Доказать что sqrt 2 иррациональное

Как доказать, что число корень из 2 иррационально?

Ну вот предположим, что такое рациональное число, что a²/b² = 2, существует. И раз его квадрат есть чётное число, то а тоже должно быть чётным. А раз оно чётное, то его можно представить как a = 2k. Тогда a²/b² = (2k)²/b² = 4k²/b² = 2. Видно, что обе части тут чётные, так что можно соаратить на 2 и написать 2k²/b² = 1.

Чтобы доказать, что корень из 2 является иррациональным числом докажем методом от противного. То есть корень из 2 рационален.

тогда корень из 2=m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. Вводим равенство в квадрат и получаем:

Так как m во 2 степени содержит чётное число двоек, а 2n во 2 степени — нечётное число двоек, получается, что равенство m^2=2n^2 неверно.

Отсюда следует, что корень из 2 — иррациональное число.

Очевидно, что если бы все вычисления в вопросе проводились в числах, записанных в десятичной системе счисления, то вопрос бы большого смысла не имел. Не имеет смысла спрашивать, чему равно 84, если всё проводится с обычными десятичными числами. То есть методом исключения мы определили, что в примере с умножением применена какая-то иная система, не десятичная. Нужно выяснить, какая именно. Мы видим, что результат, который должен был бы равен 64, записывается в той системе как 54. Нет сомнения, что 5 — это цифра десятков, а 4 — цифра единиц. Обозначим переменной x пока неизвестное нам искомое основание системы. Составим уравнение:

x = 12.

Мы нашли, что умножение проводилось по двенадцатеричной системе. Теперь мы можем найти, чему равно двенадцатеричное число 84 по нашей общепринятой десятичной системе:

8 * 12 + 4 = 96 + 4 = 100.

Ответ: 84 (12) = 100 (10). В скобках — основания систем счисления.

Пусть рубашка стоит 100 единиц, тогда брюки будут стоить 130 единиц, а пиджак будет стоить 169 единиц. Он дороже брюк на 39 единиц. Единиц, но не процентов. А вот 39 единиц от 130 единиц будут составлять всего 30%.

Ответ: пиджак дороже брюк на 30%.

Насколько я понял, R – это значок функции, например f(x). Поэтому запишем ваш первый интеграл так I = int[f(sinx)cosxdx]. Сюда входят и синус и косинус. Самый простой способ решения это заменить косинус на синус, или наоборот. При этом надо знать следующее равенство: d(sinx) = cosxdx. Или cosxdx = d(sinx). Тогда ваш интеграл примет более удобный вид I = int[f(sinx)dsinx]. Сюда входит только одна функция sinx. Чтобы было еще понятней, сделаем такую замену переменных: sinx = z. Тогда I = int[f(z)dz]. Для того чтобы решить этот интеграл, надо знать конкретный вид функции f(z).

Источник

Доказать что sqrt 2 иррациональное

Любая наука и теория строится на базовых понятиях, которые обычно интуитивно ясны и принимаются нами без доказательств (мы называем такие понятия аксиомами). Число в математике как раз и есть базовое понятие — это абстракция, используемая для количественного описания объектов. В зависимости от объекта изучения мы представляем числа так, как нам удобно.

Например, если взять число 4, в зависимости от решаемой нами задачи его можно представить как количество неких элементов, например спичек, как отрезок длиной 4 см, как квадрат площадью 4 см², как положение точки на числовой прямой или даже как произведение двух чисел. Также стоит помнить, что запись числа «четыре» как «4» — не более чем форма записи, модель. В троичной системе счисления это число записывается как «11,» римскими цифрами — как «IV» и так далее.

С натуральными числами всё просто, дроби тоже можно представить как вполне осязаемые объекты — части целого. Но есть числа, которые нельзя представить в виде дроби, — иррациональные числа.

