Доказать что всякая подгруппа группы z имеет вид nz

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Задачи по алгебре

Последний раз редактировалось nou 27.06.2014, 15:09, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Xaositect 27.06.2014, 14:41, всего редактировалось 1 раз.

Вы не доказали, что все элементы этой подргуппы будут кратными . Может быть, в подгрупе, кроме , есть еще какое-нибудь ?

Последний раз редактировалось nou 28.06.2014, 09:13, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Foxer 28.06.2014, 11:28, всего редактировалось 1 раз.

Бесспорно, тут это не нужно, но вот некоторые не любят доказательства от противного.

Заслуженный участник

Ни в коем случае. Ну то есть брать НОД можно, но потом придется доказывать, что он представляется линейной комбинацией некоторых элементов, а это по сути как раз наша теорема.

Заслуженный участник

Ну, я имел в виду такое рассуждение: раз у нас на каждом шаге НОД уменьшается, то рано или поздно нам придется остановиться. Не обязательно на единице.

А теперь попробуйте посностью написать аккуратное доказательство, которое сможет убедить инопланетянина, знакомого с понятиями группы, подгруппы и кольца и с алгоритмом Евклида для НОД 🙂

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: .

Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

1. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

3. В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы и .

5. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.

Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть .

Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда

= = = .

Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

Гомоморфизм.

Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть : .

Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

1. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.

2. Тривиальное отображение является гомоморфизмом.

3. Если — любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.

4. Пусть — нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.

5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.

6. Отображение , которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .

Теорема (свойства гомоморфизма)

Пусть — гомоморфизм групп, и — подгруппы. Тогда:

1. , .

2. — подгруппа.

3. -подгруппа, причем нормальная, если таковой была .

1. и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: .

Нормальная подгруппа называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается .

Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда

Поскольку , указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.

Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .

Пусть — любой элемент. Имеем : . Следовательно, .

Циклические группы.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

1. Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

Теорема о структуре циклических групп.

Источник

Лекции по Линейной алгебре

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

Теорема о структуре циклических групп.

В самом деле, пусть — любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g ) » .

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G — циклическая группа.

Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа H М G порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.

Если G обладает свойством (Z), то

Любая подгруппа G нормальна.

Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.

Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).

2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b . Следовательно, . Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то . Следовательно, и потому xy = yx.

11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.

Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.

Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.

Пусть — элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента . Тогда и значит m делится на p. Но тогда — элемент порядка p.

Доказательство теоремы Коши.

Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G » Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и , причем n делится на p.

Рассмотрим последовательно несколько случаев

G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.

Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: . Здесь отдельно выделен класс и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g № e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому g О Z(g) = . Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому делится на p: . Но тогда — не делится на p, что не соответствует условию.

Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.

Теорема о подгруппах коммутативной группы.

Источник

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

Нормальные подгруппы

Определение 3.4.1. Пусть H – подгруппа группы G и . Обозначим aH множество элементов <a·h | h Î H> и назовем его левым смежным классом группы G по подгруппе H. Элемент a называется представителем левого смежного класса aH.

Если существует , b Ï H È aH, то можно построить левый смежный класс bH и т.д.

Аналогично строятся правые смежные классы Ha = <h·a | h Î H> с представителями .

Теорема 3.4.1. Пусть H – подгруппа группы G. Тогда

1) каждый элемент принадлежит какому-нибудь левому (правому) смежному классу по подгруппе H;

2) два элемента принадлежат одному левому (правому) смежному классу тогда и только тогда, когда a –1 ·b Î H (b·a –1 Î H);

3) любые два левых (правых) смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают;

4) G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смежных классов по подгруппе H.

1) Для «g = g·e, так как e Î H, то g Î <g·h | h Î H> = gH. Аналогично g = e·g Þ g Î <h·g | h Î H> = Hg.

3) Пусть c Î aH Ç bH Û для некоторых h₁, h₂ Î H c = a·h₁ = b·h₂ Û b –1 ·a = h₂·h₁ –1 Î H Û a, b принадлежат одному и тому же левому смежному классу согласно утверждению 2, то есть aH = bH.

