Доказать что оператор непрерывно обратим

Доказать что оператор непрерывно обратим

3.3. Обратный оператор

( Комментарий. Множество Im(A) значений оператора A может, вообще говоря, и не совпадать со всем пространством Y.)

Определение 2. Совокупность всех векторов x∈X, на которых оператор A определён, называется областью определения оператора A и обозначается DomA или D(A).

Определение 4. Ядром оператора A называется множество ker A = N(A) = . Очевидно, что N(A) не пусто, так как 0∈N(A).

Определение 5. Оператор A называется вырожденным, если N(A)≠<0>.

Нас интересует не только разрешимость уравнения Ax=y, но и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения, то есть корректность уравнения.

Определение 7. Задача решения уравнения Ax=y корректно разрешима по Адамару, если:

( Комментарий. Если линейный оператор А непрерывно обратим, то задача решения уравнения Ax=y корректно разрешима по Адамару.)

В случае существования непрерывного оператора A∈L(X,Y) имеет место следующая теорема:

Источник

Теорема Банаха об обратном операторе

Содержание

[math] (X) [/math] — B-пространство.

Далее считаем, что пространства [math]X[/math] и [math]Y[/math] — всегда банаховы.

Теорема Банаха о гомеоморфизме [ править ]

Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму.

На основе доказанной леммы можем доказать теорему:

Если [math] A [/math] — биекция, то [math] A^ <-1>[/math] существует. Осталось показать, что он будет ограничен.

Поскольку [math] y [/math] выбирался произвольный, получаем, что [math] A^ <-1>[/math] ограничен.

Теорема о замкнутом графике [ править ]

В прямых произведениях множеств сходимость — покоординатная, поэтому можно говорить о замкнутости множеств.

Обратное следствие интереснее.

Можно показать, что [math] X \times Y [/math] банахово с нормой [math] \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| [/math] :

[math] \|\| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T [/math] ограничен.

Теорема об открытом отображении [ править ]

Источник

Обратный оператор для данного линейного оператора и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора. Примеры обратимых и необратимых операторов

Определение: множество всех векторов x ϵ V таких, что Ax = Θ, называется ядром оператора А. ker A =

Определение: множество всех элементов таких, что , называется образом оператора А. m A =

Определение: Линейный оператор пространства V называется обратимым, если существует такой оператор B пространства V, что AB = BA = , где – тождественный оператор.

Свойства обратного оператора:

2° Единственность обратного оператора

Доказательство: Пусть AB = BA =

3° Если оператор А обратим, то ядро ker A =

Доказательство: Пусть x ϵ ker A, т.е. Ax = Θ

4° Если оператор А обратим, то m A = V

Примеры обратимых и необратимых операторов:

1) V₂ – пространство геометрических векторов на плоскости

ϕ – фиксированный угол

A=A_ϕ – оператор поворота на угол ϕ

2) V₃ – пространство геометрических векторов в пространстве.

А – проектированный на плоскость XOI

ker A = ≠ <Θ>⇒ A – необратим

3) ℙ_n[x] – многочлен степени ≤ n

A= — оператор дифференцирования

A(p(x)) = ; A(c) = =0 (∀ c ϵ ℝ)

ker A = <ℝ>≠ <Θ>⇒ A – необратим.

Теорема (Критерий обратимости линейного оператора):

Пусть A ϵ L(V_n). Оператор А обратим тогда и только тогда, когда он невырожденный, т.е. det A ≠ 0

Доказательство: V_n[e] = (e₁, e₂, …, e_n) – фиксированный базис,

[e]: A↔A_e – матрица оператора А в [e] A – обратим ⇔ det A = det A_e ≠ 0

2) Пусть А – невырожденный оператор, т.е. det A = det A_e ≠ 0.

Следовательно, у матрицы A_e . В [e]: A ↔ A_e; A ϵ L(V_n); A_e ϵ L_n×n

В [e] матрице соответствует B ϵ L(V_n). Т.к. A_e = A ⇔ AB = BA = ;

Источник

Обратные операторы

Лекция 2 Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе и ее следствия

2.1. Обратные операторы

2.2. Теорема Банаха об обратном операторе и ее следствия

Многие задачи, встречающиеся в теории дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и других приложениях, могут быть записаны в виде уравнений

где x – неизвестная функция из некоторого пространства X; y – известная функция из некоторого пространства Y; A – заданный линейный оператор из пространства X в пространство Y. При исследовании уравнения (1) необходимо по возможности дать ответы на следующие вопросы: 1) существует ли решение уравнения (1) для произвольного y; 2) единственно ли это решение; 3) если не единственно, то сколько решений существует; 4) если не для любого y существует решение, то какие условия нужно наложить на y для существования решения; 5) как найти x точно или приближенно.

