Доказать что произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями

Четные и нечетные функции

График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

имеет единственное решение?

\[2\cdot 0+a\mathrm\,(\cos 0)+a^2=0 \quad \Rightarrow \quad a^2+a\mathrm\,1=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin\begin &a=0\\ &a=-\mathrm\,1 \end \end\right.\]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)

\(\dfrac n2, n\in\mathbb\)

(Задача от подписчиков)

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

имеет шесть различных решений.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \[D=a^2-16a+52>0\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin 12-a>0\\-(a-10)>0\end\quad\Leftrightarrow\quad a

Источник

Исследовательская работа по теме: «Четность произведения двух функций»

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №129

Советского района Волгограда

Исследовательская работа по теме:

«Четность произведения двух функций»

обучающиеся 8 «Б» класса

Иванас Ирина Анатольевна,

Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования. 5

Сбор первичного фонда информации. 5

Классификация фонда. 5

Составление модели для исследования. 6

Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было

исследовать все виды моделей. 6

Глава 2. Исследование собранного материала. 7

2.1. Исследование полученных моделей на четность

(по выбранному вопросу). 7

Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах. 8

3.1. Формулировка гипотезы. 8

3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде. 8

Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование. 9

4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…). 9

4.2. Доказательство теоремы в общем виде. 9

Список литературы 12

Проблема. Четность произведения двух функций.

изучение алгоритма определения четности произведения двух функций;

содействие углублению теоретического материала;

развитие познавательного интереса, расширение представления о свойствах произведения двух функций;

развитие умения осуществлять самостоятельный поиск информации, анализировать и обобщать её.

расширить знания программного материала о четности функции;

продолжить формирование умения исследовать функцию на четность с помощью определения;

формировать культуру построения графиков функций, культуру формулирования новой гипотезы и её доказательства;

развивать способность к исследовательской и проектной деятельности;

повысить информационную и коммуникативную компетентность.

расширение знаний о четности функции, четности произведения двух функций;

развитие средствами составления гипотез и их доказательства своих индивидуальных способностей и своего саморазвития;

умение использовать новую информацию и дополнительную литературу, выполнять анализ полученного материала и синтезировать его в доказательстве гипотезы.

Объектная область : математика.

Объект исследования: функции.

Предмет исследования : четность функции.

метод визуализации данных.

Новизна и практическое значение:

Изучая свойства элементарных функций (линейная, квадратичная, степень с натуральным показателем, обратная пропорциональность, модуль), мы узнали, как исследовать функцию на четность по определению. Изучаемые в школьной программе функции были исследованы нами на четность. В данной работе с помощью теоретического материала и графиков функций исследована четность произведения двух функций, что способствует углублению знаний и расширению кругозора.

Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования.

Изучая теоретический материал по теме «Функции и их свойства мы

познакомились со свойством четности.

По определению, которое мы нашли в дополнительной литературе,

четной называется функция f(x), обладающая следующими свойствами:

1). Область определения функции (D(f)) симметрична относительно начала отсчета;

Сбор первичного фонда информации.

Из собственного опыта мы собрали копилку конкретных примеров функций, известных из курса алгебры:
y=5x; y=-7x+5; y=x 2 ; y=x 3 ; y=x 4 ; y=x 5 ; y=|x|; y=3/x; y=5; y=x; y=5x 2 +2x-3

На этом этапе мы провели классификацию собранного фонда функций по четности.

Составление модели для исследования.

Для четности произведения двух функций, четность которых известна, возможны варианты:

Ч Ч;

Ч Н;

Н Н.

Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей.

у=5х x 3

у= х 5 3/x

у=х x 3

Глава 2. Исследование собранного материала.

2.1. Исследование полученных моделей на четность (по выбранному вопросу).

2). z (- x ) = (- x ) 2 (- x ) 4 =(- x ) 6 = x 6 = z ( x )

2). f (- x ) = (- x ) (- x ) 3 =(- x ) 4 = x 4 = f ( x )

Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах.

3.1. Формулировка гипотезы.

В первом случае: Ч Ч=Ч (произведение двух четных функций есть четная функция).

Во втором случае: Ч Н=Н (произведение четной функции на нечетную функцию есть нечетная функция).

В третьем случае: Н Н=Ч (произведение двух нечетных функций есть четная функция).

3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде.

2). у(х)=|x| 3/x

2). у(-x) =|-x| 3/(-x)=-|x| 3/x=- у(x)

3). у(х)= х 5 3/x

2). у(-x) =(-x) 5 3/(-x) =x 5 3/x= у(x)

Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование.

