Доказать что кардинальных чисел бесконечно много
Теория множеств
Впервые опубликовано 8 октября 2014; содержательно переработано 12 февраля 2019
Теория множеств — это математическая теория о вполне определенных совокупностях, называемых множествами, содержащиеся в них объекты называются членами или элементами множества. Чистая теория множеств работает исключительно со множествами, то есть она рассматривает только те множества, элементы которых также представляют собой множества. Теория наследственно конечных множеств — чьи элементы также являются конечными множествами, которые также состоят из конечных элементов и т.д. — формально эквивалентна арифметике. Таким образом, суть теории множеств состоит в изучении бесконечных множеств, следовательно, ее можно определить как математическую теорию об актуально бесконечном (в противовес потенциально бесконечному).
Понятие множества настолько простое, что обычно его определяют неформальным образом и считают чем-то само собой разумеющимся. Однако в теории множеств, как это часто происходит в математике, множества задаются аксиоматически, поэтому их существование и базовые свойства постулируются при помощи соответствующих формальных аксиом. Аксиомы теории множеств предполагают существование настолько богатого теоретико-множественного универсума, что все математические объекты можно представить в виде множеств. Кроме того, формальный язык чистой теории множеств позволяет формализовать все математические понятия и аргументы. Таким образом, теория множеств становится стандартным основанием математики, поскольку всякий математический объект можно рассматривать в виде множества и всякую математическую теорему можно логически вывести в исчислении предикатов из аксиом теории множеств.
Оба аспекта теории множеств, а именно, теория множеств как математическое исследование бесконечности и как основание математики, обладают философской значимостью.
Истоки
Теория множеств как отдельная математическая дисциплина берет свое начало в работах Георга Кантора. Можно сказать, что теория множеств появилась на свет в 1873 году, когда он совершил потрясающее открытие, установив, что линейный континуум, то есть вещественная прямая, несчетен — иными словами, что входящие в прямую точки нельзя посчитать с помощью натуральных чисел. Так, даже если и множество натуральных чисел, и множество действительных чисел являются бесконечными, действительных чисел больше, чем натуральных — и осознание этого факта послужило толчком для возникновения идеи множеств с различными объемами бесконечности (см. обсуждение истоков идей теории множества и их использования различными математиками и философами до Кантора и в его время в статье о ранних этапах развития теории множеств).
Согласно Кантору, два множества A и В обладают одинаковым объемом, или кардинальностью, если элементы множества А можно поставить во взаимно-однозначное соответствие элементам множества В. Таким образом, множество N натуральных чисел и множество R действительных чисел характеризуются различной кардинальностью. В 1878 году Кантор сформулировал знаменитую континуум-гипотезу (CH), в которой утверждается, что всякое конечное множество действительных чисел является одинаково счетным — то есть характеризуется той же кардинальностью, что и N, либо той же кардинальностью, что R. Иными словами, существуют только два возможных объема бесконечных множеств действительных чисел. CH представляет наиболее известную проблему теории множеств. Сам Кантор приложил немало усилий для ее развития — как и многие другие крупнейшие математики первой половины XX века, в частности Гильберт — расположивший CH в начало своего знаменитого списка из 23 неразрешенных проблем математики, представленных в 1900 году во время Второго Международного Конгресса Математиков в Париже.
Вплоть до сегодняшнего дня проблема СН остается открытой.
Уже на раннем этапе понятия так называемой наивной теории множеств порождали всякие противоречия и парадоксы; в частности, парадоксы возникают из, казалось бы, естественного допущения о том, что всякое свойство задает множество, а именно — множество объектов, обладающих данным свойством. Известным примером служит так называемый парадокс Рассела, также известный Цермело:
Таким образом, некоторые совокупности, подобно совокупности всех множеств, совокупности всех ординальных чисел или совокупности всех кардинальных чисел, не являются множествами. Такие совокупности называются собственными классами.
