Доказать по определению что последовательность бесконечно большая

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Бесконечно малые последовательности.

Последовательность \(\<\alpha_\>\) называется бесконечно малой, если
$$
\displaystyle \lim_\alpha_=0.\nonumber
$$

При изучении свойств сходящихся последовательностей нам потребуется ввести арифметические операции над последовательностями. Назовем суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей \(\\>\) и \(\\>\) соответственно последовательности \(\+y_\>\), \(\-y_\>\), \(\y_\>\), \(\/y_\>\). При определении частного предполагается, что \(y_n\neq 0\) для всех \(n\in\mathbb\).

Бесконечно малые последовательности обладают следующими свойствами:

Так как бесконечно малая последовательность ограничена, то из доказанного свойства следует, что произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Бесконечно большие последовательности.

Последовательность \(\\>\) называется бесконечно большой, если для любого \(\delta>0\) существует такой номер \(N_<\delta>\), что для всех \(n\geq N_<\delta>\) выполняется неравенство \(|x_|>\delta\). В этом случае пишут \(\displaystyle \lim_x_n=\infty\) и говорят, что последовательность имеет бесконечный предел.

Используя логические символы, это определение можно записать так:
$$
\displaystyle \ <\lim_x_=\infty\>\Leftrightarrow\forall\delta>0\ \exists N_<\delta>:\forall n\geq N_<\delta>\rightarrow|x_|>\delta.\label
$$
Дадим геометрическую интерпретацию определения \eqref. Назовем \(\delta\) — окрестностью \(\infty\) (рис. 5.1) множество \(E=\:|x|>\delta\>\). Если

Рис. 5.1

последовательность \(\\) имеет бесконечный предел, то в любой \(\delta\)-окрестности \(\infty\) лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Аналогично вводятся для последовательности \(\\) понятия бесконечного предела, равного \(-\infty\) и \(+\infty\) Эти пределы обозначаются соответственно символами \(\undersetx_n=-\infty\) и определяются так:
$$
\<\undersetx_n=-\infty\>\Leftrightarrow\forall\delta>0 \ \exists N_<\delta>: \ \forall n\geq N_<\delta>\rightarrow x_ 0 \ \exists N_<\delta>: \ \forall n\geq N_<\delta>\rightarrow x_>\delta\label
$$

Множества \(E_1=\: \ x \delta\>\), где \(\delta > 0\), назовем \(\delta\)-окрестностями \(-\infty\) и \(+\infty\) соответственно (см. рис. 5.1). Тогда \(E=E_<1>\cup E_<2>\).

Согласно определению \eqref последовательность \(\\) имеет предел, равный \(+\infty\), если в \(\delta\)-окрестности символа \(+\infty\) содержатся все члены этой последовательности, за исключением, быть может, конечного числа их. Аналогичный смысл имеет определение \eqref.

В дальнейшем под пределом последовательности будем понимать конечный предел, если не оговорено противное.

Приведем примеры последовательностей, имеющих бесконечный предел:

Источник

Свойства бесконечно больших последовательностей

Формулировки свойств

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Если последовательность < β_n > бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность < x_n > ограничена, то
.
Доказательство ⇓

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Если абсолютные значения элементов последовательности < y_n > ограничены снизу положительным числом ( | y_n | ≥ K > 0 ), а < α_n > – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
.
Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Это свойство имеет два частных случая, которые доказываются аналогичным способом.

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Приведенные выше свойства выполняются, если последовательность ограничена, а последовательность абсолютных членов ограничена снизу положительным числом. При этом эти последовательности не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти последовательности будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Доказательство свойств

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Первая часть свойства доказана.

Умножим первое неравенство (1.2) на положительное число :
.
Тогда вместо (1.2) имеем:
.
Подставим :
.

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Все свойства ⇑ Если последовательность < β_n > бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность < x_n > ограничена, то
.

Поскольку последовательность является бесконечно большой, то, согласно свойству 1, последовательность с членами является бесконечно малой. Но произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью. См. «Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую». Поэтому
.

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Все свойства ⇑ Если абсолютные значения элементов последовательности < y_n > ограничены снизу положительным числом ( | y_n | ≥ K > 0 ), а < α_n > – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
.

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Источник

Определение бесконечно большой последовательности

Определение

Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.

Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.

Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам.

Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.

С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.

Примеры бесконечно больших последовательностей

Все примеры Сначала мы рассмотрим три простых похожих примера, а затем решим более сложный.

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Пример 2

Все примеры ⇑ Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Пример 3

Все примеры ⇑ Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Пример 4

Все примеры ⇑ Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Бесконечно большие последовательности

Следствие. Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Замечание 2. Обратное утверждение в общем случае неверно.

является неограниченной, но не является бесконечно большой. Покажем это.

Бесконечно малые последовательности

Замечание 3. Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной, но не наоборот.

Примеры решения задач

Задание	Доказать, что последовательность является бесконечно малой.
Доказательство	Зададим произвольное положительное число и найдем такой номер элемента этой последовательности, что для всех выполняется соотношение

Что и требовалось доказать.

Источник

Предел последовательности

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула \(y_n=\frac1n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность дробей:

2) Формула \(y_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

3) Рекуррентная формула \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_(n+2)=y_(n+1)+y_n\) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

4) Описание «число π точностью до \(10^<-n>\)» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

Этот ряд можно также задать формулой \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

1) \(y_n=\frac1n\) Последовательность сходится к 0

2) \(y_n=(-1)^n\) Последовательность ни к чему не сходится

3) числа Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\) Последовательность уходит на бесконечность

4) приближения числа π Последовательность сходится к π

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_<\varepsilon>\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_\frac<1>=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_<\varepsilon>\) разность \(\left|\frac<1>-0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_n^2=+\infty\)
Ведь для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=[\sqrt]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=n^2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 2\).
Что и требовалось доказать.

Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное \(N_<\varepsilon>\) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби \(\frac<3(3n^2+n+1)>\), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера \(N_<\varepsilon>\) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих \(y_n,\ n\geq N_<\varepsilon>\) в ε окрестности предела b.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac<1><3\sqrt<\varepsilon>>\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3n^2+n+1>-\frac13\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 3\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\left(\frac<1><5\varepsilon>-1\right)^2\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<\sqrt><5\sqrt+1>-\frac15\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_2^n=+\infty \)
По условию: \(y_n=2^n\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin 2^n\gt M\Rightarrow n\gt \log_2M\\ N_M=\left[\log_2M\right]+1 \end Например:

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[\log_2M\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=2^n\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[M^2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Источник