в форме закона Ома:

Соответствующие этим амплитудам длины векторов наносятся на ВД. При этом каждый вектор наносится с учетом своего фазового сдвига. Суммарный вектор оказался равен U = U_R + U_L + U_C, но это теперь доказано геометрически на диаграмме.

Применив формулы, указанные выше, получим:

Можно вынести за скобки i₀ (амплитуда тока — длина вектора i), тогда:

Пользуясь последней формулой, можно вычислять амплитуду синусоидального напряжения. Полученные формулы справедливы для случая обратной задачи, когда требуется найти ток в цепи с известным источником напряжения.

Заключение

Приведённые примеры демонстрируют универсальность применения метода ВД для решения разных физических и технических задач. Синусоидальные, повторяющиеся процессы происходят и в других областях знаний (химических и биологических системах). Наглядность и простота использования хорошо сочетаются на начальном этапе обучения, позволяя в дальнейшем перейти к освоению более сложного аппарата комплексного представления гармонических сигналов.

Источник

Онлайн журнал электрика

Статьи по электроремонту и электромонтажу

Что такое векторные диаграммы и для чего они нужны

Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании электронных цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.

Векторные диаграммы являются совокупой векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи либо их амплитудные значения.

Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением u = U_m sin ( ωt + ψ _и ).

Рис. 1. Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора

Если, к примеру, исходный фазовый угол напряжения ψ и больше исходного фазового угла ψi то сдвиг по фазе φ = ψ _и — ψ_i и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока.

При расчете цепи переменного тока нередко приходится ложить ЭДС, токи либо напряжения одной и той же частоты.

Такое сложение можно выполнить аналитически и графически. Последний метод более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е₁ и е₂ в определенном масштабе представлены векторами E_{1 m} E _2m (рис. 2). При вращении этих векторов с одной и той же частотой вращения, равной угловой частоте, обоюдное размещение крутящихся векторов остается постоянным.

Рис. 2. Графическое сложение 2-ух синусоидальных ЭДС схожей частоты

Сумма проекций крутящихся векторов E_{1 m} и E _2m на ось ординат равна проекции на ту же ось вектора E m, являющегося их геометрической суммой. Как следует, при сложения 2-ух синусоидальных ЭДС одной и той же частоты выходит синусоидальная ЭДС той же частоты, амплитуда которой изображается вектором E _m, равным геометрической сумме векторов E_{1 m} и E _2m: E _m = E_{1 m} + E _2m.

Векторы переменных ЭДС и токов являются графическими изображениями ЭДС и токов в отличие от векторов физических величин, имеющих определенное физическое значение: вектора силы, напряженности поля и других.

Обозначенный метод можно применить для сложения и вычитания хоть какого числа ЭДС и токов одной частоты. Вычитание 2-ух синусоидальных величин можно представить в виде сложения: e₁— e₂ = e₁+ (- e₂), т. е. уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с оборотным знаком. Обычно векторные диаграммы строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС и токов, а для действующих величин, пропорциональных амплитудным значениям, потому что все расчеты цепей обычно производятся для действующих ЭДС и токов.

Источник