4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…).

1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.

2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.

3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.

4.2. Доказательство теоремы в общем виде.

1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.

2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.

3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.

Изучив теоретический материал, рассмотрев свойство четности элементарных функций, мы исследовали четность произведения двух функций, четность которых была нам уже известна. Работая над этой темой мы выяснили, что произведение двух четных функций и двух нечетных функций есть четная функция, а произведение четной функции и нечетной функции есть нечетная функция.

При помощи определения четности функции нам удалось провести исследование частных примеров, затем проверить и доказать гипотезу четности и нечетности произведения двух функций.

Изучение данной проблемы помогло нам выбрать дальнейший путь исследований.

Нами были определены следующие направления работы:

увеличить фонд за счет добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества четных функций есть функция четная (Ч Ч Ч … Ч=Ч);

рассмотреть частные случаи (отыскание возможных следствий из доказанной теоремы);

составить и проверить обратные утверждения.

Полученные знания и умения сбора и анализа материала, составления гипотезы и доказательства её помогут нам провести исследование по выбранному направлению.

Источник

Понятие четной и нечетной функции

Понятие четности и нечетности функции

Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.

Четная функция

Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

График четной функции симметричен относительно оси Ох.

Нечетная функция

Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Произведение четной и нечетной функции

Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Пусть \(f(x)\) — четная функция, а \(g(x)\) — нечетная. Тогда \(f(x)=f(-x), а g(-x)=-g(x).\)

Исследование функций в примерах

Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.

1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)

1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac\) и \(f_2(x)=\frac4\)

Рассмотрим первую функцию:

1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.

Рассмотрим вторую функцию:

Источник

Доказать что произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 206. Четные и нечетные функции

Функция у = f (х) называется четной, если при всех значениях х из области определения этой функции

Пусть точка М с координатами (а, b) принадлежит графику четной функции у = f (х). Тогда b = f (а). Так как функция f (х) четна, то и f (— a)= f (а)= b. Но это означает, что наряду с точкой М (а, b) графику функции у = f (х) должна принадлежать и точка N с координатами (— а, b). Эти две точки симметричны друг другу относительно оси у (рис. 278).

Таким образом, какую бы точку графика четной функции мы ни взяли, на нем обязательно найдется точка, симметричная первой относительно оси у. Вот почему график четной функции представляет собой линию, симметричную относительно оси ординат (один из таких графиков показан на рис. 279).

Функция у = f (x) называется нечетной, если при всех значениях х из области определения этой функции

Таким образом, какую бы точку графика нечетной функции мы ни взяли, на нем обязательно найдется другая точка, симметричная первой относительно начала координат. Вот почему график любой нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, рис. 281).

Кроме того, говорить о том, что функция у = f ( х) четна или нечетна, можно лишь в том случае, когда область определения этой функции является симметричной относительно начала координат. Это означает, что если функция определена при х = а, то она должна быть определена и при х = — а. В противном случае сравнивать выражения f (х) и f (— х) не имеет смысла. Например, функция у = lg х определена только для положительных значений аргумента. Поэтому одно из выражений lg х и lg (— х) наверняка не имеет смысла. Следовательно, говорить о том, является ли логарифмическая функция четной или нечетной, также не имеет смысла.

1605. (У с т н о.) Среди данных функций указать четные и нечетные:

1606. Какие из данных функций являются четными и какие нечетными:

1607. Доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.

1608. Доказать, что произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

1609. Может ли функция быть одновременно и четной и нечетной?

1610*. Что вы можете сказать о четности функции f ( х), если известно, что функция | f ( х) | : а) четна; б) нечетна?

1611. Может ли монотонная на всей числовой прямой функция быть: а) четной; б) нечетной?

1612. Как достроить график четной функции у = f ( х), еели он задан только при х > 0?

Источник

Урок алгебры «Четность и нечетность функции» (11 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя

рабочего посёлка Мухен муниципального района имени Лазо Хабаровского края

Четность (нечетность) функции

Кушнарь Лариса Александровна

Тема урока: Четность (нечетность) функции.

Тип урока, форма : урок итогового повторения, урок подготовки к ЕГЭ.

Учебная задача урока: Обобщить и систематизировать знания по теме «Четность (нечетность) функций» для подготовки учащихся к ЕГЭ по алгебре на основе анализа заданий типа А и В, свойственных для ЕГЭ.

