Доказать что последовательность сходится тогда и только тогда когда она ограничена

Теорема Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена и имеет единственный частичный предел

Теорема.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена и имеет единственный частичный предел.

Прошу помочь разобрать доказательство ну или доказать заного (или найти нормальное доказательство в интернете)
P.S. то что сходится => ограничена доказывается другой теоремой и она мне известна.
То есть необходимо доказать сходится => имеет единственный частичный предел и ограничена и имеет единственный частичный предел => сходится.

Комментарий модератора

Рекомендации по созданию темы Редактор формул Никто не будет ломать глаза и разбираться в почерках.

Выдать Yes тогда и только тогда, когда X и Y являются соседними элементами в списке S
Доброго времени суток. Я тут как и большинство, студент. Функциональное осилил, логическое —.

Предполагаете, что сходится к пределу a. Рассматриваете произвольную последовательность и показываете, что она сходится к a. В одну сторону доказано.

Массив: Построить массив из нулей и единиц, в которой bi = 1 тогда и только тогда, когда в i-ой строке матрицы есть хотя бы отрицательный элемент
Даны натуральное число n, действительная квадратная матрица порядка n. Построить последовательность.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3
Помогите с решением задачи: Как известно, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма.

Как сделать, чтобы информация в посте выводилась только тогда, когда она заполнена?
В шаблоне сайта недвижимости при создании поста есть поля для ввода информации по.

Источник

Сходящиеся последовательности

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³ N все элементы x n этой последовательности удовлетворяют неравенству:

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть — сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей <х n >и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей <х n >и .

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей <х n >и . Тогда:

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей <х n >и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей <х n >и .

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей <х n >и .Тогда:

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей <х n >и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей <х n >и .

ЛЕММА: Если последовательность сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

.

Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству x n³ b (x n£ b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³ b (a£ b).

Элементы сходящейся последовательности могут удовлетворять строгому неравенству x n >b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если x n =1/n, то x n >0, однако .

.

.

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как а£ x n£ b, то a£ c£ b.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

, и того, что .

(m, n = 1, 2, 3, … ),

,…

должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

,

тогда существует конечный предел

,

(n = 1, 2, 3, … ).

(*)

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

запишем целое число n по двоичной системе:

.

Применяя теорему (1) для данных:

s 0 =0, s 1 =, s m-1 =, s m =, …, p n0 =0, p n1 =, …, p n, m-1 =,

, p n, m+1 =0, …,

заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:

.

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

.

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

, …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

Пусть числовые последовательности

обладают тем свойством, что

, .

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

l n s n >l n-1 s n-1, l n s n >l n-2 s n-2, … l n s n >l 1 s 1,

Будем называть l m “выступающим” членом последовательности, если l m больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

,…

,

(*)

отсюда заключаем, что

Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³ 1, что n отношений

все не больше А, а бесконечное множество отношений

,…

Имеем . Пусть минимум последовательности

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

.

.

,

Пусть, далее, l 1 >A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

.

Если А® 0, то также n® 0.

Тогда . Последовательность

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L n ) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.

Источник