Всё началось примерно 37 веков назад — с числа, которое мы теперь называем квадратный корень из двух и обозначаем как √2. С точки зрения алгебры это такое число, которое при возведении в квадрат даёт 2.

Тут следует сделать отступление и рассказать о математике тех времён, а именно о том, что она опиралась в первую очередь на геометрические представления. Свойства чисел и теоремы доказывались геометрическими методами, а величины всегда имели геометрический смысл. Так, например, иррациональные числа появились в математике раньше отрицательных и нуля, которые не имеют под собой элементарной геометриче­­с­­кой основы.

Как же это могло выглядеть? Очень просто, многие алгебраические операции можно представить через геометрию. Например, умножение двух чисел — площадь прямоугольника, длины сторон которого имеют длины, соответствующие данным числам; возведение числа в квадрат — нахождение площади квадрата со стороной, равной данному числу. Именно благодаря задаче, связанной с площадью, возникла идея о существовании числа, ранее не изучавшегося математикой.

Рассмотрим простую с точки зрения геометрии задачу. Разобьём квадрат площадью 4 на четыре единичных квадрата и проведём в каждом из них диагональ, как показано на рисунке. Получился ещё один, внутренний квадрат, площадь которого равна половине площади большого квадрата, то есть 2. Эти элементарные рассуждения подвели нас к очень важному факту — существованию квадрата площадью 2. А теперь ответьте: чему равна длина стороны этого квадрата?

Слева: площадь внешнего квадрата равна 4, площадь внутреннего — половине внешнего. Справа: древняя вавилонская табличка.

Если взглянуть на древнюю вавилонскую табличку, которая датируется 1800–1600 годами до н. э., можно увидеть сходство с нашим рисунком! Кроме того, людям, знакомым с вавилонской арифметикой, сразу станет понятно, что зазубрины на этой табличке есть не что иное, как числа, записанные в вавилонской шестидесятеричной системе счисления.

Присмотримся к горизонтальной диагонали таблички. Там расставлены цифры: 1, 24, 51, 10. Учёные разгадали загадку: это очень точное приближение числа √2, записанное в шестидесятеричной системе счисления:

Математика Вавилона

Для нас, привыкших работать в десятичной системе счисления (где для записи любого числа необходимо всего 10 цифр), система из 60 цифр кажется сложной и запутанной.

Но это была одна из первых позиционных систем счисления — такая, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда). Потратив немного времени, вы легко освоите этот счёт, тем более что многие из вас уже давно им пользуются. Мы делим час на 60 минут, минуту — на 60 секунд; в геометрии мы делим окружность на 6 × 60 = 360 частей, чтобы получить единицу измерения угла — 1 градус.

Несмотря на открытие числа √2, мысль, что оно отличается от других типов чисел, пришла лишь спустя 12 веков — пифагорейцам.

Древнегреческий математик Пифагор, живший в VI веке до н. э., создал религиозно-философскую школу и учение, основывающееся в том числе на научном подходе к познанию мира. Уверенность пифагорейцев в божественной сущности чисел превратила арифметику в своего рода численную теологию, а математику сделала средством для изучения «божественного порядка». Пифагорейцы исследовали различные типы чисел, их взаимосвязи, искали числовые закономерности. Неудивительно, что они заложили основы современной теории чисел и символической алгебры.

Пифагор считал, что существует общая единица длины, достаточно малая и неделимая, — так сказать, квант числа. При этом одной из насущных проблем математики тех времён была необходимость сравнивать отрезки. Из предположения Пифагора вытекало, что любые отрезки можно сравнить и это отношение можно представить в виде несократимой дроби. Например, пусть есть два отрезка: AB и CD, а p — тот самый «квант числа».

Но, как бывает в науке, в процессе поиска универсальной закономерности иногда обнаруживается явление, не поддающееся описанию и противоречащее сложившимся воззрениям. Как правило, такие случаи заставляют пересмотреть некоторые теории, что существенно расширяет границы области изучения. Так произошло и с пифагорейским представлением о числе.

