Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
Сходимость функциональной последовательности и ряда.
Сходимость последовательности функций.
Пусть функции \(f_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\) и пусть \(x_ <0>\in E\). Если числовая последовательность \(\(x_<0>)\>\) сходится, то последовательность функций \(\(x)\>\) сходится в точке \(x_<0>\).
Последовательность \(\(x)\>\), сходящуюся в каждой точке \(x \in E\), называют сходящейся на множестве \(E\). В этом случае на множестве \(E\) определена функция \(f(x)\), значение которой в любой точке \(x \in E\) равно пределу последовательности \(\(x)\>\). Эту функцию называют предельной функцией последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\) и пишут $$ \lim_f_(x) = f(x),\ x \in E,\label $$ или $$ f_(x) \rightarrow f(x),\ x \in E,\nonumber $$ или, короче, $$ f_ \xrightarrow[E]<> f.\nonumber $$
По определению предела запись \eqref означает, что $$ \forall x \in E\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N = N_<\varepsilon>(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 1.
Найти предельную функцию \(f(x)\) последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), если:
Сходимость функционального ряда.
Пусть функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\) и пусть для каждого \(x \in E\) существует конечный предел последовательности \(\(x)\>\), где \(S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x)\). Тогда ряд $$ \sum_^<\infty>u_(x),\label $$ называют сходящимся на множестве \(E\).
Если \(S(x)\) — предельная функция последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), то есть $$ \lim_S_(x) = S(x),\ x \in E,\nonumber $$ то функцию называют \(S(x)\) суммой ряда \eqref и пишут $$ \sum_^<\infty>u_(x) = S(x),\ x \in E.\nonumber $$ Например, если \(u_(x) = x^\), \(E = (-1,1)\), то \(S_(x) = \displaystyle\frac<1-x^><1-x>\), \(S(x) = \displaystyle\frac<1><1-x>\). Если в каждой точке \(x \in E\) сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>|u_(x)|\), то ряд \eqref называют абсолютно сходящимся на множестве \(E\).
Понятие равномерной сходимости последовательности функций.
Последовательность функций $$ \(x)\>\nonumber $$ называется равномерно сходящейся на множестве \(E\) к функции \(f(x)\), если $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>:\ \forall n \geq N_ <\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 2.
Доказать, что последовательность \(\(x)\>\) равномерно сходится на множестве \(E\), и найти ее предельную функцию \(f(x)\), если:
Чтобы последовательность функций \(\(x)\>\), определенных на множестве \(E\), сходилась равномерно на этом множестве к функции \(f(x)\), необходимо и достаточно, чтобы $$ \lim_ \sup_ |f_(x)-f(x)| = 0.\label $$
\(\circ\) Обозначим \(\sigma_ = \displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)|\). Тогда условие \eqref означает, что $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists n_<\varepsilon>: \forall n \geq n_ <\varepsilon>\rightarrow \sigma_ 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 3.
Доказать, что последовательность \(\(x)\>\) сходится равномерно на множестве \(E\), и найти предельную функцию \(f(x)\), если:
Так как при \(x \neq 0\) справедливо неравенство \(1 + n^<\alpha>x^ <2>\geq 2n^<\alpha/2>|x|\), причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда \(n^<\alpha>x^ <2>= 1\), то есть \(|x| = n^<-\alpha/2>\), то $$ |f_(x)-f(x)| \leq \frac<2n^<2>|x|><2n^<\alpha/2>|x|> = \frac<1>>,\ x \neq 0.\nonumber $$ Следовательно, \(\displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)| = \frac<1>> \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(\alpha > 4\), и поэтому \(f_(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in R\).
Чтобы последовательность функций \(\(x)\>\) сходилась равномерно на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| Доказательство.
\(\circ\) Необходимость. Пусть \(f_(x) \rightrightarrows f(x)\), \(x \in E\). Тогда по определению равномерной сходимости $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>.\label $$
Доказать, что последовательность \(\(x)\>\), где \(f_(x) = \displaystyle\frac<\ln nx><\sqrt>\), не является равномерно сходящейся на множестве \(E = (0, 1)\).