Рассмотрим, с какими свойствами оператора A связаны перечисленные свойства уравнения (1).

Определение 2.1. Пусть A : X ® Y. Оператор B : Y ® X называется правым обратным к оператору A, если A B = I_Y. Оператор B называется левым обратным к оператору A, если B A = I_X. Оператор B называется обратным к оператору A (обозначается A – 1 ), если A B = I_Y, B A = I_X, т. е. является одновременно левым обратным и правым обратным.

Заметим, что в определении не выдвигается требование линейности или ограниченности оператора B.

Лемма 2.1. Для линейного оператора A следующие утверждения эквивалентны:

1) решение уравнения A x = y единственно для любого y Î Im A;

3) для оператора A существует левый обратный оператор.

1) ) 2). Достаточно положить y = 0.

1) ) 3). Для y Î Im A существует и единственно решение уравнения A x = y. Построим оператор B, который y Î Im A ставит в соответствие решение x (для остальных y оператор B определен произвольным образом или вообще не определен). Тогда если y = A x, то по построению B y = B A x = x, т. е. B A = I_X.

Лемма 2.2. Следующие утверждения эквивалентны:

1) решение уравнения A x = y существует для любого y Î Y;

3) для оператора A существует правый обратный оператор B.

3) ) 1). Если существует правый обратный оператор B к оператору A, то для любого y Î Y точка x = B y является решением уравнения A x = y, так как A x = A (B y) = y. Лемма доказана.

Пример 2.1. Пусть A – оператор дифференцирования : C 1 [0, 1] ® C [0, 1]. Обычно говорят, что обратной к дифференцированию является операция интегрирования B : C [0, 1] ® C 1 [0, 1], .

,

.

Значит, A B = I, B A ¹ I и оператор интегрирования является правым обратным к оператору дифференцирования, но не является левым обратным.

Замечание 2.1. Существование линейных ограниченных обратных операторов связано с более тонкими свойствами. Для существования линейного ограниченного левого обратного к оператору A необходимо, чтобы образ Im A был дополняемым замкнутым линейным подпространством в Y, для существования линейного ограниченного правого обратного необходимо, чтобы подпространство Ker A имело дополнение в X.

Уравнение A x = y называется корректно разрешимым, если 1) решение существует для любой правой части; 2) решение единственно; 3) решение непрерывно зависит от правой части.

Приведем несколько теорем, которые позволяют получить существование ограниченного обратного к оператору A.

Оператор A называется обратимым, если для него существует линейный ограниченный обратный оператор.

Теорема 2.1. Пусть X – банахово пространство, Y – нормированное пространство, A : X ® Y – ограниченный линейный оператор и пусть:

1) (образ плотен в Y);

2) существует постоянная C > 0 такая, что || A x || ³ C || x ||.

Тогда оператор A обратим.

Доказательство. Из условия 2) получаем, что если A x = 0, то x = 0, т. е. Ker A = <0>.

Проверим, что в действительности образ Im A замкнут и совпадает с Y. Пусть y Î Y и пусть y_n ® y, y_n Î Im A, т. е. y_n = A x_n. Покажем, что y Î Im A. Используя неравенство 2), получаем

Замечание 2.2. Несмотря на внешнюю сложность условий 1) и 2), в ряде задач их проверка легко осуществляется. Например, если уравнение A x = y рассматривается в пространстве функций на отрезке, то часто для функций, являющихся многочленами, решение строится в явном виде. Так как множество многочленов всюду плотно в ряде пространств, например в L_p[0, 1], 1 £ p + ¥, для этих пространств таким образом можем проверить условие 1). Неравенство из условия 2) в некоторых задачах, имеющих физический смысл, является следствием закона сохранения энергии. В связи с этим неравенства такого вида иногда называют энергетическими.

Замечание 2.3. Очевидно, что условия теоремы являются необходимыми для существования ограниченного обратного оператора.

Теорема 2.2. Пусть X – банахово пространство и A Î L (X), || A || 1. Тогда оператор T = I – A обратим.

Доказательство. В случае, если A есть число и | A | 1, то число
(I – A) – 1 является суммой бесконечной геометрической прогрессии
(I – A) – 1 = 1 + A + A 2 + ¼ Покажем, что аналогичное равенство имеется и в случае, когда A есть оператор.

