Доказать что множество является линейным пространством
Определение линейного пространства
Определение линейного пространства
Пусть L – некоторое множество, элементы которого называются векторами, причём любой упорядоченной паре векторов x, y 
L сопоставлен единственный вектор z 
L, который называется суммой векторов x и y и обозначается x+y. Пусть также Р – некоторое поле, элементы которого называются скалярами и для любого скаляра k P и любого вектора x L определён единственный вектор d L, который называется произведением скаляра k на вектор х, или произведением вектора х на скаляр k, обозначается kx. Множество L называется линейным пространством над полем Р, если выполняются следующие аксиомы:
1). Для любых элементов x, y L имеет место равенство x+y=y+x (коммутативный закон сложения).
2). Для любых x, y, z L имеет место равенство (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативный закон сложения элементов из L).
3). В множестве L найдется такой элемент (обозначим его символом 0 и назовем нулевым элементом), что для любого элемента x L имеет место равенство x+0=x (особая роль нулевого элемента).
4). Для любого элемента x L найдется в этом множестве элемент (обозначим его символом –x и назовем его противоположным элементом x), что x+(–x)=0.
5). Для любого элемента x L и числа 1 P имеет место равенство 1∙x=x (особая роль числа 1).
6). Для любых чисел α и β P и любого элемента x L имеет место равенство (αβ)x=α(βx) (ассоциативный закон умножения элементов поля Р).
7). Для любых чисел α и β P и любого элемента x L имеет место равенство (α+β)x=αx+βx (дистрибутивный закон относительно суммы элементов поля Р).
8). Для любого числа α P и любых элементов x, y L имеет место равенство α(x+y)=αx+αy (дистрибутивный закон относительно суммы элементов из L).
Чаще всего в качестве поля P рассматривают поле действительных чисел R (и тогда L называют вещественным векторным пространством, или просто векторным пространством), или поле С комплексных чисел (в этом случае L – комплексное векторное пространство). Независимо от природы линейного пространства всякий его элемент называют вектором.
Приведем примеры линейных пространств. Если для множеств не указаны в тексте правила сложения элементов и умножения элементов на число, то их следует задавать так, как это было сделано в изучаемых ранее разделах курсов «Алгебра» и «Аналитическая геометрия», где эти множества были определены и изучены.
Пример 1. Является ли множество 
всех векторов в трёхмерном пространстве действительным линейным пространством?
Если векторы 
, 
, то вектор суммы 
, определён для взятых и однозначно.
Если 
– действительное число, вектор , то 
. Таким образом, требования замкнутости операций сложения элементов из множества и умножения элементов из множества на действительное число из поля Р определения линейного пространства для множества выполняются.
Выполнение всех аксиом, кроме 5, было установлено в курсе «Аналитическая геометрия». Рассмотрим вектор 
. Согласно определению умножения вектора на число, вектор сонаправлен с вектором . Его длина равна длине вектора . Следовательно, векторы 
и равны, т. е. =, следовательно, аксиома 5 имеет место для векторов множества .
Итак, для множества и поля 
действительных чисел выполняются все требования определения линейного пространства, поэтому является действительным линейным пространством.
Пример 2. Пусть 
– множество всех упорядоченных систем 
произвольных действительных чисел 
, т. е 
Два элемента 
, 
из называются равными, если 
. Числа 
называют компонентами 
. Суммой элементов х и у назовем элемент 
и обозначим 
. Произведением действительного числа на элемент назовем элемент 
и обозначим его 
. Покажем, что является действительным линейным пространством относительно введённых операций.
Согласно условию примера требования замкнутости операций сложения элементов множества и умножения элементов множества на действительное число из поля Р в определении линейного пространства для множества выполняются.
Осталось проверить выполнение 8 аксиом.
1. Пусть 
, 
. Тогда = и 
=
. Так как сложение действительных чисел подчиняется закону коммутативности поэтому 
, значит 
.
2. Выполнение второй аксиомы проверяется аналогично с использованием ассоциативного закона для сложения действительных чисел.
3. Роль нулевого элемента в играет элемент 0=(0. 0). Действительно, 
4. Для элемента противоположным элементом является 
, так как 
5. Поскольку 
, то 
.
6. Если 
– любые действительные числа, то
7. Пусть – любые действительные числа, тогда
Следовательно, 
.
8. Если 
– любое действительное число, то 
т. е. 
.
Таким образом, для множества и поля действительных чисел выполняются все требования определения, и поэтому является линейным действительным пространством. называют арифметическим n-мерным пространством.
Пример 3. Является ли действительным линейным пространством множество всех векторов из , компоненты которых удовлетворяют условию 
, если операции сложения векторов и умножения векторов на число определить так же, как и в примере 2?
Пусть , – любые два вектора из . Тогда , 
, рассмотрим вектор =. Так как 
=2
, то вектор 
. Таким образом, для множества не выполняется требование замкнутости операции сложения элементов множества в определении линейного пространства, поэтому это множество не является линейным пространством.
Пример 4. Проверить, является ли линейным действительным пространством множество M всех векторов плоскости, образующих с данным ненулевым вектором 
угол 
, 0≤≤
.
M образует угол φ с вектором , а вектор – угол 
. Множество M не является линейным пространством, так как 
M.
Пример 5. В множестве R+ положительных действительных чисел определены следующие операции:
а) 
;
б) 
.
Показать, что множество R+ относительно указанных операций является действительным линейным пространством.
Решение. В условии задачи определены операции сложения элементов множества R+ и умножения элементов множества R+ на число из поля Р. Проверим выполнение 8 аксиом:
1. , 
. Так как xy=yx, поскольку x, y R+, то 
.
2. 
, 
. Но (xy)z=x(yz), поскольку x, y, z R+, поэтому 
.
3. 
, т. е. нулевым элементом является число 1.
4. 
, поэтому число 
играет роль противоположного элемента для . Так как R+не содержит числа 0, то всякий элемент из R имеет противоположный ему элемент.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
Таким образом, все требования определения линейного пространства для R+ выполнены, и поэтому R+ является действительным линейным пространством.
1-4. Проверить, является ли следующее множество векторов плоскости действительным линейным пространством:
1. множество R всех векторов плоскости;
2. множество S всех радиус-векторов точек первой четверти прямоугольной декартовой системы координат;
3. множество T всех радиус-векторов точек плоскости, составляющих данную прямую;
4. множество всех векторов плоскости за исключением векторов, параллельных данной прямой.
5. Доказать, что множество 
матриц порядка с действительными элементами составляет действительное линейное пространство.
6. Является ли множество 
симметрических матриц порядка c действительными элементами действительным линейным пространством?
7. Является ли множество 
всех матриц размера 
c элементами из R относительно обычных операций сложения матриц и умножения матриц на число действительным линейным пространством?
8. Является ли множество чисел из отрезка [0;1] числовой прямой относительно обычных операций сложения и умножения чисел линейным пространством над полем R?
9. Является ли множество векторов плоскости (пространства) с рациональными координатами относительно обычных операций сложения и умножения векторов на число линейным пространством над полем R?
10. Является ли множество монотонно возрастающих на числовой оси функций относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством над полем R?
11. Является ли линейным пространством над полем Q рациональных чисел множество чисел вида a+b, где a и b – рациональные числа?
12. Является ли линейным пространством над R множество отрицательных действительных чисел?
13. Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости, исходящих из начала координат с концами на прямой y=kx?
14. Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости, исходящих из начала координат с концами на прямой y=kx+b, где b
0?
15. Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени ≤ n (включая нулевой многочлен) с действительными коэффициентами?
16. Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени n с действительными коэффициентами?