\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb\) возьмем \(p = k = n\), \(\tilde = 1/k = 1/n\). Тогда $$ |f_(\tilde)-f_(\tilde)| = \left|f_<2n>(\frac<1>)-f_ (\frac<1>)\right| = \left|\frac<\ln 2><\sqrt<2>>-\ln 1\right| = \frac<\ln 2><\sqrt<2>> = \varepsilon_<0>,\nonumber $$ то есть выполняется условие \eqref, и поэтому последовательность \(\(x)\>\) не является равномерно сходящейся на \(E\). \(\blacktriangle\)
Если существует предельная функция \(f(x)\) последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), но не выполняется условие \eqref, то есть $$ \exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label $$ то говорят, что последовательность \(\(x)\>\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к функции \(f(x)\).
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве \(E\) последовательность \(\(x)\>\), если:
Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref не выполняется, то есть $$ \sup_|f_(x)-f(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label $$ то \(\(x)\>\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(f(x)\).
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность \(f_(x) = n^<2>x^<2>e^<-nx>\), \(E = (0, 2)\).
\(\vartriangle\) Предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in E\). Так как уравнение \(f_‘(x) = n^<2>xe^<-nx>(2-xn)\) имеет на интервале (0,2) единственный корень \(x_ = 2/n\), причем \(f_‘(x) > 0\) при \(x \in (0, x_)\) и \(f_‘(x)
Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.
Пусть функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\). Обозначим $$ S_(x) = \sum_^u_(x).\label $$
Ряд $$ \sum_^<\infty>u_(x),\label $$ называется равномерно сходящимся на множестве \(E\), если на этом множестве определена функция \(S(x)\) такая, что $$ S_(x) \rightrightarrows S(x),\ x \in E.\label $$
Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref означает, что $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |r_(x)| 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |r_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label $$ или $$ \sup_|r_(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label $$ то ряд \eqref сходится неравномерно на множестве \(E\).
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\), если:
(критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для того чтобы ряд \eqref равномерно сходился на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^ u_(x)\right| Доказательство.
\(\circ\) По определению равномерная сходимость ряда \eqref на множестве \(E\) означает равномерную сходимость последовательности \(\(x)\>\) на \(E\).
Согласно теореме 2 \(S_(x) \rightrightarrows S(x)\) на \(E\) тогда и только тогда, когда $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S_(x)| 0: \forall m \in \mathbb\ \exists n \geq m\ \exists p \in \mathbb\ \exists\ \tilde \in E: \left|\sum_^ u_(\tilde)\right| \geq \varepsilon_<0>,\label $$ то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве \(E\). В частности, если $$ \exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall n_ <0>\in \mathbb:\ \forall n \geq n_<0>\ \exists\ x_ \in E: |u_(x_)| \geq \varepsilon_<0>,\label $$ то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве \(E\).
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\) не является равномерно сходящимся на множестве \(E\), если:
Если для функционального ряда \eqref можно указать такой сходящийся числовой ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), что для всех \(n \geq n_<0>\) и для всех \(x \in E\) выполняется условие $$ |u_(x)| \leq a_,\label $$ то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).
\(\circ\) Согласно условию \eqref для любого \(n \geq n_<0>\), любого \(p \in \mathbb\) и для каждого \(x \in E\) выполняется неравенство $$ \left|\sum_^u_(x)\right| \leq \sum_^|u_(x)| \leq \sum_^a_.\label $$ Из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \rightarrow \sum_^a_ Следствие.
Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), где \(a_ = \sup_|u_(x)|\), то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\) сходится равномерно на множестве \(E\), если:
Признак Дирихле.
Ряд $$ \sum_^<\infty>a_(x)b_(x),\label $$ сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:
Условие \eqref означает, что $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |a_(x)| Пример 10.
Доказать, что при \(\alpha > 0\) ряд $$ \sum_^<\infty>\frac<\sin nx>>,\label $$ сходится равномерно на множестве \(E = [\delta, 2\pi-\delta]\), где \(0 Решение.
\(\vartriangle\) Если \(\alpha > 1\), то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на \(\mathbb\), так как \(|\sin x| \leq 1\), а ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1>>\), где \(\alpha > 1\), сходится.
Признак Абеля.