Ученик Пифагора, Гиппас из Метапонта, решил применить теорему своего учителя, чтобы вычислить диагональ единичного квадрата. Результат был поразительным: длина диагонали оказалась таким числом, которое невозможно представить в виде отношения натуральных чисел. Оно было несоизмеримо со стороной квадрата, а также с любыми другими числами. Таким образом Гиппас доказал, что число, которое при возведении в квадрат даёт 2 (1² + 1² = 2), не является рациональным (лат. ratio — отношение, деление, дробь), и назвал его иррациональным.

Доказательств иррациональности числа √2 великое множество. Алгебраические доказательства опирались на свойства чётных чисел и разложение на простые множители. Геометрические более разнообразны: тут и построения в прямоугольных треугольниках, и метод площадей.

Знак корня

Привычный нам знак радикала √ ввёл в употребление немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525 году. Этим странным символом он заменил использовавшуюся ранее латинскую букву r (от лат. radix — корень).

Геометрическое доказательство

Пусть √2=m/n, где m и n — наименьшие возможные числа, не имеющие общих делителей. Тогда 2n² = m², то есть площадь квадрата со стороной m равна сумме площадей двух квадратов со сторонами n.

Алгебраическое доказательство

Если число √2 может быть выражено в виде дроби, то мы можем записать его в виде отношения натуральных чисел a и b, а именно √2 = a/b причём a и b не имеют общих множителей (то есть дробь несократима). Домножим равенство на b и возведём обе его части в квадрат. Получим 2b² = a². Так как левая часть равенства чётная, то и a² должно делиться на 2, а это возможно только при чётном a. Если a чётное, мы можем представить его как a = 2с.

Но тогда 2b² = 4с², из чего следует, что b² = 2с², а это влечёт за собой чётность числа b. Итак, мы получили, что a и b — чётные числа, но это противоречит утверждению о том, что дробь a/b несократима. Это противоречие доказывает невозможность представить √2 в виде дроби.

Несложно заметить: число √2 встречается там, где речь идёт о квадратах или удвоении площади. И где же это происходит? Начнём, пожалуй, с вещей, которые ежедневно попадают нам в руки. Таких, как бумага в принтере.

Формат бумаги — стандартизованный размер бумажного листа. Все страны мира, кроме Канады и США, пользуются международным стандартом ISO 216. Все форматы бумаги ISO имеют одно и то же соотношение сторон, равное 1 ÷ √2, так называемому отношению Лихтенберга (немецкий учёный Георг Лихтенберг в 1768 году первый заметил преимущества использования бумажного листа с таким отношением сторон).

Интересно следующее: поскольку отношение большей стороны к меньшей постоянно, при последовательном разрезании листа А0 на меньшие форматы левый нижний край, правый верхний и точки, в которых сходятся три разреза, согласно теореме Фалеса, будут лежать на одной прямой.

Этот формат был создан в 1975 году на основе немецкого стандарта DIN 476 и отличается от него только бо́льшими допустимыми погрешностями. Базовый лист бумаги (А0) имеет площадь в 1 м² и соотношение сторон 1 ÷ √2. Все остальные размеры получаются разрезанием длинной стороны на две равные части, то есть площадь следующего листа равна половине площади предыдущего. Такое соотношение сторон сохраняется для всех последующих меньших форматов.

Арифметически это связано с равенством . А именно: пусть стороны листа были x и √2x. Уменьшая вторую сторону в два раза и оставляя первую неизменной, мы уменьшаем площадь прямоугольника в два раза. Стороны стали x и . Найдём теперь отношение меньшей стороны к большей:

У фотографов тоже есть причина использовать число √2. Рассмотрим круг радиусом R. Его площадь равна πR². Если мы хотим построить круг вдвое большей площади, как вы думаете, на какое число необходимо умножить радиус? А если вдвое меньшей — на какое разделить? Опять нас ждёт встреча с числом √2.

Как это связано с фотографией? Когда мы снимаем в ручном режиме, то настраиваем фокус и экспозицию. Последняя определяется выдержкой и диафрагмой объектива — отверстием переменного радиуса, которое позволяет регулировать поток света, попадающего через объектив на плёнку или матрицу фотоаппарата. Если свет яркий, отверстие диафрагмы уменьшают, чтобы не засветить кадр. Если же света мало — пасмурный день или вообще ночное время, — отверстие диафрагмы увеличивают, иначе кадр получится слишком тёмным. Размеры диафрагмы имеют фиксированное значение: при закрытии на одно деление площадь отверстия уменьшается вдвое, ну а радиус, соответственно, в √2 раз. Делениям на шкале диафрагмы соответствуют так называемые диафрагменные числа: 2; 2,8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 22 и так далее. Закономерность неочевидна, но на самом деле это не что иное, как приближённые значения степеней числа √2 (округлённые почему-то не по математическим законам):

Это связано с тем, что если мы хотим получить ряд кругов площадью каждый вдвое меньше предыдущего, то радиус исходного круга мы должны будем последовательно делить на √2. Таким образом, отношение радиусов двух произвольных кругов из этого ряда всегда будет равно степени числа √2.

Поиск гармонии

Пифагорейцы изучали связь между гармонией природы и математикой, поэтому они искали числовые пропорции во всех окружающих явлениях. И, надо сказать, преуспели в этом. Например, выяснилось, что гармонические соотношения между нотами соответствуют определённым отношениям целых чисел (стоит ли говорить, что частоту звука можно напрямую связать с длиной струны — геометрической величиной).

Число √2 как пропорциональное отношение часто встречается в архитектуре: оно есть во всех квадратах, которые только можно начертить. Поэтому корень из двух занимает почётное место в искусстве, прежде всего в архитектуре и дизайне.

В барселонском парке Гуэль, спроектированном великим Антонио Гауди, вместо чётких прямых линий мы наблюдаем очертания различной кривизны; центральным элементом паркового ансамбля является терраса, поддерживаемая греческими колоннами. Изогнутый потолок, причудливые формы постройки могут вызвать ложное ощущение, что архитектор не придерживался какой-либо рациональной системы. Однако если посмотреть план сооружения, сразу видно, что его стабильность обеспечена геометрией квадратов, в вершины которых Гауди поместил вершины колонн. Ещё на чертеже можно заметить правильные восьмиугольники (октагоны), в которых тоже скрыто наше любимое число √2, ведь в каждом октагоне есть как минимум три квадрата.

Слабость к правильному вось­миугольнику питали архитекторы разных эпох. Купол кафедрального флорентийского собора Санта-Мария-дель-­Фьоре, Башня Ветров в Афинах, замок ­Кастель-дель-Монте на юге Италии, Капелла Карла Великого в немецком Ахене и многие другие постройки, всех не перечислить, имеют форму октагона.

Возможно, корень из двух не самое примечательное иррациональное число. Есть множество иррациональных чисел (π, экспонента е) и соотношений (например, золотое сечение), о которых можно рассказать больше интересного. Но важно понимать, что изучение таких чисел началось именно с √2. Его открытие перевернуло представления человечества о числе, положило начало изучению чисел как непрерывного множества и расширило возможности познания мира. В результате идея, что числа лежат в основе всех проявлений науки и техники, сегодня уже не вызывает сомнений.

Источник

Доказать что sqrt 2 иррациональное

Предположим, у нас есть какое-то (целое) число, например 2 или 25 или 234769 или любое другое. Обозначим его буквой N.

Я попытаюсь написать это доказательство так, чтобы его могли понять читатели, которые не имеют никакого отношения к математике, и не учили ее со времем средней школы. Если вы такой читатель, и вам в этом доказательстве все понятно или наоборот что-то непонятно, то расскажите мне, пожалуйста, о своих впечатлениях и трудностях в комментариях.

Итак, предположим, что есть такое N, которое не является целым квадратом, и что его квадратный корень можно записать как какую-то целую дробь

(запись √N означает «квадратный корень из N»)

Перевернем одну из дробей и перенесем в левую часть. Или, говоря, другими словами, умножим обе части на B/A, и тогда в левой части прибавится B/A, а в правой части оно сократится с одной из двух копий A/B.

Раз эти две дроби равны, то равны по отдельности их целые части и дробные части. Что такое дробная часть той дроби, что слева от знака равенства? Это какая-то дробь

где x должно быть меньше A (иначе можно еще выделить целую часть). Соответственно дробная часть той дроби, что справа, это какое-то y/B, где y должно быть меньше B. Вместе получается

В этом равенстве мы можем перенести y влево, а A вправо, умножив сначала обе части на A, а потом поделив обе части на y:

(мы можем это сделать, только если мы точно знаем, что y не равно 0, потому что на ноль делить нельзя. Но мы это точно знаем: ведь если y равно 0, это значит, что дробная часть A/B равна 0, т.е. исходный квадратный корень A/B целое число, но мы изначально предположили, что оно не целое)

Сравнив это равенство с самым началом наших рассуждений, мы видим, что

причем, мы раньше видели, в этом равенстве x меньше нашего первоначального числительного A (потому что у нас была дробная часть x/A, в которой нельзя было выделить еще больше целой части). Но это противоречит тому, что мы написали о выборе A: А должно было быть самым меньшим из всех возможных способов представить √N в виде A/B. Исходя из этого допущения, мы тем не менее нашли какое-то еще меньшее число x, которое тоже подходит для этой цели, то есть пришли к противоречию. Раз мы неизбежно приходим к противоречию, исходя из предположения, что √N вообще можно представить как какое-то A/B, значит, это предположение неверно, и на самом деле такого не может быть. Что и требовалось доказать.

Это доказательство приводят Conway & Guy в своей «Книге чисел» (The Book of Numbers).

Источник

Иррациональные числа

Иррациональные числа можно определить как действительные числа, которые не являются рациональными. Зачем же вводятся иррациональные числа, если все бухгалтерские расчеты, да и не только они: все вычисления на калькуляторах, и т. д. делаются с применением только конечных десятичных дробей?

Пример 1 Доказать, что есть число иррациональное.

Подобный прием используется для решения более сложных по виду задач.

Пример 2 Доказать, что есть число иррациональное.

Аналогично примеру 1 можно было бы доказать, что иррациональное число. Но сумма двух иррациональных чисел не обязательно иррациональна, как следует из примера . Поэтому будем действовать по алгоритму с суммой чисел.

Пример 3 Показать, что число — основание натуральных логарифмов является иррациональным.

Чтобы это показать, воспользуемся представлением числа через ряд

Из этого представления следует формула:

, где .

Из этого равенства выведем, что число — иррационально. Предположим противное, пусть . Запишем равенство и умножим обе части этого равенства на . Получим:

Это равенство противоречиво, так как справа стоит целое число, а слева сумма целого числа и не целого. Следовательно, предположение о рациональности числа — не верно.

А вот доказательство иррациональности числа довольно сложное и использует достаточно тонкие рассуждения, а также аппарат интегралов зависящих от параметра.

Пример 4 Числа или являются иррациональными.

Здесь, не мудрствуя, возведем обе части равенства в третью степень:

Получили тождество. Следовательно, и исходное равенство было верным.

Эта задача сложнее предыдущей задачи, потому что не очень понятно как решать. Разберемся с первым корнем. Попробуем представить подкоренное выражение в виде квадрата

Пример 7 Может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным числом?

Эту задачу вообще непонятно как делать. Однако она имеет очень оригинальное и главное короткое решение.

и в этом случае ответ: может.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Источник