4) Следует из утверждений 1 и 3.

Определение 3.4.2. Мощность множества всех различных левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается G : H.

К важнейшим в теории групп относится следующая теорема, доказанная известным французским математиком и механиком Жозефом Лагранжем (1736–1813).

Теорема 3.4.2 (Ж. Лагранж). Порядок конечной группы равен произведению порядка и индекса любой ее подгруппы.

Пусть H £ G, | G | = n, | H | = k, n, k Î N, и H = <e = h₁, h₂,…, h_k>.

Для » a Î G aH = <a, a·h₂,…, a·h_k>, Ha = <a, h₂·a,…, h_k·a>. Покажем, что | H | = | aH | = | Ha |. Действительно, a·h_i = a·h_j Û a –1 ·(a·h_i) = a –1 ·(a·h_j) Û h_i = h_j, аналогично h_i·a = h_j·a Û h_i = h_j для всех . В общем случае, даже для бесконечной подгруппы H, H « aH « Ha.

Согласно утверждению 4 теоремы 3.4.1 G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смежных классов по подгруппе H. Таким образом, (объединение всех различных смежных классов) Þ | G | = | H | × (G : H) и G : H = n/k.

Следствие 1. Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.

Следствие 2. Если G – конечная группа порядка n, то порядок любого элемента группы делит порядок группы и для каждого .

Пусть | G | = n. Рассмотрим для » a Î G, очевидно, что ord(a) £ n. | | = ord(a) согласно теореме 3.3.3. £ G, значит, по следствию 1 из теоремы 3.4.2 ord(a) | n. Отсюда следует, что , где .

Следствие 3. Любая группа простого порядка является циклической и не содержит собственных подгрупп.

По следствию 1 из теоремы 3.4.2 порядок любой подгруппы H в G равен 1 или p, то есть H = <e> или H = G.

Так как для произвольной группы (G, ·) и » a Î G, следуя доказательству теоремы 3.4.2, G « aG « Ga, то aG = G = Ga и G : G = 1.

Пример 3.4.1. Рассмотрим (nZ, +) £ (Z, +) для » n Î N и найдем все смежные классы Z по nZ. Поскольку (Z, +) – абелева группа, то для одинаковых представителей левые смежные классы совпадают с соответствующими правыми. Таким образом, для » z Î Z z = nq + r, где q, r Î Z, 0 £ r 4 = 16, | H | = 4, значит, V₄(Z/2Z) : H = 16 : 4 = 4. Для одинаковых представителей левые смежные классы совпадают с правыми, поскольку (V₄(Z/2Z), +) – абелева группа.

Выпишем таблицу 3.4.1 смежных классов группы (V₄(Z/2Z), +) по подгруппе (H, +).

Таблица 3.4.1

№	класс a + H	a + 0	a + e1	a + e2	a + e3
1.	0 + H = H
2.	+ H
3.	+ H
4.	+ H

Определение 3.4.3. Подгруппа H группы G называется нормальной, если для всякого , то есть каждый левый смежный класс по подгруппе H совпадает с правым смежным классом с тем же представителем. В этом случае используется обозначение: HG.

Ясно, что у абелевых групп все подгруппы нормальны.

В любой группе (G, ·) тривиальные подгруппы <e> и G являются нормальными, так как для » a Î G a<e> = <a> = <e>a и aG = G = Ga. Итак, <e>G и GG.

Пример 3.4.3. Если G : H = 2, то HG для произвольной группы (G, ·). Поскольку для » g Î G\H H Ç gH = H Ç Hg = Æ и G = H È gH = H È Hg согласно утверждениям 3 и 4 теоремы 3.4.1, Þ gH = Hg и, таким образом, aH = Ha для » a Î G.·

Теорема 3.4.3 (критерий нормальной подгруппы). HG тогда и только тогда, когда для каждого (для » a Î G, » h Î H a·h·a –1 Î H).

Источник