Для чего нужны графики функций

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник

Проект по теме: «Графики в нашей жизни».

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 г. Южи Ивановской области.

«Графики в нашей жизни»

Работа ученика 9«Б» класса

Введение. Цель и задачи проекта.…………………………………….. …3

Глава I История возникновения функции………………………………..4-6

Глава II. Определение функций…………………………………………….7-8

Глава III. Простейшие функции и их графики………………………………9-11

Глава I V Графики вокруг нас……………………………………….12-14

Глава V Исследование реальных процессов, построение графиков и их анализ………………………………………………………………………15-16

Представление информации с помощью графиков стала неотъемлемой частью нашей жизни. Графики можно очень часто встретить на страницах учебников, в газетах и журналах, на экранах телевизоров.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения.

На уроках алгебры мы познакомились с графиками зависимости величин, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует графики в своей практической деятельности.

Гипотеза. С помощью графиков можно описывать различные реальные процессы, устанавливать зависимость между величинами, применять их для решения практических задач.

Цель. Выявить роль графиков реальных процессов в практической деятельности человека, показать их широкое применение в жизни.

Изучить историю возникновения графиков.

Найти примеры графиков функций в окружающем мире.

Провести исследования и построить графики некоторых реальных процессов; дать их анализ.

Создать буклет по подготовке к ОГЭ по математике по теме.

Основные методы исследования : сбор информации, социологический опрос, наблюдение, эксперимент и системный анализ.

Глава I История возникновения функции

1.1 Возникновение и понятие функции в древнем мире

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами «больше на», «меньше на», «больше во столько-то раз». Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков на 18 овец. Такие расчеты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.

1.2 Возникновение и понятие функции в древнем Египте

Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому переходили правила решения задач, чтобы решить такие задачи, надо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды

Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

1.4 Возникновение и понятие функции в Древней Греции

В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и в Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку, занимались строгими логическими выводами одних утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции.

1.5 Графическое изображение зависимостей, история возникновения

Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. Для доказательства своей правоты ученые прибегли не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Платона или к ссылкам на библейские сказания. При таком характере «научных дискуссий» не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь)

Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им «линией интенсивностей» или «линией верхнего края». Современный читатель сразу узнает в ней график соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал даже «плоскостные» и «телесные» качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.

Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.

Идеи Оресма на много обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной, алгебры в то время не существовало. Лишь после того, как в течение 16 века была постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.

1.6 Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, он разрушил пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой.

Чтобы освободить алгебру от несвойственного ей геометрического языка, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.

При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операциями над величинами соответствовали операции над буквами. Теперь уже для преобразования одной зависимости в другую не надо было писать громоздких пропорций, изучать подобные треугольники и преобразовывать геометрические фигуры. Достаточно было по твердо, установленным правилам делать алгебраические преобразования, причем все эти преобразования производились в общем, виде.

Глава II. Определение функций

2.1 Основные понятия о функциях

Переменная величина у есть функция аргумента х, т.е. y=f(x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

2.2 Способы задания функций

Функциональная зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х и функции у, может быть различными способами:

1). Табличный способ.

2). Словесный способ.

3). Графический способ.

Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4). Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Краткое рассмотрение различных способов задания функции показывает, что для подробного изучения ее поведения лучше всего сочетать исследование аналитического выражения функции с построением ее графика.

Наконец, еще раз подчеркнем следующее: из определения функции вытекает, что для ее задания необходимо лишь указать закон соответствия между величинами х и у. Способ же задания этого закона не имеет значения.

Глава III. Простейшие функции и их графики

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. В курсе алгебры нами изучены несколько простейших функций и их графики.

З десь число a называется угловым коэффициентом прямой. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс: a=tanα. Число b является координатой точки, в которой прямая пересекает ось Oy.

y= ,x ∈ [0,∞).

x ∈ (-∞;0) U (0;∞).

где x — независимая переменная, k — число, отличное от нуля.

Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Гипербола состоит из двух ветвей. (так называют две части графика).

Для построения гиперболы нужно знать несколько точек (больше точек — точнее график). Лучше выбирать те значения x, на которые удобно делить k.

ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Глава I V Графики вокруг нас

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

С понятием «график» любой человек сталкивается постоянно. У всех на слуху: график движения поезда, график продаж и график изменения температуры. Это удобная форма представления информации, которая используется в самых разных областях повседневной деятельности человека. Построенный по данным наблюдений и измерений график, в виде кривой или ломаной, позволяет увидеть, как изменялись показатели с течением времени, проанализировать их и сделать прогноз о том, как тот или иной процесс будет развиваться в будущем. Для построения графика в практике используется прямоугольная система координат. По оси абсцисс обычно откладываются фиксированные значения, например время, а по оси ординат – измеренные или вычисленные значения другой величины (функции).

Графики применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Используя ресурсы Интернета, я нашёл много разных примеров применения графиков.

Метеорология. Метеорологи фиксируют изменение температуры в течение какого-то промежутка времени. Записывают эти данные в виде таблицы, а затем переносят их на координатную плоскость. Получают график температуры . Для построения графиков используются специальные приборы – термографы. Анализируя графики, метеорологи составляют долгосрочные прогнозы погоды, эти данные важны для самых разных сфер деятельности: авиации, строительства, судоходства, а также сельского хозяйства.

Экономика. Широко используются различные графики и в экономике. Имея эти данные, экономисты могут дать прогноз производства электроэнергии на следующий год.

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. Используя график, специалисты могут рассчитать скорость движения автомобиля в зависимости от этих

Статистика. График показывает динамику численности населения Ивановской области с 1940 года по 2020 год. Анализируя график, статисты сделали вывод, что количество жителей области увеличивалось1990 года, а затем медленно стало уменьшаться.

Можно приводить еще очень много разных примеров использования графиков в практической деятельности человека.

Глава V Исследование реальных процессов,

построение графиков и их анализ

Я решил провести некоторые исследования и построить графики реальных процессов, которые можно наблюдать на известных мне объектах.

В школе я провел исследование успеваемости и качества знаний учеников нашего класса за время обучения, начиная с 5 класса. Обратившись к заместителю директора по УВР, получили необходимую информацию и построили график.

График качества знаний

Представленные графики свидетельствуют о том, что в середине основной школы отмечается резкое снижение успеваемости и качества знаний. Чтобы найти причины такой успеваемости, провел социологический опрос среди одноклассников «Что мешает мне хорошо учиться?». Обработал анкеты, составил таблицу и построили график.

Построенный график показал, что основной причиной, по мнению учеников, является загруженность уроками в школе. На втором месте оказалась «лень», а на третьем – недостаток времени. Мы пришли к выводу, что не все ученики правильно распределяют свое время. Над этим вопросом нужно обязательно поработать.

Мне понравилось строить графики «вручную». А еще я рассмотрел занимательную задачу, при решении которой убедился в том, что графики помогают решать практические задачи.

В 11 ч вечера слуга зажег хозяину две свечи, а утром в 7 ч обнаружил его убитым. Одна свеча лежала на полу потухшая, а вторая догорала. В какое время произошло убийство, если длина целой свечи 21 см, опрокинутой во время убийства 16 см, а не потухшего огарка 1 см?

Решение: Сгорание свечи – равномерный процесс. 23 часа – начало отсчета времени, длина свечи – 21 см. Построим точку (0;21). Слуга пришел через 8 часов, длина горевшей свечи составила 1см. Строим точку (8;1). Соединяем точки отрезком. Вторая свеча была такой же, сгорала также, как и первая свеча. По графику можно определить через какое время от начала зажигания свечей длина второй свечи была равна 16 см. Я увидел, что через 2 часа. Значит, убийство было совершено в 1час ночи.

Графики, таким образом, могут помочь в работе следователя.

Работая над темой исследования, я пришёл к выводу, что с помощью графиков можно описывать различные реальные процессы, устанавливать зависимость между величинами, применять их для решения практических задач. В жизни необходимо уметь читать графики, так как на графике можно компактно увидеть большое количество информации, проанализировать её и в дальнейшем использовать.

В ходе работы над проектом я научился проводить социологический опрос, обрабатывать полученную информацию, представлять её виде графика. Обрабатывая и представляя информацию, я применил знания математики, которыми овладел в 6-9 классе: строить точки по координатам в прямоугольной системе координат; строить графики зависимостей между величинами; «читать» графики, т.е. получать информацию о протекании различных реальных процессов.

Мои исследования показали, что графики широко применяются во всех сферах деятельности человека. Теперь я знаю, что в современном мире прожить без знаний о графиках невозможно. Чтобы быть хорошими специалистами, уметь разбираться в большом потоке информации, необходимо уметь представлять ее более компактно и наглядно.

Мое исследование может быть интересно учащимся девятых классов при подготовке к государственной итоговой аттестации по математике. А так же оно поможет мне избежать ошибок в решении здания №11 при прохождении ГИА по математике, в помощь для его выполнения подготовил буклет.

Л.Ф Пичурин. За страницами учебника алгебры – М.: Просвещение, 1990

Источник