Рассмотрим в пространстве L (X) линейных ограниченных операторов ряд

Так как пространство L (X) полно, то ряд (2) сходится (см. теорему 14.2 курса «Функциональный анализ. Часть 1»). Пусть S – его сумма, S_n = I + A + ¼ + A n – частичная сумма. Тогда в силу непрерывности умножения

.

.

Замечание 2.4. Из доказательства имеем оценки

Теорема 2.2 является некоторым усилением принципа сжимающих отображений для линейных операторов в банаховых пространствах. Решение уравнения x – A x = y (y – фиксированная точка) есть неподвижная точка отображения f (x) = A x + y. Отображение f является сжимающим тогда и только тогда, когда || A || 1.

Теорема 2.3. Пусть X и Y – банаховы пространства и пусть оператор A Î L (X, Y) имеет ограниченный обратный. Если оператор B удовлетворяет условию || A – B || 1 / || A – 1 ||, то оператор B имеет ограниченный обратный.

т. е. оператор B имеет правый ограниченный обратный. Тогда левый и правый обратные совпадают и у оператора B существует ограниченный обратный. Теорема доказана.

Следствие 2.1. Множество обратимых операторов в L (X, Y) есть открытое множество.

Доказательство. Теорема 2.3 утверждает, что у обратимого оператора A существует целая окрестность (шар радиуса 1 / || A – 1 ||), состоящая из обратимых операторов, т. е. по определению открытого множества в метрическом пространстве множество обратимых операторов открыто. Следствие доказано.

Следствие 2.2. Пусть A Î L (X, Y) – обратимый оператор (пространства X и Y – банаховы) и пусть A_n ® A по норме, где A_n Î L (X, Y). Тогда, начиная с некоторого номера n₀, все операторы A_n обратимы и A_n – 1 ® A – 1 по норме.

Доказательство. Возьмем номер n₀ так, чтобы при n ³ n₀ выполнялось || A_n – A || 1 / || A – 1 ||. Тогда по теореме 2.3 все операторы A_n при n ³ n₀ обратимы. Оператор A_n – 1 имеет вид (из доказательства теоремы)

Так как (замечание к теореме 2), то в силу непрерывности умножения получаем, что A_n – 1 ® A – 1 по норме. Это утверждение, в частности, означает, что переход к обратному оператору как отображение, определенное на множестве обратимых операторов, является непрерывным. Следствие доказано.

Источник

Операторные уравнения

Выпускная квалификационная работа

Выполнила студентка V курса математического факультета Кощеева Анна Сергеевна

Вятский Государственный Гуманитарный университет (ВятГГУ)

Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.

Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.

Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.

Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:

раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;

проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.

Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения конкретных задач.

Глава 1. Операторные уравнения

§1.Определение линейного оператора

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если

А(λ1×1 + λ2×2) = λ1А(x1) + λ2А(x2)

для любых x1,x2 Î D и любых скаляров λ1 и λ2.

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).

Оператор А называется непрерывным в точке x0 Î X, если Аx → Аx0 при x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 Î X можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой точке x0 Î X.

Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось доказать.

Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.

Пусть S1(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.

Будем называть линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство

Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

для любых x Î X, где с – постоянная.

Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§2. Норма линейного оператора

В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:

ограничено сверху. По теореме о верхней грани существует Если существует обратный оператор Пусть задан линейный оператор: А: X → Y, где X,Y – линейные пространства, причем его область определения D(A)014.gif» />X, а область значений R(A)Введем множество Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=Теорема 6. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех Если А непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для любой правой части у. Если при этом 025.gif» />(решение того же уравнения с правой частью 027.gif» />), то Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы Теорема 8. Пусть 035.gif» /> и Так как Но при этом 053.gif» /> (ибо 055.gif» /> и 057.gif» />), а Переходя в этих неравенствах к пределу при Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство 069.gif» />, Рассмотрим функцию x(Пусть x(073.gif» />) определена в окрестности точки 073.gif» />0, за исключением, быть может, самой точки 073.gif» />0. Элемент а Î X будем называть пределом функции x(073.gif» />) при 073.gif» />→076.gif» /> при 073.gif» />→если 078.gif» /> при 073.gif» />→Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметраРассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида 080.gif» />, где xк Î X, а 073.gif» /> – вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную 073.gif» />–073.gif» />0 = 082.gif» />, то в дальнейшем мы полагаем Конечная сумма Пусть 088.gif» /> – множество всех точек 089.gif» />, для которых ряд (1) сходится. Сумму ряда (1) при 089.gif» />Î 088.gif» /> обозначим через S(089.gif» />) (это абстрактная функция, определенная на 091.gif» />093.gif» />, при 089.gif» />Î Последнее равенство означает, что Sn(089.gif» />) → S(089.gif» />) при n→∞ для всех 089.gif» />Î Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î Теорема 10 (Абель). Пусть073.gif» />0 ≠ 0 и 073.gif» />0 Î 088.gif» />, тогда круг 095.gif» /> содержится в 091.gif» />тогда равны все их коэффициенты: Пусть функция если этот предел существует (и конечен). Если Абстрактную функцию x(089.gif» />) будем называть аналитической при 089.gif» />=0, если она представима в некоторой окрестности точки Теорема 12. Если x(089.gif» />) – аналитическая абстрактная функция при 089.gif» />=0, то x(Теорема 13. Если x(089.gif» />) – аналитическая абстрактная функция при 089.gif» />=0, то x(Пусть x(называется рядом Тейлора функции x(Если x(089.gif» />) аналитична при Аx –Здесь А, С Î L(X,Y) и y Î Y заданы, 112.gif» />, а неизвестное x разыскивается в X. Если то, согласно теореме 9, оператор А–Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях А(127.gif» />)х = у(Здесь А(127.gif» />)Î L(X,Y) задана при каждом 127.gif» />, 112.gif» />, или, как говорят, А(127.gif» />) – оператор-функция. Пусть А(127.gif» />) аналитична при 127.gif» />=0, а оператор А(0) непрерывно обратим, у(127.gif» />) – заданная аналитическая функция 127.gif» /> при Аналитичность А(127.gif» />) и у(127.gif» />) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны 129.gif» /> и 133.gif» />, Из аналитичности А(127.gif» />) следует непрерывность А(127.gif» />) при 127.gif» />=0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге Отсюда вытекает, что в круге 137.gif» />оператор-функция А(при этом x(127.gif» />) аналитична в точке 127.gif» />=0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(131.gif» />, r). Для фактического построения x(127.gif» />) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x(145.gif» />, Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А(В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть 149.gif» /> и А непрерывно обратим. Если 153.gif» /> такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем предполагать, что для оператор – функции Существует постоянная 155.gif» /> такая, что при всех 157.gif» /> и при любых Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом 163.gif» />), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем Замечание к теореме 14. Если выполнено условие I при 167.gif» /> и оператор Действительно, пусть 159.gif» />, а 174.gif» />, т.е.176.gif» />. тогда условие I дает 178.gif» /> или Приведем здесь доказательство теоремы 14 для случая, когда 182.gif» />. Согласно условию этой теоремы 184.gif» />. По замечанию 14 Пусть 190.gif» />, где 192.gif» />. На [0, δ] имеем 194.gif» />, и, следовательно, по теореме 9 А(λ) при всяком 190.gif» /> непрерывно обратим. Если окажется, то если 202.gif» />, откуда А(λ) непрерывно обратим при каждом 202.gif» />. Если 091.gif» />205.gif» />, то теорема доказана. Если же 2δ 0 такое, что Вернемся к доказательству теоремы. Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор А(λ) непрерывно обратим. Согласно замечанию 1 воспользуемся непрерывностью оператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e > 0 найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ Î [0, 1] таких, что 217.gif» /> 0 находим номер N = N(e) такой, что при n > N будет Покажем методом продолжения по параметру, что в этих условиях при всякой правой части y ÎY = С [0, 1] существует единственное решение задачи x Î X = С2 [0, 1] – пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям (2), и с нормой 325.gif» />, где Здесь 329.gif» /> определен всюду на X со значениями в Y. В качестве оператора А примем –x» + λb(t)x’ + λc(t)x = y(t), 0 0 365.gif» /> Выберем 377.gif» />, где 381.gif» />, где 383.gif» />, а Теперь с помощью оценки (6*) имеем 387.gif» /> и, значит, учитывая, что Из уравнения (3) можем получить оценки для 393.gif» /> и Здесь 393.gif» /> оценивается через 399.gif» /> и и сокративгде где 421.gif» />367.gif» />423.gif» />367.gif» /> 367.gif» />Из того, что 429.gif» /> 367.gif» /> 431.gif» /> 367.gif» />433.gif» /> Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →