Доказать что ряд обратных квадратов сходится

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

В истории математики имеется много случаев, когда кто-либо ставил задачу перед математическим миром в целом, и эта задача оставалась нерешенной в течение десятилетий или даже веков. Часто в процессе решения такой задачи появлялись новые области математики.

Этот пост – рассказ об одном из таких случаев, так называемой Basel problem (задаче о сумме ряда обратных квадратов, Базель – город в Швейцарии), впервые поставленной в качестве вызова европейским математикам в 1644 году. Она сопротивлялась всем попыткам ее решить до тех пор, пока молодой Леонард Эйлер в 1734 году не нашел ответ. Как увидит читатель, решение Эйлера – работа удивительной изобретательности, хотя уровень математики не превосходит в ней начального курса алгебры.

Задача

Basel problem формулируется просто: требуется найти точное значение следующей бесконечной суммы:

Как и для всех остальных бесконечных рядов, для этого ряда возникает вопрос, сходится ли он к конечному значению. Тот факт, что его члены становятся бесконечно малыми, не является достаточным для обеспечения сходимости. Например, следующий ряд

имеет бесконечную сумму, т.е. расходится, несмотря на то, что его члены становятся сколь угодно малыми (этот ряд называется гармоническим, и доказательство его расходимости приведено ниже).

Тем не менее, для ряда обратных квадратов ранее было показано, что он сходится к числу, меньшему 2, только не было известно точное значение, к которому он сходится.

Два соперника и их учитель делают безуспешную попытку

Первыми математиками мирового уровня, пытавшимися решить Basel problem, были швейцарцы, братья Якоб Бернулли (1654-1705) и Иоганн Бернулли (1667-1748). Задача названа так, потому что Базель — их родной город. Бернулли были среди первых, кто понял и начал применять новое исчисление, о котором они узнали от Готфрида Лейбница (1646-1716), — одного из его авторов. К 1690 году они считались ведущими европейскими математиками. К сожалению, к этому времени они стали ожесточенными, непримиримыми соперниками, и казалось, испытывали практически убийственную ненависть друг к другу. Каждый из них мог бы лгать, воровать, пошел бы на плагиат, если бы это помогло ему казаться лучше другого. Соперничество не прекратилось даже со смертью Якоба — Иоганн пытался выдать некоторые неопубликованные работы своего покойного брата за свои собственные, и он также отказался помочь опубликовать трактат Якоба по теории вероятности, опасаясь, что это поднимет репутацию брата. По крайней мере, Иоганн, вполне возможно, был просто… нехорошим человеком — когда его собственный сын Даниил позже выиграл математический приз, за который Иоганн также боролся, он выгнал Даниила из дома и лишил его наследства.

В течение многих лет братья Бернулли пытались решить задачу о сумме ряда обратных квадратов, что, вероятно, частично было обусловлено желанием победить соперника, но они не добились успеха. Лейбниц также работал над проблемой в течение многих лет и не получил никакого результата.

Вступление Эйлера

Леонард Эйлер (1707–1786) родился в Базеле, и так случилось, что его отец знал Иоганна Бернулли. Когда Леонарду было 14 лет, его отец попросил Иоганна, чтобы тот учил юношу математике. Иоганн нехотя согласился, но затем быстро обнаружил, что его новый ученик имеет способности, превосходящие все те, какие он когда-либо видел. Вскоре роли поменялись, и Иоганн учился у Эйлера. Иоганн посоветовал отцу Леонарда отказаться от идеи сделать Леонарда министром, предложив ему стать математиком. К чести его, отец согласился.

Через несколько лет Эйлер занял пост в Академии в Санкт-Петербурге, в России. Именно там, в 1734 году, Эйлер нашел решение Basel problem. В результате его сразу же стали считаеть ведущим математиком Европы.

Решение

Для начала рассмотрим алгебраическое уравнение, степень которого я произвольно полагаю равной четырем:

Предположим, что его корни и . Тогда мы можем разложить полином на линейные множители следующим образом:

Если ни один из этих корней не равен нулю, мы можем записать также

Далее, имеются некоторые полиномы бесконечной степени, например,

Эти особые бесконечные ряды были открыты Ньютоном, и довольно легко вывести такие разложения с помощью математического анализа. Здесь я буду считать его известным. Мы знаем нули синуса, это Первой идеей Эйлера было предположение, что теорема о разложении на множители верна для бесконечных полиномов, т.е.

Заметим, что каждая пара множителей и перепишем равенство

Теперь Эйлер получил, что бесконечная сумма равна бесконечному произведению!? (также обратите внимание на знаменатели в этом произведении — в них имеются квадраты натуральных чисел, что намекает о присутствии где-то здесь ряда обратных квадратов).

Хотя произведение состоит из бесконечного числа множителей, мы можем выяснить, какой коэффициент будет при каждой степени . Рискуя обидеть читателя, я все же объясню: рассмотрим конечное произведение

Каждый элемент при раскрытии скобок в произведении, скажем , равен произведению слагаемых, взятых из каждой скобки слева по одному. Так, Эйлер увидел, что в нашем бесконечном произведении член, содержащий , будет равен

Однако, поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для , коэффициент при должен быть равен . Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на , получим

Итак, через 90 лет был найден ответ. Он остается одним из самых странных, самых удивительных результатов в математике. Мы связываем постоянную с кругами, а Basel problem содержит обратные квадраты. И что здесь вдобавок делает синус из тригонометрии? Когда Иоганн Бернулли увидел решение Эйлера, он должен был сказать: “Был бы только мой брат жив, чтобы увидеть это’’. Возможно, Иоганн смягчился с годами.

Это не все, что установил Эйлер в своей исторической работе. Используя подобные методы, он показал, что

Оставался очевидный вопрос: а что с нечетными степенями натуральных чисел? Оказывается, что подобные методы не работают для нечетных степеней. В течение всей своей жизни Эйлер много раз пытался найти эти суммы, но ему этого сделать не удалось. В конце концов он просто сказал: “Задача представляется сложной’’. Когда Эйлер сказал о математической задаче, что она сложная, обычным математикам, вероятно, не стоит заботиться о ее решении. И конечно же, сегодня, спустя 200 с лишним лет, эти суммы не найдены.

Следствия

Практики могут задать вопрос, оправданы ли все эти усилия, принесшие результат, не имеющий никакой очевидной пользы. Простой ответ состоит в том, что эта задача из теории чисел, а в теории чисел подобные вопросы просто не возникают. Менее циничным ответом будет тот, что теория чисел иногда находит свой путь в реальный мир. Хорошим примером тому является теорема Ферма, открытая им в 1640 году, так называемая малая теорема Ферма. На этом абстрактном результате основан алгоритм криптографии, который применяется в Интернете для передачи секретной информации, такой как номера кредитных карт. Без него электронная коммерция была бы невозможна.

Что касается задачи о сумме ряда обратных квадратов, то позже оказалось, что она тесно связана с гипотезой Римана, которая сегодня считается одной из самых важных нерешенных проблем в математике. Эта гипотеза была предложена в 1859 году. Она считается верной, но до сих пор ее еще никто не доказал. Нам нужен новый Леонард Эйлер.

Приложение. Расходимость гармонического ряда

Как было написано выше, это ряд:

Якоб Бернулли доказал, что эта сумма бесконечна. Якоб заметил, что ряд может быть разделен на группы слагаемых:

Он предположил, что сумма слагаемых в каждой группе единица или больше. Если так, то сумма гармонического ряда бесконечна, поскольку она равна сумме бесконечного числа слагаемых, каждое из которых единица или больше (групп бесконечно много). Чтобы доказать предположение, рассмотрим одну группу без первого слагамого:

Число слагаемых в этой группе равно . Наименьшее слагаемое — последнее, так что

Добавляя к обеим частям равенства, получаем требуемый результат.

Источник

Ряд обратных квадратов

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

π 2 6 ≈ 1,644 9340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293 … ><6>>approx 1<,>6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293dots > (см. последовательность A013661 в OEIS).

Эта сумма встречается во многих других задачах теории чисел.

Решение данной проблемы оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число π вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению дзета-функции Римана. Начал этот путь сам Эйлер, рассмотрев обобщение ряда обратных квадратов — ряд для произвольной чётной степени s, а также выведя фундаментальное тождество Эйлера:

Произведение в правой части берётся по всем простым числам.

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в диссертации итальянского математика Пьетро Менголи (Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, 1644 год, опубликована в 1650), но тогда задача не вызвала общего интереса. Менголи определил, что ряд сходится, и нашёл сумму первых 10 членов:

Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, Христиан Гольдбах, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они также вычислили несколько значащих цифр суммы ряда. Гольдбах показал, что сумма заключена в интервале (41/25; 5/3), Стирлинг в трактате «Methodus Differentialis» (1730) сумел вычислить довольно точное значение суммы: 1,644934066, однако никто не мог точно определить, с чем это значение может быть связано.

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны». Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, 1735 год) для журнала «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae» Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости использованного Эйлером разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X).

Как отмечает Джон Дербишир, второе (после ряда Лейбница) появление числа π в неожиданном, совершенно не геометрическом контексте, произвело на математиков XVIII века сильное впечатление.

Сходимость ряда

Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится следующий ряд:

Этот ряд мажорирует ряд обратных квадратов, потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Его можно представить в виде телескопической суммы:

Для оценки скорости сходимости частичных сумм можно использовать формулу

Источник

Ряд обратных квадратов

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

π 2 6 ≈ 1,644 9340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293 … ><6>>approx 1<,>6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293dots > (см. последовательность A013661 в OEIS).

Эта сумма встречается во многих других задачах теории чисел.

Решение данной проблемы оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число π вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению дзета-функции Римана. Начал этот путь сам Эйлер, рассмотрев обобщение ряда обратных квадратов — ряд для произвольной чётной степени s, а также выведя фундаментальное тождество Эйлера:

Произведение в правой части берётся по всем простым числам.

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в диссертации итальянского математика Пьетро Менголи (Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, 1644 год, опубликована в 1650), но тогда задача не вызвала общего интереса. Менголи определил, что ряд сходится, и нашёл сумму первых 10 членов:

Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, Христиан Гольдбах, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они также вычислили несколько значащих цифр суммы ряда. Гольдбах показал, что сумма заключена в интервале (41/25; 5/3), Стирлинг в трактате «Methodus Differentialis» (1730) сумел вычислить довольно точное значение суммы: 1,644934066, однако никто не мог точно определить, с чем это значение может быть связано.

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны». Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, 1735 год) для журнала «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae» Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости использованного Эйлером разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X).

Как отмечает Джон Дербишир, второе (после ряда Лейбница) появление числа π в неожиданном, совершенно не геометрическом контексте, произвело на математиков XVIII века сильное впечатление.

Сходимость ряда

Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится следующий ряд:

Этот ряд мажорирует ряд обратных квадратов, потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Его можно представить в виде телескопической суммы:

Для оценки скорости сходимости частичных сумм можно использовать формулу

Источник

Дзета-функция Эйлера

1. Базельская задача

Для гармонического ряда аналогичная итерация дает сумму 14.3927257228, отчего гармонический ряд еще называют медленно расходящимся рядом.

При этом

Делим обе части равенства на x и получаем

Поскольку

имеем:
K ‘ =1
Получаем ряд:

После перемножения и расрытия скобок в правой части:

Делим обе части на -x 2 /π 2 и получаем:

что и требовалось доказать. Для 4-й степени:

Для 6-й степени:

ζ(8) = π 8 / 9450
ζ(10) = 691*π 10 / 638512875
ζ(12) = 2*π 12 / 18243225
ζ(14) = 3617*π 14 / 325641566250
.

Для положительных целых четных значений, кратных двум, Эйлер нашел упрощенную формулу с использованием чисел Бернулли:

или так

В 1755 году Эйлер опубликовал Наставления к дифференциальному исчислению, в которых подвел итог доказательству Базельской задачи.
На данный момент существует много ее различных доказательств, например, есть варианты, в которых используется только интегральное исчисление.

Ряд, состоящий из величин, обратных простым числам, расходится, причем еще медленнее, чем гармонический, примерно к ln(ln(p)) :

Сумма же гармонического ряда оценивается как ln(n+1) 2. Так появилась знаменитая дзета-функция Эйлера:

Он смог вычислить ее для любого четного значения S. Для нечетных функций простых формул до сих пор не найдено.
Таблица для первых 5 целых значений дзета-функции, с точностью до 12 знаков после запятой:
2 = 1.644934066848
3 = 1.202056903159
4 = 1.082323233711
5 = 1.036927755143
6 = 1.017343061984

Дзета-функция является фундаментальной функцией современной математики. Она может проявляться в самых неожиданных местах.
Так, для S=3 она равна 1.2020569. Это число называется постоянной Апери.
Постоянная Эйлера

очень важна, т.к. она используется самым неожиданным образом во множестве дисциплин: в статистике. квантовой механике, анализе и теории чисел. Существует связь между этой константой и дзета-функцией:

Существует связь между дзета-функцией и числом делителей натуральных чисел:

Существует связь между дзета-функцией и числом простых делителей натуральных чисел:

Существует связь между дзета-функцией и вероятностью выбора взаимно-простых чисел. Пусть имеется отрезок из натуральных чисел [1;N]. Из него случайно выбираем k целых чисел. Вероятность того, что эти числа взаимно просты в совокупности:

В частности, два случайно выбранных числа взаимно просты с вероятностью 6/π 2

3. Тождество Эйлера

4. О свойствах степенных рядов

Источник

Ряд обратных квадратов

1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + … <\displaystyle <\frac <1><1^<2>>>+<\frac <1><2^<2>>>+<\frac <1><3^<2>>>+<\frac <1><4^<2>>>+<\frac <1><5^<2>>>+\dots >

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

1 6 π 2 ≈ 1,644 9340668 <\displaystyle <\frac <1><6>>\pi ^<2>\approx 1<,>6449340668> (см. последовательность A013661 в OEIS).

1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ = 1 1 − 2 − s ⋅ 1 1 − 3 − s ⋅ 1 1 − 5 − s ⋅ 1 1 − 7 − s ⋅ 1 1 − 11 − s ⋅ … <\displaystyle <\frac <1><1^>>+<\frac <1><2^>>+<\frac <1><3^>>+<\frac <1><4^>>+\dots =<\frac <1><1-2^<-s>>>\cdot <\frac <1><1-3^<-s>>>\cdot <\frac <1><1-5^<-s>>>\cdot <\frac <1><1-7^<-s>>>\cdot <\frac <1><1-11^<-s>>>\cdot \ \dots >

Произведение в правой части берётся по всем простым числам.

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Менголи определил, что ряд сходится, и нашёл сумму первых 10 членов [2] :

1968329 1270080 ≈ 1,549 77 <\displaystyle <\frac <1968329><1270080>>\approx 1<,>54977>

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, 1735 год) [5] для журнала «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae» Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли [6] :

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится следующий ряд [10] :

1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + 1 4 ⋅ 5 ⋯ <\displaystyle 1+<\frac <1><1\cdot 2>>+<\frac <1><2\cdot 3>>+<\frac <1><3\cdot 4>>+<\frac <1><4\cdot 5>>\cdots >

Этот ряд мажорирует ряд обратных квадратов, потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Его можно представить в виде телескопической суммы:

1 + ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ <\displaystyle 1+\left(1-<\frac <1><2>>\right)+\left(<\frac <1><2>>-<\frac <1><3>>\right)+\left(<\frac <1><3>>-<\frac <1><4>>\right)+\cdots \ >

Для оценки скорости сходимости частичных сумм можно использовать формулу:

1 m + 1 = ∫ m + 1 ∞ 1 t 2 d t ∑ n = m + 1 ∞ 1 n 2 ∫ m ∞ 1 t 2 d t = 1 m <\displaystyle <\frac <1>>=\int \limits _^<\infty ><<\frac <1>>>dt>

В 1988 году Рой Норт (Roy D. North) из Колорадо-Спрингс подсчитал на компьютере сумму миллиона членов ряда обратных квадратов и обнаружил странную закономерность — шестой знак после запятой, как и следовало ожидать, ошибочен, но следующие за ним 6 цифр верны. Далее один знак ошибочен, а после него пять цифр снова верны:

Полная сумма ряда ( π 2 / 6 <\displaystyle \pi ^<2>/6> )	1,64493 4 066848 2 26436 472415166646025189218949901…
Частичная сумма миллиона членов	1,64493 3 066848 7 26436 305748499979391855885616544…
Погрешность	0.000000999999500000166666666666633333333333357…

Данная погрешность может быть представлена в виде суммы

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение [13] :

sin ⁡ ( x ) = x ( 1 − x 2 π 2 ) ( 1 − x 2 4 π 2 ) ( 1 − x 2 9 π 2 ) ( 1 − x 2 16 π 2 ) ⋯ <\displaystyle \sin(x)=x\left(1-<\frac ><\pi ^<2>>>\right)\left(1-<\frac ><4\pi ^<2>>>\right)\left(1-<\frac ><9\pi ^<2>>>\right)\left(1-<\frac ><16\pi ^<2>>>\right)\cdots >

1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + ⋯ = π 2 6 <\displaystyle <\frac <1><1^<2>>>+<\frac <1><2^<2>>>+<\frac <1><3^<2>>>+<\frac <1><4^<2>>>+<\frac <1><5^<2>>>+\dots =<\frac <\pi ^<2>><6>>>

E = ∫ 0 1 arcsin ⁡ x 1 − x 2 d x = ∫ 0 1 arcsin ⁡ x d arcsin ⁡ x = π 2 8 <\displaystyle E=\int \limits _<0>^<1><<\frac <\arcsin x><\sqrt <1-x^<2>>>>\ dx>=\int \limits _<0>^<1><\arcsin x\ d\arcsin x>=<\frac <\pi ^<2>><8>>>

Этот ряд сходится равномерно, и его можно интегрировать почленно:

E = 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n − 1 ) 2 <\displaystyle E=1+\sum _^<\infty ><\frac <1><(2n+1)^<2>>>=\sum _^<\infty ><\frac <1><(2n-1)^<2>>>>

S = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ = E + 1 2 2 + 1 4 2 + 1 6 2 + ⋯ = π 2 8 + 1 4 S <\displaystyle S=<\frac <1><1^<2>>>+<\frac <1><2^<2>>>+<\frac <1><3^<2>>>+<\frac <1><4^<2>>>+\dots =E+<\frac <1><2^<2>>>+<\frac <1><4^<2>>>+<\frac <1><6^<2>>>+\dots =<\frac <\pi ^<2>><8>>+<1 \over 4>S>

Ряд Фурье

Один из простых методов получения данной суммы включает в себя аппарат разложения в ряд Фурье функции f ( x ) = x 2 <\displaystyle f(x)=x^<2>> . Для чётной функции это разложение имеет вид [17] :

f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x <\displaystyle f(x)=a_<0>+\sum _^<\infty >a_\cos nx>

a 0 = 1 2 π ∫ − π π x 2 d x = π 2 3 ; a n = 1 π ∫ − π π x 2 cos ⁡ ( n x ) d x = ( − 1 ) n 4 n 2 <\displaystyle a_<0>=<\frac <1><2\pi >>\int \limits _<-\pi >^<\pi >x^<2>dx= <\pi ^<2>\over 3>;\quad a_=<\frac <1><\pi >>\int \limits _<-\pi >^<\pi >x^<2>\cos(nx)dx=(-1)^<\frac <4>>>>

В итоге разложение приобретает вид [17] :

x 2 = π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 4 cos ⁡ ( n x ) n 2 <\displaystyle x^<2>= <\pi ^<2>\over 3>+\sum _^<\infty >(-1)^<\frac <4\cos(nx)>>>>

1 1 2 − 1 2 2 + 1 3 2 − 1 4 2 + 1 5 2 − ⋯ = π 2 12 <\displaystyle <\frac <1><1^<2>>>-<\frac <1><2^<2>>>+<\frac <1><3^<2>>>-<\frac <1><4^<2>>>+<\frac <1><5^<2>>>-\dots = <\pi ^<2>\over 12>>

Метод разложения гиперболического котангенса

Этот способ интересен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

S 2 n = ∑ m = 1 ∞ 1 m 2 n <\displaystyle S_<2n>=\sum _^<\infty ><\frac <1>>>>

Вторая формула [19] связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли B n <\displaystyle B_> :

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

Другие подходы

Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например [1] :

1 1 4 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + 1 5 4 + ⋯ = π 4 90 <\displaystyle <\frac <1><1^<4>>>+<\frac <1><2^<4>>>+<\frac <1><3^<4>>>+<\frac <1><4^<4>>>+<\frac <1><5^<4>>>+\dots =<\frac <\pi ^<4>><90>>> 1 1 6 + 1 2 6 + 1 3 6 + 1 4 6 + 1 5 6 + ⋯ = π 6 945 <\displaystyle <\frac <1><1^<6>>>+<\frac <1><2^<6>>>+<\frac <1><3^<6>>>+<\frac <1><4^<6>>>+<\frac <1><5^<6>>>+\dots =<\frac <\pi ^<6>><945>>>