Ряд \eqref сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:
\(\circ\) Обозначим \(B_^<(n)>(x) = \displaystyle\sum_^b_(x)\). Тогда ряд \eqref в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, то есть $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\forall j \in \mathbb\ \rightarrow |B_^<(n)>(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^a_(x)b_(x)\right|
Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\), то его сумма \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).
\(\circ\) Пусть \(x_<0>\) — произвольная точка отрезка \([a, b]\). Для определенности будем считать, что \(x_ <0>\in (a, b)\).
Нужно доказать, что функция $$ S(x) = \sum_^<\infty>u_(x)\nonumber $$ непрерывна в точке \(x_<0>\), то есть $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \rightarrow |S(x)-S(x_<0>)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x)-S_(x)| 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \subset [a, b] \rightarrow |S_>(x)-S_>(x_<0>)| Замечание 1.
Если последовательность \(\(x)\>\) непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций равномерно сходится на \([a, b]\), то ее предельная функция \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).
\(\circ\) Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. \(\bullet\)
Почленное интегрирование функционального ряда.
Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\), то ряд $$ \sum_^<\infty>\int\limits_a^x u_(t)\ dt,\label $$ также равномерно сходится на \([a, b]\), и если $$ S(x) = \sum_^<\infty>u_(x),\label $$ то $$ \int\limits_a^x S(t)\ dt = \sum_^<\infty>\int\limits_a^x u_(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\label $$ то есть ряд \eqref можно почленно интегрировать.
\(\circ\) По условию ряд \eqref сходится равномерно к \(S(x)\) на отрезке \([a, b]\), то есть \(S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x) \rightrightarrows S(x)\), \(x \in [a, b]\). Это означает, что $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \in N_<\varepsilon>\ \forall t \in [a, b] \rightarrow |S(t)-S_(t)| Замечание 2.
Равенство \eqref остается в силе, если заменить \(a\) на \(c\), \(x\) на \(d\), где \(a \leq c \leq d \leq b\), то есть ряд \eqref можно при условиях теоремы 9 почленно интегрировать на любом отрезке \([c, d] \subset [a, b]\).
Если \(S_(t) \rightrightarrows S(t)\), \(x \in [a, b]\), а каждая из функций \(S_(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то $$ \int\limits_>^x S_(t)\ dt \rightrightarrows \int\limits_>^x S(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\nonumber $$ для любой точки \(x_ <0>\in [a, b]\).
\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 9. \(\bullet\)
Почленное дифференцирование функционального ряда.
Если функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), имеют непрерывные производные на отрезке \([a, b]\), ряд $$ \sum_^<\infty>u_‘(x),\label $$ сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), а ряд $$ \sum_^<\infty>u_(x),\label $$ сходится хотя бы в одной точке \(x \in [a, b]\), то есть сходится ряд $$ \sum_^<\infty>u_(x_<0>),\label $$ то ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), и его можно почленно дифференцировать, то есть $$ S'(x) = \sum_^<\infty>u_‘(x),\label $$ где $$ S(x) = \sum_^<\infty>u_(x),\label $$
\(\circ\) Обозначим через \(\tau(x)\) сумму ряда \eqref, то есть $$ \tau(x) = \sum_^<\infty>u_‘(x),\label $$
По теореме 9 ряд \eqref можно почленно интегрировать, то есть $$ \int\limits_>^x \tau(t)\ dt = \sum_^<\infty>\int\limits_>^x u_‘(t)\ dt,\label $$ где \(x_<0>,\ x \in [a, b]\), причем ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \([a, b]\). Так как \(\displaystyle\int\limits_>^x u_‘(t)\ dt = u_(x)-u_(x_<0>)\), то равенство \eqref можно записать в виде $$ \int\limits_>^x \tau(t)\ dt = \sum_^<\infty>v_(x),\label $$ где $$ v_(x) = u_(x)-u_(x_<0>).\label $$ Ряд \eqref сходится равномерно, а ряд \eqref сходится (а значит, и равномерно сходится на отрезке \([a, b]\)). Поэтому ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\) как разность равномерно сходящихся рядов.