В результате ученик:

— определение четной (нечетной) функции;

— как по графику функции определить является функция четной, нечетной или функцией общего вида;

— как по аналитическому заданию функции определить является ли она четной, нечетной или функцией общего вида;

— частные виды четных (нечетных) функций;

— сумма четных ( нечетных) функций есть функция четная (нечетная);

— произведение четных (нечетных) функций есть четная функция;

— произведение четной и нечетной функции есть нечетная функция;

— если внешняя функция действует на четную функцию, то композиция этих функций есть функция четная.

— по аналитическому и графическому заданиям функций определять является функция четной, нечетной или функцией общего вида;

— решать задачи на применение определения и свойств четной (нечетной) функции;

— что график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции – относительно начала координат.

Ученикам выдается раздаточный материал, на котором в разброс изображены графики четных, нечетных функций и функций общего вида..

— Перед вами несколько графиков функций. На какие группы можно разбить эти графики?

(1 группа: графики симметричные относительно оси Оу;

2 группа: графики симметричные относительно начала координат;

3 группа: оставшиеся.)

— Какое свойство функции говорит нам о симметрии относительно оси ординат? Начала координат?

— Запишите тему нашего сегоднешнего урока: « Четные и нечетные функции».

-Вспомните определение четной (нечетной) функции.

— Запишите данное определение в таблицу.

— В какой из выделенных вами групп находятся графики четных функций? Нечетных? Функций общего вида?

— Чем вы руководствовались при выполнении этого задания?

( определением четной и нечетной функции)

— Сформулируйте правило по которому по графику функции можно определить к какому типу функции принадлежит этот график.

( если график функции симметричен относительно оси ординат, то функция четная, если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетная)

— Запишите это правило в таблицу.

— какой вывод можно сделать об областях определения четных и нечетных функций?

(для любой четной или нечетной функции областью определения может являться только такое множество, для которого оба числа х и – х либо одновременно входят в область определения функции, либо одновременно не входят в область определения).

— Сконструируйте несколько множеств, которые могут быть областью определения четных или нечетных функций.

— Хорошо. Теперь начертите 4 системы координат, пронумеровав их цифрами 1,2, 3,4. Изобразите в них графики четырех функций так, чтобы одна из них являлась функцией четной, другая – нечетной, а третья – функцией общего вида. На оставшейся системе координат начертите произвольный график функции. Попросите соседа по парте определить номер графика, соответствующего функции четной, функции нечетной, а также функции общего вида.

)

— Определите является функция четной, нечетной или функцией общего вида:

в) f ( x ) = x 3 + 5 sinx ;

— Постройте алгоритм определения четности 9нечетности функции по ее аналитическому заданию.

1) проверить симметричность области определения функции. Если не симметрична, то функция общего вида

3)сравнить f (- x ) и f ( x ):

а) f (- x ) = f ( x ), то четная;

— Запишите этот алгоритм в таблицу.

( так как функция четная, то ее график будет симметричен относительно оис ординат, то есть достаточно построить график при х ≥ 0 и отразить его симметрично относительно Оу.

Далее учитель разбивает класс на 10 групп. Каждая группа получает индивидуальное задание.

1 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате суммы (разности)двух четных функций;

2 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате суммы (разности) двух нечетных функций;

3 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате суммы (разности) четной и нечетной функции;

4 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате произведения(частного) двух четных функций;

5 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате произведения (частного) двух нечетных функций;

6 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате произведения(частного) четной и нечетной функции;

7 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная как композиция двух четных функций;

8 группа : определить четной или нечетной является функция, полученная как композиций четной и нечетной функции;

9 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная как композиция нечетной и четной функции;

10 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная как композиция двух нечетных функций.

Через 5 минут проверяем и делаем выводы:

Сумма и разность нечетных функций – нечетные функции, а произведение и частное двух нечетных функций (кроме деления на 0) – четные функции;

Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на 0) четных функций – четные функции;

Если в композиции обе функции нечетные, то функция будет нечетной, во всех остальных случаях получаем четную функцию.

В конце урока предлагаем ученикам выполнить небольшой тест:

1) Среди предложенных функций выберите четную:

2) На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок.

3)Непрерывная нечетная функция f ( x ), определенная на всей числовой оси, на промежутке (0; +∞) обращается в 0 в четырех точках. Найдите число корней уравнения f ( x ) = 0 на промежутке (-∞; +∞).

Приведите примеры четных и нечетных функций. Докажите, что приведенные вами функции являются четными или не четными.

Приведите примеры функций, которые не являются четными и не являются нечетными из-за того, что область определения несимметрична относительно точки О.

Постройте график функции f , если при х≤0 значения функции находятся по формуле у = х +4 и известно, что функция f – четная.

Источник