Для чего нужны комплексные числа

Комплексные числа и их роль в науке и технике

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа № 10 городского округа Чапаевск Самарской области

ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ В ГОРОДОСКОМ

ОКРУГЕ ЧАПАЕВСК САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

2018/2019 УЧЕБНЫЙ ГОД

Тема: Комплексные числа и их роль в науке и технике

Ф.И.О. авторов: Шуршилин Егор Алексеевич,

Родионова Алина Заировна,

Ф.И.О. Жихарева Анастасия Александровна,

учитель первой квалификационной категории

Работа допущена к защите: « » _________ 2019 г.

Количество баллов: ____

1.1. История возникновения комплексных чисел 5-6

1.2. Понятие комплексного числа и комплексной плоскости 6-8

1.3. Формы представления комплексного числа 8-11

1.4. Действия над комплексными числами 11-12

Выводы по I главе 13

2.1. Решение уравнений в комплексных числах 14-15

2.2. Комплексные числа в экономике 15-16

2.3. Комплексные числа в физических задачах 16-21

2.4. Перспективы применения комплексных чисел 22-23

Выводы по II главе 24

Значительный шаг на пути развития математики осуществился с появлением нового вида чисел- комплексных. Алгебра комплексных чисел применяется при математическом моделировании многих процессов современной науки и техники.

Совершая поиск информации для научной работы, можно встретить многие современные процессы, описание которых происходит на базе комплексного анализа. Значит, комплексные числа будут являться необходимыми во многих отраслях науки и техники. Тема данной работы актуальна в связи с тем, что описания комплексных чисел нет в школьном курсе математики, а многим современным новаторским индустриям в перспективе окажутся необходимы знания комплексных чисел.

Цель работы состоит в ознакомлении с комплексными числами и указании их роли и перспективы применения в различных отраслях человеческой деятельности

Изучить историю возникновения комплексных чисел;

Охарактеризовать понятие комплексного числа и комплексной плоскости;

Рассмотреть формы представления комплексного числа;

Проанализировать действия над комплексными числами;

Привести примеры решения уравнений в комплексных числах;

Дать краткую характеристику применения комплексных чисел в экономике;

Рассмотреть и привести примеры применения комплексных чисел в физических задачах;

Проанализировать перспективы применения комплексных чисел.

Объект исследования: разнообразные формы комплексного числа и действия над ними.

Предмет исследования : комплексные числа.

Гипотеза : изучение раздела о комплексных числах позволит увеличить уровень математической грамотности и в перспективе внедрить свои знания в область

Методы исследования следующие:

Теоретический (изучение литературы, интернет- источников);

Практический (решение уравнений, приведение примеров из электротехники).

По окончании работы планируется выделить сходства и различия между комплексными и числами, которые мы знали ранее. А так же охарактеризовать какие-то отличительные особенности комплексных чисел, которые встретятся в ходе научно- исследовательской работы.

Глава I . Теоретическая часть

История возникновения комплексных чисел

Впервые мнимые величины были упомянуты в труде итальянского математика Джероламо Кардано «Великое искусство, или «об алгебраических правилах» в 1545 году. В процессе решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение , корни которого .

Возможность использования мнимых величин для решения кубических уравнений впервые описал итальянский учёный Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Он же дал правила сложения, вычитания и деления комплексных чисел. Бомбелли рассмотрел кубическое уравнение . Оно имеет вещественный корень , но, по формулам Кардано для решения кубических уравнений, также получил . Бомбелли обнаружил, что , так что сумма полученных величин даёт нужный вещественный корень 4. Он отметил, что во всех подобных случаях комплексные корни всегда сопряжены, поэтому в сумме получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало применению комплексных чисел.

Выражения вида появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений стали называть «мнимыми» с подачи Рене Декарта в XVI – XVII веках. Другие крупные учёные ставили под большие сомнения право на существование и использование мнимых величин, однако, несмотря на это, математики уверенно применяли к ним привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали конкретные результаты.

Называть мнимой единицей и обозначать его символом впервые предложил Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius – «мнимый». В 1751 году Эйлер высказал мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет мнимый корень, тем самым истолковав основную теорему алгебры, которая впервые будет доказана Иоганном Гауссом в 1799 году. Именно Гаусс и ввёл в широкое употребление понятие «комплексное число».

Геометрическое представление комплексных чисел было предложено в начале XIX века Гауссом, однако раньше него эту же идею высказали в своих работах Каспар Вессель и Жан Робер Арган, но их работы не привлекли внимания. Арифметическую модель комплексных чисел построил Уильям Гамильтон. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряженное число» ввёл Огюстен Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследования функции комплексного переменного.

Понятие комплексного числа и комплексной плоскости

Рисунок 1. Иерархия чисел

Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, представив их в виде

.

Главное свойство множества комплексных чисел – для них выполняется основная теорема алгебры:

«Любой многочлен n -й степени ( n ≥1), отличный от константы, с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел».

Это утверждение справедливо и для вещественных чисел, т.к. они являются частным случаем комплексных.

Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в степени, извлечение корня и логарифмирования. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя сравнить два комплексных числа и сказать, кто из них больше, а кто меньше.

Рисунок 2. Комплексная плоскость

Формы представления комплексного числа

Всего существует четыре формы представления комплексного числа:

Геометрическая форма комплексного числа – это его представление на комплексной плоскости в виде точки , где <x ; y > – координаты этой точки на действительной и мнимой оси комплексной плоскости соответственно. Из геометрической формы следует понятия модуля или абсолютной величины комплексного числа, сопряженных комплексных чисел и аргумента комплексного числа.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора, соответствующий точке комплексной плоскости. Таким образом, если , то

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол между радиус-вектором комплексного числа r и положительной вещественной полуосью комплексной плоскости и обозначается . Из этого определения выводятся следующие соотношения (см. рис. 3):

Также справедливы следующие свойства аргумента

Arg()=Arg(z ₁ )- Arg(z ₂ )

Для комплексного нуля значения аргумента не определено. Для любого ненулевого комплексного числа значение аргумента определено с точностью до , где k – любое целое число. Главным значением аргумента называют такое значение , что . Главное значение аргумента обозначается .

Комплексно-сопряженными числами называются два числа вида и (см. рис.4).

Такие числа симметричны относительно действительной оси комплексной плоскости. Для комплексно-сопряженных чисел справедливы следующие соотношения:

(сопряженное к сопряженному есть исходное).

Тригонометрическая форма комплексного числа связана с геометрической. Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент комплексного числа в виде , , то любое ненулевое комплексное число можно представить как . Тригонометрическая форма комплексного числа представлена на рисунке 5.

Показательная форма комплексного числа является следствием из формулы Эйлера, которая имеет фундаментальное значение в комплексном анализе. Формула Эйлера утверждает, что для любого комплексного числа выполнено следующее равенство:

,

где – число Эйлера , – мнимая единица ,

Соединив это равенство с тригонометрической формой комплексного числа, получим:

Действия над комплексными числами

Для комплексных чисел определены следующие математические операции:

Источник

Что такое комплексные числа

Первый урок по комплексным числам. Сегодня мы разберём:

Если же вас интересует тригонометрическая форма записи комплексного числа, либо извлечение корней из комплексных чисел — этим темам посвящены отдельные уроки.

Сегодня — лишь самое главное. Но не самое простое.:)

0. Краткая вводная

Когда-то нам хватало натуральных чисел:

Всё было прекрасно: «У тебя 5 бананов, у меня ещё 3 — итого у нас 5 + 3 = 8 бананов». Сумма двух натуральных чисел всегда даёт новое натуральное число (говорят, что операция сложения замкнута на множестве натуральных чисел).

Но вот на сцену выходит вычитание — и натуральных чисел стало недостаточно. Например разность 3 − 5 = −2 уже не будет натуральным. Так появились целые числа (натуральные, им противоположные и ноль):

Дальше к делу подключились операции умножения и деления. Да, произведение двух целых чисел всё ещё целое, но вот деление приводит к образованию дробей. Например, 1 : 2 или 5 : 4 уже нельзя записать целым числом. Так появилось множество рациональных чисел или множество дробей:

Это был настоящий триумф для древней математики, и в тот момент казалось, что ничего больше уже изобрести нельзя. Да и зачем?

Проблема пришла откуда не ждали. В какой-то момент классическое умножение «разрослось» до возведения в степень:

Тут-то и выяснилось, что возведение рационального числа в натуральную степень всё ещё будет рациональным числом. Но вот обратная операция — извлечение корня — выносит нас за пределы рациональных чисел:

\[\sqrt<2>=1,41421. \notin \mathbb\]

Так появилось множество действительных чисел — множество бесконечных десятичных дробей, которые могут быть периодическими (и тогда это обычное рациональное число) и непериодическими (такие числа называют иррациональными, и их неизмеримо больше).

Казалось бы: ну вот теперь точно всё! Что ещё нужно для счастья? Проблема в том, что на множестве действительных чисел нельзя извлечь даже самый простой квадратный корень из отрицательного числа:

Однако законы физики (особенно электродинамика и вообще всё, где есть слово «динамика») как бы намекали, что множество содержательных процессов протекает там, где привычные корни не извлекаются. А значит, следует расширить множество действительных чисел так, чтобы такие корни всё же извлекать.

И тут открылись врата в Ад.

1. Комплексная единица

Начнём с ключевого определения.

Однако в остальном это такое же число, как и все остальные. Комплексные единицы можно складывать, умножать, их можно комбинировать с «нормальными» числами:

2. Стандартная форма записи комплексных чисел

А теперь всё по-взрослому.

Определение. Комплексное число — это любое число вида

\[\begin & z=5+3i \\ & \operatorname\left( z \right)=5 \\ & \operatorname\left( z \right)=3 \\ \end\]

\[\begin & 5=5+0\cdot i \\ & x=x+0\cdot i\left( \forall x\in \mathbb \right) \\ \end\]

И напротив: существуют «чисто мнимые» числа, у которых вообще нет действительной части. Та же комплексная единица, например:

\[\begin i &=0+1\cdot i \\ 35i &=0+35\cdot i \\ \end\]

Таким образом, действительные числа являются частным случаем комплексных. Подобно тому как рациональные числа являются частным случаем действительных (в конце концов, рациональные числа — те же десятичные дроби, но с дополнительным условием: они периодические).

2.1. Равенство комплексных чисел

В самом деле, пусть некоторое число записано двумя способами:

Соберём все действительные слагаемые слева, а мнимые — справа:

Слева мы видим действительное число. Значит, справа тоже должно стоять действительное число. Единственная ситуация, в которой это возможно:

Получается, что справа от знака равенства стоит ноль. Следовательно, слева тоже ноль:

Следовательно, исходные записи совпадают.

Поэтому имеет смысл следующее определение.

Определение. Два комплексных числа равны друг другу тогда и только тогда, когда равны их действительные части, а также равны их мнимые части:

Если хотя бы одна из частей не равна, то и сами числа не равны.

Поскольку от перестановки слагаемых сумма не меняется (сложение чисел — настолько суровая операция, что какие-то там «комплексные единицы» никак не нарушают его коммутативности), мы можем записать:

А вот перестановка мнимой и действительной части (если эти части разные) немедленно ведёт к нарушению равенства:

К координатной плоскости мы ещё вернёмся. А пока определим правила сложения и вычитания комплексных чисел.

3. Сложение и вычитание комплексных чисел

Выше мы проводили аналогию между комплексными числами и многочленами. Идём по этому пути дальше и вспоминаем, что многочлены можно складывать, группируя слагаемые и приводя подобные:

Точно так же можно определить и сложение (да и вычитание) двух комплексных чисел. Всё просто:

Другими словами, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и отдельно — мнимые. То же самое для вычитания.

Не нужно учить эти формулы. Дальше будут формулы умножения и деления — они ещё сложнее. Нужно понять ключевую идею: мы работаем с комплексными числами точно так же, как с многочленами. С небольшим дополнением: все степени комплексной единицы выше первой «сжигаются» прямо по определению самой единицы:

Небольшое замечание. В отличие от математики 5—6 классов, в серьёзной «взрослой» алгебре нет такого понятия как «вычитание». Зато есть понятие противоположного элемента и алгебраической суммы:

Всё это в полной мере относится и к комплексным числам. Там тоже есть противоположные:

Есть ноль (нейтральный элемент по сложению):

\[\begin 0 & =0+0\cdot i \\ z & =a+bi \\ z+0 & =\left( a+0 \right)+\left( b+0 \right)\cdot i= \\ & =a+bi=z \end\]

В общем, множество комплексных чисел — это абсолютно «нормальное» множество с понятной операцией сложения. Буквально через пару минут мы определим и умножение, но сначала давайте всё-таки запишем определение самого множества комплексных чисел.

Записывается это так:

Не пугайтесь, когда увидите подобную запись где-нибудь в учебнике алгебры. По сути, это краткая запись всего того, о чём мы говорили выше. Ничего нового мы здесь не узнали.

А вот что действительно представляет интерес — сейчас узнаем.:)

4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Такие упорядоченные пары удобно рассматривать как координаты точек. По горизонтали (ось абсцисс) мы будем отмечать действительную часть числа, а по вертикали (ось ординат) — мнимую.

Определение. Комплексная плоскость — декартова система координат, где по горизонтали отмечается действительная часть комплексного числа, а по вертикали — мнимая.

Рассмотрим несколько примеров. Отметим на комплексной плоскости числа:

4.1. Ещё раз о сложении и вычитании

Такое представление чисел — в виде точек на комплексной плоскости — называется геометрической интерпретацией. Числа в таком виде удобно складывать и вычитать. По сути, всё сводится к сложению обычных векторов.

Допустим, мы хотим сложить два числа:

Отметим эти числа на комплексной плоскости, построим векторы из начала координат с концами в отмеченных точках, а затем просто сложим эти векторы (по правилу треугольника или параллелограмма — как пожелаете):

Координаты новой точки: (6; 2). Следовательно, сумма равна:

Аналогичный результат можно получить и алгебраически:

Как видим, алгебраические выкладки заняли гораздо меньше времени и места. Уже хотя бы потому что не потребовалось чертить систему координат.:)

Зачем же тогда нужна комплексная плоскость и геометрическая интерпретация? Всё встанет на свои места буквально через пару уроков, когда мы рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексных чисел, а также будем извлекать из этих чисел корни.

А чтобы подготовиться к этим урокам, рассмотрим ещё два ключевых определения.

5. Комплексно-сопряжённые и модуль числа

Для начала вспомним школьную алгебру. Работа с многочленами, 7-й класс:

называется разностью квадратов и является одной из формул сокращённого умножения.

В математических классах с помощью сопряжённых искали обратные числа, чтобы затем решать сложные показательные и логарифмические уравнения:

Теперь настало время комплексных чисел. В них тоже можно ввести понятие сопряжённых.

5.1. Комплексно-сопряжённые

Комплексно-сопряжённые числа отмечаются чертой сверху.

Рассмотрим несколько примеров:

Видим, что комплексно-сопряжённое к «чисто мнимому» числу есть число, ему противоположное. А комплексно-сопряжённое к действительному числу есть само это число.

Зачем нужны комплексно-сопряжённые? Вспомним всё ту же формулу разности квадратов:

Итак, произведение числа на комплексно-сопряжённое даёт сумму квадратов действительной и мнимой части. Это ключевое свойство комплексно-сопряжённых, и оно позволяет нам рассмотреть следующее определение.

5.2. Модуль комплексного числа

Снова вспомним школьную алгебру. Модуль действительного числа определяют так:

Ключевая идея: модуль числа — это всегда неотрицательная величина, равная расстоянию от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта. Но всё это происходит на числовой прямой. На комплексной плоскости к делу подключается теорема Пифагора.

Вновь обратимся к геометрической интерпретации:

\[b=0\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt<<^<2>>>\]

Получается, что на множестве комплексных чисел нельзя ввести привычные нам понятия «больше» или «меньше». Поскольку каждое число характеризуется двумя независимыми параметрами (действительной и мнимой частью), нет универсальной меры, нет отношения порядка.

Можно считать это фундаментальным законом природы. Когда мы держим в голове больше одного параметра, нет больше универсального критерия успеха:

Оценка одного и того же события будет меняться в зависимости от настроения и наших предпочтений.

Модуль числа нам пригодится в следующем уроке. А вот комплексно-сопряжённые мы будем применять уже сейчас.

6. Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа можно не только складывать и вычитать, но даже умножать и делить друг на друга.

6.1. Умножение

С умножением ничего особенного.

\[\begin <_<1>>\cdot <_<2>> & =\left( a+bi \right)\left( c+di \right)= \\ & =ac+bc\cdot i+ad\cdot i+bd\cdot <^<2>>= \\ & =\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)\cdot i\end\]

Как видим, произведение комплексных чисел вновь даёт комплексное число.

Как и в случае со сложением, не нужно учить эти формулы наизусть. Лучше просто потренироваться и понять сам механизм:

Достаточно решить 10—15 таких примеров — и никакие специальные формулы и определения вам больше не понадобятся. То же самое и с делением.

6.2. Деление

Финальный бросок — попробуем разделить одно комплексное число на другое. Разумеется, делитель не должен быть нулём, иначе частное не определено.

Частное комплексных чисел вновь будет комплексным числом.

Саму формулу не нужно запоминать. Достаточно лишь отметить для себя, что мы умножили числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряжённое к знаменателю. Само деление можно выполнять напролом:

Тем не менее, даже после основательной тренировки умножение и особенно деление комплексных чисел остаётся трудоёмкой операцией, где можно допустить множество ошибок. Поэтому для таких операций (а также для кое-чего гораздо более серьёзного) математики придумали другую форму записи комплексных чисел — тригонометрическую. С ней мы и познакомимся на следующем уроке.:)

Источник