Доказать что группа порядка 6 либо коммутативна либо изоморфна группе s3

Доказать, что неабелева группа порядка 6 изоморфна группе S3

задан 29 Окт 16:41

Если это начало алгебры, то смотрим какие порядки у неединичных элементов. Если все порядки 2, то группа абелева, значит есть уже е,а,a^2. Берем b и строим еще ba и ba^2.

Если есть теоремы Силова, то надо их использовать

1 ответ

Ограничимся самыми простыми рассуждениями, не привлекая теорем Силова или Коши.

Порядки элементов группы делят 6. Если есть элемент порядка 6, то группа циклическая, а потому абелева. Далее считаем, что таких элементов нет.

Допустим, что есть элемент порядка 3 (основной случай). Тогда есть подгруппа . Пусть b ей не принадлежит. Тогда G=. Зададимся вопросом, чему равно b^2. Если это ba^k, то b является степенью a. Если b^2=a, то a и b коммутируют; группа абелева. То же самое для b^2=a^2=a^<-1>.

Единственная возможность b^2=e. Заметим, что наше рассуждение проходит для любого элемента b вне подгруппы. Поэтому (ba)^2=e. Из этого следует, что b^<-1>ab=a^<-1>. Тогда b^<-1>a^b=a^<-k>. Следовательно, a^b=ba^<-k>, а из этого следует однозначность таблицы умножения элементов.

Одну неабелеву группу порядка 6 мы знаем. Поэтому именно она здесь и получается, а других нет.

Наконец, пусть нет элементов порядка 3. Получается, что любой элемент группы в квадрате равен e, то есть любой элемент равен своему обратному. Такая группа всегда абелева: xy=(xy)^<-1>=y^<-1>x^<-1>=yx.

Источник

Доказать коммутативность группы

Доказать, что коммутативность сложения векторов в линейном пространстве.
доказать, что коммутативность сложения векторов вытекает из остальных аксиом линейного пространства

Доказать изоморфизм фактор-группы мультипликативной группы ненулевых комплексных чисел
Нужно доказать, что фактор-группа мультипликативной группы фактор-группа мультипликативной группы.

Доказать изоморфизм фактор-группы и мультипликативной группы
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, доказать, что GL_n(F)/SL_n(F) изоморфна мультипликативной.

Доказать свойство изоморфизмов циклической группы
Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить задачу. Доказать, что все изоморфизмы циклической.

Доказать что отображение абелевой группы в себя, является гомоморфизмом
Доказать что отображение фи абелевой группы G=Z9xZ15 в себя, задаваемое формулой фи(х)=15х.

Доказать, что множество матриц есть подгруппа мультипликативной группы
Помогите пожалуйста с доказательствами! 1) Доказать, что мн-во М матриц (а,0//0,а), где а∈R.

Коммутативность двух матриц
Правда ли, что для того, чтобы две матрицы можно было считать коммутирующими (перестановочными).

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Группа S3

подскажите наводящими вопросами, как доказать, что в точности до изоморфизма симметрическая группа на трёх элементах является единственной неабелевой группой порядка 6. Причём следует использовать тот факт, что если в группе индекс любой подгруппы 2, то эта подгруппа обязательно нормальна.

Добавлено спустя 11 минут 30 секунд:

Достаточно ли доказать, что группа неабелева тогда и только тогда, когда нет ни одной подгруппы индекса 2?

Заслуженный участник

Что касается сабжа, то из теоремы Силова вытекает, что для любых простых p Бабай

Это то, что Вы имели ввиду?

До Силова мне пока ещё далеко, но очень интересное утверждение!

Заслуженный участник

ну тогда действуем так

Добавлено спустя 11 минут 10 секунд:

раз циклическая подгруппа с образующим a яв-ся номальной, то видно, что вся группа должа быть либо абелевой, т.е.

либо выполняется , из чего, немного поперекидав туда-сюда множители, вытекает, что существуют некоммутирующие элементы , такие что

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Курсовая работа: Теорема Силова

Глава I. Дополнительные сведения

1.1 Вспомогательные понятия и утверждения

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов

1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Глава II. Теорема Силова

2.1 Первая теорема Силова

2.2 Вторая и третья теорема Силова

2.3 Описание групп порядка pq

2.4 Примеры силовских подгрупп

В наши дни не без основания говорят об “алгебраизации” математики, то есть о проникновении идей и методов алгебры, как в теоретические, так и в прикладные разделы всей математики.