Из равенств \eqref, \eqref и \eqref следует, что $$ \int\limits_>^x \tau(t)\ dt = S(x)-S(x_<0>).\label $$
Так как функция \(\tau(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства \eqref имеет производную, которая равна \(\tau(x)\). Следовательно, правая часть \eqref — дифференцируемая функция, а ее производная равна \(S'(x)\). Итак, доказано, что \(\tau(x) = S'(x)\), то есть справедливо равенство \eqref для всех \(x \in [a, b]\). \(\bullet\)
При условиях теоремы 11 функция \(S'(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то есть \(S(x)\) — непрерывно дифференцируемая на \([a, b]\) функция.
Если последовательность \(\(x)\>\) непрерывно дифференцируемых на \([a, b]\) функций сходится хотя бы в одной точке \(x_ <0>\in [a, b]\), а последовательность \(\‘(x)\>\) сходится равномерно на \([a, b]\), то последовательность \(\(x)\>\) также сходится равномерно на \([a, b]\) к некоторой функции \(S(x)\) и $$ S'(x) = \lim_S_‘(x),\quad x \in [a, b].\nonumber $$
\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. \(\bullet\)
То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция — закон соответствия, который каждому [math]x \in E[/math] сопоставляет некоторое число. При этом, все [math]x[/math] фигурировали изолированно.
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для [math] f [/math] свойство [math]P[/math] может отсутствовать.
Тогда [math]f[/math] будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.
Равномерная сходимость [ править ]
Возникает вопрос: «Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе [math]P[/math] сохранилось?»
Классическое требование: равномерная сходимость.
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как их наиболее удобно использовать в математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.
Критерий Коши равномерной сходимости [ править ]
[math]\Longrightarrow[/math] Пусть ряд равномерно сходится.
[math]\forall x \in E[/math] для [math]\sum\limits_^\infty f_n(x)[/math] выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем [math]E[/math] определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
По условию критерия Коши, [math]\forall m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_^m f_k(x) \right| \leq \varepsilon[/math]
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
[math]\triangleleft[/math]
Признак Вейерштрасса [ править ]
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)
Можно рассматривать [math]\sum\limits_^\infty |f_n|[/math] и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
Равномерно сходящиеся ряды (и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. Это означает, что полученный ряд, т.е. ряд, членами которого являются интегралы от членов данного ряда, сходится и его сумма равна интегралу от суммы данного ряда:
Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость
8. Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость и нахождения области его равномерной сходимости можно использовать, как и в действительной области, достаточный признак равномерной сходимости.
Теорема 3.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (3.1) на множестве мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами, то он сходится на равномерно, т.е. из условия
9. Для равномерно сходящихся рядов аналитических функций справедливы отмеченные выше свойства непрерывности суммы ряда и почленного интегрирования. Кроме того, имеет место свойство, связанное с почленным дифференцированием ряда.
Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций
Нахождение области сходимости рядов
Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами
Пример 3.1. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
Пример 3.2. Исследовать сходимость комплексных функциональных рядов:
a) ; область сходимости 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAAVBAMAAAAOWFv7AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAwoFBKKBYQuoQkXGxE+DiDQAAAJJJREFUKM9jYMAPtkAoVuyyyhCKEUPCAZ+s6QU8shonMGRZVBDSjJh6C0MwZZnEOAOgJiOk4bIregMdYPbWiKPLBnCKIVzlKoZuL2sCkptd29Bkw5B95CSGKjurgAGPySIMXAkwWVd0V7E2LhKE6S0URvfRVvZeSaisIdy7tnfvXgLLOjBMgYVkCNExSLEsvpQDAFnBICbT0tyvAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» /> — внешность круга с центром в точке и радиусом 1. На границе круга ряд расходится.
б) ; область сходимости 2″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQqHA6l0h0RCRMbAyfQ/L+w8AAACrSURBVBjTY2AgAUhgF55uV4VNmPMCl0sCnCfbAGPxeTDMmwAXZzSCqeF7xSBnwMDAtbshECJxAKoigCFuAwNDSonnBgh/swBMs14AA0MgQzjUaDZlqATXIxDJYwFTxqYeAKZbFEDk4gZ08Uqwcg24sDJEmCmAAejOQwwcBRB7YcarMjBuYOBy3zslAOJOqDCvs7HfBQb2A3quaP569+5dAAMbAxeYJ5SAEkgA9HIgzw7zK3AAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> — внешность круга с центром в точке и радиусом 2. На границе круга ряд расходится.