Для того, чтобы избежать парадоксов и найти твердое основание для теории множеств, необходимо задать для нее систему аксиом. Первую попытку аксиоматизации теории множеств предпринял Цермело (Zermelo 1908); к этому его подтолкнула необходимость установления базовых теоретико-множественных принципов, на которые опиралось бы его доказательство канторовского принципа вполне упорядоченного множества. Аксиоматизация Цермело позволяет избежать парадокса Рассела с помощью аксиомы выделения, которая формулируется как количественная оценка свойств множеств — то есть она представляет собой высказывание второго порядка.
Дальнейшая работа, проведенная Скулемом и Френкелем, привела к формализации аксиомы выделения с помощью формул первого порядка, заменивших неформальное понятие свойства, а также к введению аксиомы преобразования, которая также была сформулирована в виде схемы аксиом для формул первого порядка (см. следующий раздел). Аксиома преобразования необходима для правильного развития теории трансфинитных ординальных и кардинальных чисел с использованием трансфинитной рекурсии (см. раздел 3).
Было также необходимо доказать существование такого простого множества, как множество наследственно конечных множеств, т.е. таких конечных множеств, которые состоят из конечного числа элементов, элементы которых также конечны и т.д.; или доказать базовые теоретико-множественные утверждения, например то, что всякое множество содержится в транзитивном множестве — то есть множестве, содержащем все элементы, входящие в состав элементов данного множества (о погрешностях теории множеств Цермело см. Mathias 2001). Дальнейшее появление аксиомы регулярности, предложенное фон Нейманом, привело к установлению стандартной аксиоматической системы теории множеств, известной как аксиомы Цермело — Френкеля с добавлением аксиомы выбора, или ZFC.
Прочие аксиоматизации теории множеств (например, аксиоматизация фон Неймана —Бернайса — Гёделя или Морза — Келли) также позволяют нам проводить формальный анализ собственных классов.
Аксиомы теории множеств
Аксиомы Цермело — Френкеля с добавлением аксиомы выбора (ZFC) — это системы аксиом, сформулированных в первопорядковой логике с равенством и единственным символом бинарного отношения ∈, обозначающим принадлежность. Так, запись A∈B означает, что А является элементом множества В. Ниже мы приводим неформализованную запись аксиом ZFC.
Аксиомы ZFC
● Аксиома объемности: Если элементы двух множеств А и В совпадают, то эти множества равны.
● Аксиома пустого множества: Существует множество, обозначаемое как ∅ и называемое пустым множеством, в которое не входят никакие элементы.
● Аксиома пары: Для любых множеств А и В существует множество, обозначаемое
● Аксиома множества подмножеств (аксиома булеана): Для любого множества А существует множество, обозначаемое Р(А) и называемое множеством подмножеств А, элементами которого являются все подмножества А.
● Аксиома объединения: Для любого множества А существует множество, обозначаемое ⋃A, которое называется объединением А, и элементами которого являются все элементы, входящие в состав хотя бы одного из множеств элементов А.
● Аксиома бесконечности: Существует некоторое бесконечное множество. Существует множество Z, которое содержит ∅, так что если A∈Z, то ⋃
● Аксиома выделения: для всякого множества А и всякого заданного свойства существует множество, содержащее все элементы А, обладающие данным свойством. Свойство задается формулой φ первопорядкового языка теории множеств.
Таким образом, аксиома выделения — это не одна аксиома, а схема аксиом, то есть бесконечный список аксиом — по одной для каждой формулы φ.
● Аксиома преобразования: Для всякой определенной функции, область определения которой задает множество А, существует множество, элементами которого являются все значения данной функции. Аксиома преобразования также представляет собой схему аксиом, поскольку определенные функции задаются формулами.
● Аксиома регулярности: Всякое непустое множество А содержит минимальное подмножество, то есть такое подмножество, которому не принадлежит никакой другой элемент множества А.
Так выглядят аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля (ZF). Аксиомы пустого множества или пары выводятся из других аксиом ZF, так что их можно опустить. Кроме того, из аксиомы преобразования выводится аксиома выделения.
Наконец, существует аксиома выбора (АС):
● Аксиома выбора: Для всякого множества А попарно непересекающихся непустых множеств существует множество, содержащее ровно один элемент из каждого подмножества А.
Долгое время АС считалась противоречивой аксиомой. С одной стороны, она очень полезна и широко используется в математике. С другой стороны, ее следствия контринтуитивны; таковым является например, парадокс Банаха — Тарского, который гласит, что один шар можно разделить на конечное множество частей, из которых затем можно собрать два шара. Возражения против данной аксиомы произрастают из того факта, что в ней утверждается существование множеств, которые невозможно эксплицитно определить. Однако приведенное Гёделем в 1938 году доказательство ее непротиворечивости — относительно непротиворечивости ZF — позволило отбросить все сомнения, остававшиеся в связи с этой аксиомой.
Аксиома выбора эквивалентна (по модулю ZF) принципу вполне упорядоченного множества, который гласит, что всякое множество можно представить как вполне упорядоченное — то есть линейно упорядочить его таким образом, что всякое непустое подмножество этого множества содержало минимальный элемент.
Хотя формально это и не является необходимым, помимо символа ∈, как правило, для обозначения принадлежности используются другие специальные символы. Например, выражение А⊆B означает, что А является подмножеством В, то есть всякий член А является членом В. Прочие символы используются для обозначения множеств, полученных при применении базовых операций, например, A∪B обозначает объединение множеств А и В — множество, элементами которого являются элементы А и В; или A∩B обозначает пересечение А и В — множество, элементы которого являются общими для А и В. Упорядоченная пара (А,В) определяется как множество <<А>,<А,В>>. Таким образом, две упорядоченные пары (А,В) и (С,D) равны, если и только если А=С и В=D. Декартово произведение (или прямое произведение)) A×B определяется как множество упорядоченных пар (С,D), таких что C∈A и D∈B. Для любой формулы φ(x,y1,…,yn) и множеств A,B1,…,Bn можно сформировать множество всех элементов А, которые удовлетворяют формуле φ(x,B1,…,Bn). Это множество обозначается так:
Теория трансфинитных ординальных и кардинальных чисел
В ZFC можно развить канторову теорию трансфинитных (то есть бесконечных) ординальных и кардинальных чисел. Согласно определению, данному фон Нейманом в начале 1920-х годов, ординальные числа, или ординалы, мы получаем, производя две операции над элементами множества, начиная с пустого множества: берем следующий за ним элемент и переходим к предельному. Так, первым ординальным числом является ∅. Если существует ординал α, то непосредственно следующий за ним элемент, обозначаемый α+1, составляет множество α∪<α>. И если мы возьмем непустое множество Х ординалов, таких что для всякого α∈X следующий за ним α+1 также входит в Х, то мы получим предельный ординал ⋃X. Всякий ординал (строго говоря) вполне упорядочен за счет ∈, т.е. он линейно упорядочен за счет ∈ и не существует бесконечной ∈-нисходящей последовательности. Кроме того, любое вполне упорядоченное множество изоморфно единственному ординалу, называемому его порядковым типом.
Отметим, что всякий ординал равен множеству предшествующих ему элементов. Однако класс ON всех ординалов не составляет множество. Иными словами, ON был бы ординалом, превосходящим все ординалы, а это невозможно. Первый бесконечный ординал, который является множеством всех конечных ординалов, обозначается греческой буквой омега (ω). В ZFC конечные ординалы отождествляются с натуральными числами. Тогда ∅=0, <∅>=1, <∅,<∅>>=2 и т.д., следовательно, ω является просто множеством N натуральных чисел.
Список этих операций можно расширить, прибавив к нему умножение натуральных чисел на все ординалы. Например, ординал α+β является порядковым типом вполне упорядоченного множества, полученного за счет объединения вполне упорядоченного множества порядкового типа α и вполне упорядоченного множества порядкового типа β. Начало последовательности ординалов, вполне упорядоченных с помощью операции ∈, выглядит так:
0, 1, 2, …, n, …, ω, ω+1, ω+2, …, ω+ω, …, n⋅ω, …, ω⋅ω, …, ωn, …, ωω, …
Ординалы удовлетворяют принципу трансфинитной индукции: предположим, что С является классом ординалов таким, что, если С содержит все ординалы β, меньшие, чем некоторый ординал α, то α также содержится в С. Тогда класс С будет содержать все ординалы. Используя трансфинитную индукцию, можно доказать важнейший принцип трансфинитной рекурсии в ZFC (для этого понадобится схема преобразования), который гласит, что для произвольной функции класса G:V→V можно определить функцию класса F:ON→V такую, что F(α) является значением функции G, примененным к функции F, ограниченной до α. Можно использовать трансфинитную рекурсию, например, для того, чтобы определить свойство арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень на ординалах.
Не будем забывать, что бесконечное множество счетно, если его можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с ω. Все приведенные выше ординалы являются либо конечными, либо счетными. Но множество всех конечных и счетных ординалов также является ординалом, называемым ω1, и он не является счетным. Аналогичным образом, множество всех ординалов, которые можно привести во взаимно-однозначное соответствие некоторому ординалу, меньшему или равному ω1, также является ординалом, называемым ω2, причем его нельзя привести во взаимно-однозначное соответствие с ω1, и т.д.
Кардинальные числа
Кардинальное число — это ординал, который нельзя привести во взаимно-однозначное соответствие меньшему ординалу. Таким образом, всякий конечный ординал является кардинальным числом, и ω, ω1, ω2 и т.д. также являются кардинальными числами. Бесконечные кардинальные числа обозначаются буквой алеф (ﭏ) ивритского алфавита, и их последовательность индексируется ординалами: ℵ0, ℵ1, ℵ2, …, ℵω, ℵω+1, …, ℵω+ω, …, ℵω2, …, ℵωω, …, ℵω1, …, ℵω2, …
Таким образом, ω=ℵ0, ω1=ℵ1, ω2=ℵ2 и т.д. Для всякого кардинального числа существует превосходящее его кардинальное число, и пределом возрастающей последовательности кардинальных чисел также является кардинальное число. Таким образом, класс всех кардинальных чисел не составляет множество, но является собственным классом.
Бесконечное кардинальное число κ также называется регулярным, если оно не является объединением меньшего, чем κ числа меньших кардинальных чисел. Тогда ℵ0 является регулярным, и таковыми же являются все бесконечные последующие кардиналы, например ℵ1. Нерегулярные бесконечные кардинальные числа называют сингулярными. Первым сингулярным кардинальным числом является ℵω, так как оно представляет собой объединение счетной последовательности меньших кардинальных чисел — т.е. ℵω=⋃n κ, а это значит, что конфинальность кардинального числа 2ℵ0, каким бы оно ни было, должна быть несчетной. В сущности, это все, что можно сказать о значении степени 2ℵ0 исходя из ZFC.
В случае возведения в степень сингулярных кардинальных чисел ZFC позволяет нам сказать гораздо больше. В 1989 году Сахарону Шелаху удалось прийти к важному выводу, что если ℵω является строгим пределом, т.е. 2ℵn
После бесконечного числа шагов два игрока производят бесконечную последовательность натуральных чисел. Игрок 1 выигрывает игру, если последовательность принадлежит А. В противном случае побеждает Игрок 2.
Игра GA является детерминированной, если существует победная стратегия для одного из игроков. Победная стратегия для одного из игроков, скажем, для Игрока 2 — это отображение σ из множества конечных последовательностей натуральных чисел в N такое, что, если игрок действует согласно этой функции, то есть играет σ(n0,…,n2k) на ходу k, он всегда будет побеждать в игре, что бы при этом ни делал другой игрок.
Мы будем говорить, что подмножество А множества N является детерминированным, если и только если игра GA является детерминированной.
В ZFC (при этом необходимо применение АС) можно доказать, что существуют недетерминированные множества. Таким образом, аксиома детерминированности (AD), которая гласит, что все подмножества N являются детерминированными, несовместима с АС. Однако Дональду Мартину удалось доказать в рамках ZFC, что всякое борелевское множество является детерминированным. Кроме того, он показал, что если существует большое кардинальное число, называемое измеримым (см. раздел 10), то даже аналитические множества являются детерминированными. Аксиома проективной детерминированности (PD) утверждает, что всякое проективное множество является детерминированным. Выходит, что, согласно PD, все проективные множества действительных чисел являются регулярными. Вудин показал, что в некотором смысле PD позволяет разрешить практически все проблемы, связанные с проективными множествами. Более того, по-видимому, PD для этого просто необходима. Другая аксиома, ADL(R), утверждает, что AD истинна в L(R) — в наименьшем транзитивном классе, содержащем все ординалы и все действительные числа, и удовлетворяющем аксиомам ZF (см. раздел 7). Таким образом, ADL(R) подразумевает, что любое множество, состоящее из действительных чисел, которое принадлежит L(R), является регулярным. Кроме того, так как ADL(R) содержит все проективные множества, то из ADL(R) следует PD.
Континуум-гипотеза
В континуум-гипотезе (СН). сформулированной Кантором в 1878 году, говорится о том, что кардинальность всякого бесконечного множества, состоящего из действительных чисел, будет либо ℵ0, либо она будет равна кардинальности всего множества R. Таким образом, СН равнозначна 2ℵ0=ℵ1.
Кантор доказал в 1883 году, что замкнутые множества действительных чисел обладают свойством совершенного множества, из чего следует, что всякое несчетное замкнутое множество, состоящее из действительных чисел, характеризуется той же кардинальностью, что R. Таким образом, СН истинна для замкнутых множеств. Более 30 лет назад Павел Александров расширил этот результат до всех борелевских множеств, а затем Михаил Суслин доказал, что СН истинна для всех аналитических множеств. Следовательно, все аналитические множества удовлетворяют СН. Однако попытки доказать, что все коаналитические множества удовлетворяют СН, не увенчаются успехом, поскольку это невозможно доказать в рамках ZFC.
В 1938 году Гёдель доказал непротиворечивость СН и ZFC. Исходя из предположительной непротиворечивости ZFC, он выстраивает модель ZFC, известную как конструктивный универсум, в котором СН истинна. Так, доказательство показывает, что если ZF непротиворечива, то непротиворечивы ZF и АС, а также ZF и СН. Следовательно, если мы допускаем непротиворечивость ZF, то АС невозможно будет опровергнуть в ZF — и СН также будет невозможно опровергнуть в ZF.
Обзор текущих дискуссий вокруг данной проблемы, включая недавние результаты, полученные Вудином, см. в статье, посвященной континуум-гипотезе.
Конструктивный универсум Гёделя
Конструктивный универсум Гёделя, обозначаемый как L, задается с помощью трансфинитной рекурсии на ординалах, подобно V, но на последующих ступенях вместо того, чтобы получить множество Vα+1 из множества Vα, нам требуются только те подмножества Lα, которые можно определить в Lα, если использовать элементы Lα в качестве параметров. Таким образом, если PDef(X) обозначает множество всех подмножеств Х, определимых в структуре (Х,∈) за счет формул языка теории множеств, используя элементы Х в качестве параметров определения, мы получаем
● Lλ=⋃α α и всякая последовательность элементов М длиной α принадлежит М.
Кардинальные числа Вудина располагаются между сильными и суперкомпактными. Всякое суперкомпактное кардинальное число является кардинальным числом Вудина, и если δ является кардинальным числом Вудина, тогда Vδ является моделью ZFC, в которой существует собственный класс сильных кардинальных чисел. Таким образом, хотя кардинальное число Вудина δ необязательно должно быть очень сильным само по себе (первое кардинальное число Вудина даже не является слабо компактным), это подразумевает, что в Vδ существует много больших кардинальных чисел.
Помимо суперкомпактных кардинальных чисел мы также находим кардинальные числа Райнхардта, огромные, сверхогромные кардинальные числа и т.д.
Теорема Кунена о несуществовании нетривиального элементарного вложения j:V→V, по сути, показывает, что для любого λ невозможно произвести элементарное вложение j:Vλ+2→Vλ+2, отличное от тождества.
Самые сильные свойства кардинальных чисел, которые, по всей видимости, не противоречат ZFC, формулируются следующим образом:
● Существует элементарное вложение j:Vλ+1→Vλ+1, отличное от тождества.
● Существует элементарное вложение j:L(Vλ+1)→L(Vλ+1), отличное от тождества.
Большие кардиналы образуют линейную иерархию по принципу большей непротиворечивости. В действительности они представляют собой основание иерархии интерпретируемых математических теорий (подробнее см. в статье о независимости и больших кардинальных числах). Для любого высказывания φ выполняется ровно одно из следующих трех положений касательно ZFC и φ:
● ZFC и φ вместе противоречивы.
● ZFC и φ равнонепротиворечиво ZFC.
● ZFC и φ равнонепротиворечиво ZFC и существованию некоторого большого кардинального числа.
Таким образом, большие кардинальные числа могут использоваться для доказательства того, что из данного высказывания φ не выводится другое высказывание Ψ, равное ZFC, за счет доказательства того, что из ZFC вместе с Ψ следует непротиворечивость некоторых больших кардинальных чисел, в то время как из ZFC и φ составляют непротиворечивую систему, если мы допускаем существование меньшее большого кардинального числа или только допускаем, что ZFC непротиворечива. Иными словами, Ψ более непротиворечива, чем φ, равное ZFC. Тогда, согласно второй теореме Гёделя о неполноте, исходя из ZFC и φ нельзя доказать ψ, если мы допускаем, что ZFC и φ составляют непротиворечивую систему.
Как уже было отмечено, в ZFC невозможно доказать существование больших кардинальных чисел. Однако все указывает на то, что их существование не только нельзя опровергнуть, но, в сущности, допущение их существования является весьма обоснованной аксиомой теории множеств. Во-первых, существует множество свидетельств в пользу их непротиворечивости, в частности, для тех больших кардинальных чисел, для которых возможно построить внутреннюю модель.
Внутренние модели больших кардинальных чисел
Внутренняя модель ZFC является транзитивным собственным классом, который содержит все ординалы и удовлетворяет всем аксиомам ZFC. Таким образом, L является наименьшей внутренней моделью, а V — наибольшей. Некоторые большие кардинальные числа, например, недостижимые, слабо компактные или кардинальные числа Мало, могут существовать в L. То есть, если κ обладает одним из таких свойств больших кардинальных чисел, тогда оно также будет обладает этим свойством в L. Однако некоторые большие кардинальные числа не существуют в L. Действительно, Скотт (Scott 1961) показал, что, если существует измеримое кардинальное число κ, тогда V≠L. Важно отметить, что κ не принадлежит L, так как L содержит все ординалы, но оно неизмеримо в L, так как κ-полная непринципиальная мера множества на κ не может существовать в L.
Если κ — измеримое кардинальное число, тогда мы можем построить L-образную модель, в которой κ будет измеримым, за счет применения κ-полной непринципиальной и нормальной меры множества U, примененной к κ, продолжив далее, как в определении L, но теперь используя U в качестве дополнительного предиката. Полученная модель, называемая L[U], будет внутренней моделью ZFC, в которой κ измеримо, причем κ будет единственным измеримым кардинальным числом. Модель является каноничной в том же смысле, что и любая другая нормальная мера множества, свидетельствующая об измеримости κ, производила бы ту же самую модель; она также обладает многими свойствами L. Например, она характеризуется проективной вполне упорядоченностью и удовлетворяет GCH.
Куда сложнее построить аналогичные L-образные модели для более сильных больших кардинальных чисел, таких как сильные кардинальные числа или кардинальные числа Вудина. Это модели вида L[E], где Е — последовательность расширенных систем (extenders), каждая из которых представляет собой систему мер множеств, задающих соответствующие элементарные вложения.
Наибольшие L-образные модели для больших кардинальных чисел, которые были получены на данный момент, могут содержать вудиновы пределы кардинальных чисел Вудина (Neeman 2002). Однако, построение L-образной модели для суперкомпактного кардинального числа все еще проблематично. Граница суперкомпактности, по-видимому, играет ключевую роль, поскольку Вудин смог доказать, что для L-образного типа моделей суперкомпактных кардинальных чисел, которые он называет Ultimate-L, все более сильные большие кардинальные числа, которые могут существовать в V (расширимые, огромные, I1 и т.д.), также будут существовать в этой модели. Построение Ultimate-L пока не доведено до конца, и все еще неясно, будет ли оно завершено, поскольку оно основано на некоторых технических гипотезах, которые нуждаются в подтверждении.
Следствия из существования больших кардинальных чисел
Существование больших кардинальных чисел имеет очень важные следствия, даже для легко определяемых малых множеств, таких как проективные множества, состоящие из действительных чисел. Например, Соловей (Solovay 1970) исходя из допущения о существовании измеримых кардинальных чисел доказал, что все множества Σ12 действительных чисел поддаются мере Лебега и обладают бэровским свойством, что невозможно доказать в ZFC. А Шелах и Вудин (Shelah and Woodin 1990) доказали, что из существования собственного класса кардинальных чисел Вудина следует, что теорию L(R), даже с действительными числами в качестве параметров, невозможно изменить при помощи техники вынуждения, а значит, все множества действительных чисел, принадлежащие L(R), являются регулярными. Далее, в соответствии с более слабой гипотезой о больших кардинальных числах, а именно гипотезой о существовании бесконечного числа кардиналов Вудина, Мартин и Стил (Martin and Steel 1989) смогли доказать, что всякое проективное множество действительных чисел является детерминированным, то есть аксиома PD будет выполняться, следовательно, все проективные множества являются регулярными. Более того, Вудин показал, что из существования бесконечного числа кардиналов Вудина, над которыми стоит измеримое кардинальное число, следует, что любое множество действительных чисел в L(R) является определенным, то есть аксиома ADL(R) будет выполняться, следовательно, все множества действительных чисел, принадлежащие L(R) — а значит, и все проективные множества — являются регулярными. Он также доказал, что кардинальные числа Вудина позволяют сделать оптимальные допущения о больших кардинальных числах, приведя доказательство следующих утверждений:
1. Существует бесконечно много кардинальных чисел Вудина.
2. ADL(R) являются равнонепротиворечивыми, т.е. ZFC + 1 непротиворечиво, если и только если ZFC + 2 непротиворечиво. Подробнее см. в статье о больших кардинальных числах и детерминированности.
Другая область, в которой большие кардинальные числа играют важную роль, связана с возведением в степень сингулярных кардинальных чисел. Так называемая гипотеза сингулярных кардиналов (SCH) полностью детерминирует поведение степеней сингулярных кардинальных чисел по показателям степеней регулярных кардинальных чисел. SCH следует из GCH, а следовательно, выполняется в L. Следствием из SCH является то, что, если 2ℵn