В соответствии с принципом “важны не математические объекты, а отношения между ними” алгебра определяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь на основе алгебраических соображений получаются наиболее естественные доказательства многих факторов из “высшей арифметики” – теории чисел. теорема силов лагранж

Одной из основных типов алгебраических систем является группа. Теория групп изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях. Понятие группы явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математических дисциплин на рубеже XIX-XX веков, в результате которой понятие математической системы стало основным в математике.

В ряду алгебраических дисциплин составляющих совокупности, то, что иногда называют общей алгеброй, теория групп занимает, бесспорно, первое место как наиболее развита из этих дисциплин. Кроме того, теория групп представляется как область алгебры близко соприкасающийся с рядом других алгебраических теорий.

Старейшей и интенсивно развивающей ветвью теории групп, является теория конечных групп. Теорема Силова является краеугольным камнем в теории конечных групп.

Цель обусловила постановку и решение следующих задач.

1.Изучить основные понятия теории групп.

2.Рассмотреть теорему Силова и проанализировать различные способы доказательства.

3.Представить данную тему в развернутой форме, которая в последствии может быть использована при чтении спецкурсов по теории групп.

Поставленные задачи определили структуру дипломной работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в работе, что позволило сделать изложение более доступным и замкнутым.

Глава I. Дополнительные сведения

1.1 Вспомогательные понятия и утверждения

3) существование нейтрального элемента – для любого a ÎG существует элемент e ÎG такой, чтоa * e = e * a = a ;

4) существование обратного элемента – для любого существует элемент a -1 ÎG такой, чтоa * a -1 = a -1 * a = e .

Доказательство. Надо лишь показать, что H обладает единицей, но единица G равна aa -1 при a Î H и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения. ■

Теорема 1.1.2. Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической группой.

2. f – взаимнооднозначно.

Теорема 1.1.3. 1) Любая бесконечно циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ℤ.

2) Любая конечно циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n .

a) Так как все целочисленные степени элемента a различны, то отображение φ (a n )= n является биективным или взаимнооднозначным.

Таким образом, 1) доказано.

b) Сохраняется выполнимость операций в группах: (a k a m )= (a k + m )= == = φ (a m )+ φ (a k ). ■

Теорема 1.1.4. Пересечение любого множества подгрупп есть подгруппа.

1) Замкнутость H относительно умножения.

a , b Î H Þ

2)

3) a Î H = A ■

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

Представление группы G в виде объединения левых (правых) смежных классов по подгруппе H называется левосторонним (правосторонним ) разложением группы G по подгруппе H .

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.

Предположим, что Æ докажем, тогда что .

Имеем, Æ следовательно, существует , такой что . Тогда, так как существует такой что, следовательно .

Аналогично доказывается условие совпадения правых смежных классов: . ■

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе содержат одинаковое количество элементов.

,

.

2)φ – отображение, то есть .

Действительно, .

2)отображение φ взаимно однозначно, что доказывает проведение предыдущих рассуждений в обратном порядке.

Теорема 1.2.1. (Лагранжа) Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

G = . (1)

Следствие 2 . Пусть G – группа простого порядка, тогда G – циклическая группа (изоморфна ℤ_p ).

Доказательство. Пусть G – отличная от единичной группа,

, тогда по следствию теоремы Лагранжа, все элементы искомой группы могут иметь порядки 1, 2, 3, 6. Рассмотрим три случая.

2) Все неединичные элементы имеют порядок 2. Тогда группа G – абелева.

3) Все неединичные элементы G имеют порядок 2или 3 и есть обязательно элемент порядка 3.

· Если ac = e , тоc = a 2 = b , противоречие с условием

Таким образом, группа G состоит из 6 элементов: G =.

Известно, что симметрическую группу подстановок S ₃ , можно задать двумя образующими и тремя определяющими соотношениями. Следующим образом S ₃ = где в качестве x можно взять подстановку , а в качестве y : .

Далее выпишем все элементы группы A ₄ и построим таблицу умножения элементов.

Все 4!=24 перестановки из четырёх символов 1, 2, 3, 4 расположим в таком порядке, чтобы каждая последующая перестановка получалась от предыдущей с помощью одной транспозиции (перемены мест двух символов).