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом [7] :

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера [22] :

В теории чисел

Для функции Мёбиуса имеет место асимптотическое соотношение:

1 x ∑ n ≤ x | μ ( n ) | = 1 ζ ( 2 ) + O ( 1 x ) <\displaystyle <\frac <1>>\sum \limits _|\mu (n)|=<\frac <1><\zeta (2)>>+O(<\frac <1><\sqrt >>)> ,

Другие представления в виде рядов

ζ ( 2 ) = 27 4 ∑ k = 0 ∞ 1 64 k [ 16 ( 6 k + 1 ) 2 − 24 ( 6 k + 2 ) 2 − 8 ( 6 k + 3 ) 2 − 6 ( 6 k + 4 ) 2 + 1 ( 6 k + 5 ) 2 ] <\displaystyle <\begin\zeta (2)=<\frac <27><4>>\sum _^<\infty ><\frac <1><64^>>\left[<\frac <16><(6k+1)^<2>>>-<\frac <24><(6k+2)^<2>>>-<\frac <8><(6k+3)^<2>>>-<\frac <6><(6k+4)^<2>>>+<\frac <1><(6k+5)^<2>>>\right]\end>> ζ ( 2 ) = 4 9 ∑ k = 0 ∞ 1 729 k [ 243 ( 12 k + 1 ) 2 − 405 ( 12 k + 2 ) 2 − 81 ( 12 k + 4 ) 4 − 27 ( 12 k + 5 ) 2 − − 72 ( 12 k + 6 ) 2 − 9 ( 12 k + 7 ) 2 − 9 ( 12 k + 8 ) 2 − 5 ( 12 k + 10 ) 2 + 1 ( 12 k + 11 ) 2 ] <\displaystyle <\begin\zeta (2)=<\frac <4><9>>\sum _^<\infty ><\frac <1><729^>>\left[<\frac <243><(12k+1)^<2>>>-<\frac <405><(12k+2)^<2>>>-<\frac <81><(12k+4)^<4>>>-<\frac <27><(12k+5)^<2>>>-\right.\\-\left.<\frac <72><(12k+6)^<2>>>-<\frac <9><(12k+7)^<2>>>-<\frac <9><(12k+8)^<2>>>-<\frac <5><(12k+10)^<2>>>+<\frac <1><(12k+11)^<2>>>\right]\end>>

Интегральные представления

Цепные дроби

ζ ( 2 ) 2 = 1 1 − 1 4 3 − 2 4 5 − 3 4 7 − … ⋯ + n 4 ( 2 n − 1 ) + … <\displaystyle <\frac <\zeta (2)><2>>=<\cfrac <1><1-<\cfrac <1^<4>><3-<\cfrac <2^<4>><5-<\cfrac <3^<4>><7-<\cfrac <\dots ><\dots +<\cfrac ><(2n-1)+\dots >>>>>>>>>>>>> ζ ( 2 ) 5 = 1 3 − 1 4 25 − 2 4 69 − 3 4 135 − … ⋯ + n 4 ( 11 n 2 − 11 n + 3 ) + … <\displaystyle <\frac <\zeta (2)><5>>=<\cfrac <1><3-<\cfrac <1^<4>><25-<\cfrac <2^<4>><69-<\cfrac <3^<4>><135-<\cfrac <\dots ><\dots +<\cfrac ><(11n^<2>-11n+3)+\dots >>>>>>>>>>>>> [30] [ неавторитетный источник? ] ζ ( 2 ) = 5 3 + 1 25 − 1 4 69 − 2 4 135 − 3 4 223 − … ⋯ + n 4 ( 11 n 2 + 11 n + 3 ) + … <\displaystyle \zeta (2)=<\frac <5><3>>+<\cfrac <1><25-<\cfrac <1^<4>><69-<\cfrac <2^<4>><135-<\cfrac <3^<4>><223-<\cfrac <\dots ><\dots +<\cfrac ><(11n^<2>+11n+3)+\dots >>>>>>>>>>>>> [31]

Источник