Начнём с перестановки 1, 2, 3, 4. Итак,
.

Так как всякая транспозиция меняет четность перестановки, то в полученном ряду все перестановки, взятые через одну, являются четными (они подчеркнуты).

Теперь уже легко составить все искомые четные подстановки достаточно в каждой из них в качестве первой строки записать перестановку (1234), а в качестве второй строки одну из найденных четных перестановок. Итак,

A₄ =

.

Строим таблицу умножения.

Таблица 1

Из таблицы 1 видим, что элементами второго порядка будут:

и, кроме того, эти элементы попарно перестоновочны. Заметим, что в A ₄ нет элементов шестого порядка. Действительно, a ₁ = a ₁ a ₁ a ₁ = e элемент третьего порядка,

Заметим также, что в группе подстановок S ₃ существуют элементы второго порядка, но они не перестановочны. В самом деле, выпишем все элементы симметрической группы.

S₃ =.

Построим их таблицу умножения.

Таблица 2

1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов

Если левостороннее разложение группы G по подгруппе H совпадает с правосторонним, то H называют нормальной подгруппой группы G (нормальный делитель, инвариантная подгруппа ) и обозначается . Для любого элемента g ÎG будет выполняться равенство

Доказательство. 1) Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативности умножение элементов группы. Пусть g ₁ , g ₂ , g ₃ ÎG , тогда

1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы

п.1 . В отличие от смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. При вычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.

Пусть M – подмножество, H –подгруппа группы G . Нормализатором множества M в подгруппе H называется множество:

.

C_H (M )= .

Централизатор всей группы G называется её центром и обозначается Z (G ),

Z (G )= .

Теорема 1.4.2. Пусть , где p – простое число. Тогда центр Z (G ) группы G нетривиальный, то есть содержит неединичные элементы.

Доказательство. Ранее было показано (см. 3), что любая группа G разбивается на не пересекающие классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные образованные элементами центра, причем их число неравно нулю, так как единица е группы G образуют одноэлементный класс.

.

Следовательно, по теореме Лагранжа , где .

Тогда , из этого равенства следует, что t делиться на p и так как , то таким образом централизатор Z (G ) группы G нетривиален. ■

Далее докажем одно несложное утверждение которое понадобиться в дальнейшем.

Предложение 1.4.3. Фактор группа некоммутативной группы G по её центру Z (G ) не может быть циклической.

Из доказанной выше теоремы 1.4.2 и предложения 1.4.3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.4.4. Любая группа G порядка p 2 , где p – простое число, коммутативна.

Доказательство (от противного). Пусть G – не коммутативная группа, так как G является p — группой (конечная группа P является p — группой, если ), то её центр не единичен, то есть . Рассмотрим G / Z (G ). Порядок G / Z (G ) равен p по теореме Лагранжа, следовательно, G / Z ( G ) – циклическая (см. следствие 2 теоремы Лагранжа) – противоречие с предложением 1.4.3. Таким образом G – коммутативна. ■

п.2. Рассмотрим конструкцию, позволяющую по заданным группам строить новые группы. Одна из самых простых, но важных конструкций состоит в следующем.

Пусть A , B – группы, легко проверить, что множество всех упорядоченных пар (a , b )где , с бинарной операцией является группой. Она называется прямым произведением (внешним) групп A и B . При аддитивной записи групп, естественно говорить о прямой сумме .

Далее, так как то коммутатор ; так как , то , то есть, получаем и, стало быть .

Определим теперь отображение φ из . Полагая для любого . Проверим закон сохранения операции. Согласно выше сказанному:

Последние определение прямого произведения (внутреннего). Можно заменить следующим ему эквивалентным. Группа G есть прямое произведение своих подгрупп , если

2) Всякий элемент g и G однозначно записываются в виде произведения

где ,

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

показывает, что при этом отображении всякий элемент группы будет образом некоторого элемента. Из соотношения a –1 xa· a –1 ya = a –1 (xy )a

Предложение 1.5.3. В условиях предложения 1.5.2. полные прообразы элементов из S является классами смежности по ядру гомоморфизма.

Теорема 1.5.4. (первая теорема о гомоморфизме) Гомоморфный образ группы изоморфен её факторгруппе по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силу предложения 1.5.3. Оно сохраняется при умножении, ибо

Предложение 1.5.5. H и K подгруппы группы G и , тогда является подгруппой группы , и .

, причем , так как поэтому, таким образом, для каждого элемента существует обратный .

Пусть , причем , тогда

Кроме того, так как для любого , то Hk = kH , следовательно, HK = KH . Далее для любого элемента имеем . Откуда . ■

Теорема 1.5.6 (об изоморфизме). Пусть G – группа и H и K две его подгруппы. Причём тогда и .

Доказательство. Покажем что подгруппа нормальна в K . Тогда для : , так как и , и по условию , следовательно, для любого k изK и значит . Кроме, того, по предыдущему предложению имеем HK = KH подгруппа группы G и .

. ■

Глава II . Теоремы Силова

2.1 Первая теорема Силова

Для доказательства данного утверждения нам потребуется некоторые дополнительные понятия.

Лемма 2.1.2 . Все показатели элемента делится на его порядок.

Теорема 2.1.3 ( первая теорема Силова ). Пусть G – конечная группа порядка n , p – простое число. Тогда

1. При n =1 теорема очевидна (очевидна также теорема n = 2, n = 3).

Далее рассмотрим два случая:

По теореме 1.2.1 (Лагранжа) или

По теореме 1.4.1. получаем, что если ,то мощность класса сопряженных с g элементов:

,

(i) Порядок Δ и P взаимно просты, то есть НОД( Δ, P )= 1 по теореме 1.4.1. Δ= в силу теоремы Лагранжа, получаем: и, следовательно, Δотсюда следует, так как порядок G делится на , и НОД( Δ,)= 1, то поэтому по пункту а): существует подгруппа группы , . Откуда получаем, что полный прообраз подгруппы подгруппа H имеет

p α -1 ·p = p α и .

Δ= ,

Δ=

Δ= – по теореме 1.4.1. так как по теореме Лагранжа

,

2.2 Вторая и третья теорема Силова

Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова )

(Сопряженность) Все силовские p – подгруппы группы G сопряжены.

Δ=.

По теореме Лагранжа, получаем

Теорема 2.2.2. (третья теорема Силова)

Δ, по теореме Лагранжа

Δ, то есть порядок G делиться на порядок Δ.

|Δ|=, таким образом, порядок |Δ |=1 (modp ). Теорема доказана. ■

Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение:

Доказательство :(i) Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка , по второй теореме Силова сопряжены. Условие единственности Р означает, что для любого элемента то есть .

(ii) Докажем вначале

. С другой стороны, так как , то

, отсюда следует, то есть элементы и перестановочны.

Пусть единичный элемент записан в виде , где – элемент порядка . Обозначив и воспользовавшись перестановочностью , получим

(1)

С другой стороны каждый элемент порядка , записывается в виде,

, , . (2)

Достаточно положить , где показатели определяются условиями

, .

Предположим теперь, что х допускает другую запись в виде произведения – элементов , то есть справедливо равенство .

Домножим обе части равенства справа на , получим

В силу перестановочности и будем иметь

как было показано выше, влечет равенства , то есть

Таким образом, каждый элемент группы G записывается и притом единственным образом в виде (2), то есть смотри 4 п. 2 ■

2.3 Описание групп порядка pq

Теорема Силова часто дает весьма существенную информацию о данной конечной группе, а группы не очень большие позволяет описать полностью.

Пусть , p и q простые числа.

2. Пусть p и q по-прежнему простые числа, но p 1 тогда выясним, какое может быть r удовлетворяющее равенству (1). Из равенства (1) индукцией по x получаем , откуда

, (2)

При x = p , y =1 из равенства (2) будем иметь вид так как , то получаем или . Известно, что если элемент х группы G имеет порядок n, то тогда и только тогда когда . Следовательно, , то есть или .

Кроме того, из равенства (2) можно получить более общую формулу умножения. Домножим равенство (2) слева на а х : далее полученное равенство домножаем слева a z : из полученного равенства умножаем, справа на элемент b t получаем

(3)

,

.

.

Учитывая, что окончательно получаем,

.

В свою очередь так как, , но .

В процессе выполнения данной дипломной работы были выполнены все поставленные задачи, тем самым цель работы достигнута.

В первой главе были собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в дипломной работе.

Материалы данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурсов посвященных как теории групп вообще, так и отдельным её разделам.

5. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. – Учебник для вузов. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.

6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 1979.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965.

10. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.

Источник